高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 第49課 雙曲線

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1、 第49課 雙曲線 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) √ 1．雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2(F1F2＝2c>0)的距離之差的絕對(duì)值為非零常數(shù)2a(2a<2c)的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)． (2)集合P＝{M|MF1－MF2＝2a}，F(xiàn)1F2＝2c， 其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①當(dāng)2aF1F2時(shí)，M點(diǎn)不存在． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

2、 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫作等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝. 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”

3、) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．(　　) (3)雙曲線方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝________. 1　[依題意，e＝＝＝2， ∴＝2a，則a2＝1，a＝1.] 3．(2017·泰州中學(xué)高三摸底考試)若雙曲線x2－＝1的焦點(diǎn)到漸近線的距

4、離為2，則實(shí)數(shù)k的值是________． 8　[由題意得b＝2?k＝b2＝8.] 4．(2016·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1的焦距是________． 2　[由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，知a2＝7，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝10，所以c＝，從而焦距2c＝2.] 5．(2016·北京高考改編)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則雙曲線的方程為_(kāi)_________． x2－＝1　[由于2x＋y＝0是－＝1的一條漸近線， ∴＝2，即b＝2a.① 又∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則c＝， 由a2＋b2＝c2，得a2＋b

5、2＝5，② 聯(lián)立①②得a2＝1，b2＝4. ∴所求雙曲線的方程為x2－＝1.] 雙曲線的定義及應(yīng)用 　已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6)．則△APF周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172269】 32　[由雙曲線方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3， 故F(3,0)，F(xiàn)1(－3,0)， 當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知PF－PF1＝2.所以PF＝PF1＋2， 從而△APF的周長(zhǎng)＝AP＋PF＋AF＝AP＋PF1＋2＋AF. 因?yàn)锳F＝＝15為定值， 所以當(dāng)(AP＋PF1)最小時(shí)，△APF的周長(zhǎng)最小，A

6、，F(xiàn)1，P三點(diǎn)共線． 又因?yàn)锳P＋PF1≥AF1＝AF＝15. 所以△APF周長(zhǎng)的最小值為15＋15＋2＝32.] [規(guī)律方法]　1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問(wèn)題： 在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)間的距離”．若定義中的“絕對(duì)值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．同時(shí)需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用． 2．在焦點(diǎn)三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將PF1－PF2＝2a平方，建立PF1·PF2間的聯(lián)系． [變式訓(xùn)練1]　(1)已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上．若F1A＝2F2A，

7、則cos∠AF2F1＝________. (2)已知雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)．若PF1＝PF2，則△F1PF2的面積為_(kāi)_______． (1)　(2)24　[(1)由e＝＝2得c＝2a，如圖，由雙曲線的定義得F1A－F2A＝2a. 又F1A＝2F2A，故F1A＝4a， F2A＝2a， ∴cos∠AF2F1＝＝. (2)由雙曲線的定義可得 PF1－PF2＝PF2＝2a＝2， 解得PF2＝6，故PF1＝8，又F1F2＝10， 由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此S△PF1F2＝PF1×PF2＝24.] 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

8、 　(1)已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點(diǎn)為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為_(kāi)_______． (2)(2016·天津高考改編)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為_(kāi)_______． (1)－＝1　(2)－y2＝1　[(1)由焦點(diǎn)F2(5,0)知c＝5. 又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9. ∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)由焦距為2得c＝.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，所以＝. 又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1， 所以雙曲線的方程為－y2＝1.] [規(guī)律方法]

9、　1.確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個(gè)“定位”條件，兩個(gè)“定量”條件．“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法．若雙曲線的焦點(diǎn)不能確定時(shí)，可設(shè)其方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． 2．對(duì)于共焦點(diǎn)、共漸近線的雙曲線方程，可靈活設(shè)出恰當(dāng)?shù)男问角蠼猓粢阎獫u近線方程為mx＋ny＝0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)． [變式訓(xùn)練2]　(1)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________． (2)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的

10、距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________． (1)－y2＝1　(2)－＝1　[(1)∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x， ∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，)， ∴λ＝16－4×()2＝4， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. (2)由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則PF1－PF2＝8. 由雙曲線的定義知：a＝4，b＝3. 故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，即－＝1.] 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 　(1)(2016·全國(guó)卷Ⅱ改編)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)

11、，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為_(kāi)_______． (2)設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過(guò)F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線為_(kāi)_________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172270】 (1)　(2)x±y＝0　[(1)如圖，因?yàn)镸F1⊥x軸，所以MF1＝. 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 tan∠MF2F1＝. 所以＝，即＝，即＝， 整理得c2－ac－a2＝0， 兩邊同除以a2得e2－e－1＝0. 解得e＝(負(fù)值舍去)． (2)由題設(shè)易知

12、A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C. 因?yàn)锳1B⊥A2C， 所以·＝－1，整理得a＝b. 因此該雙曲線的漸近線為y＝±x，即x±y＝0.] [規(guī)律方法]　1.(1)求雙曲線的漸近線，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置的影響；(2)求離心率的關(guān)鍵是確定含a，b，c的齊次方程，但一定注意e>1這一條件． 2．雙曲線中c2＝a2＋b2，可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系＝.抓住雙曲線中“六點(diǎn)”、“四線”、“兩三角形”，研究a，b，c，e間相互關(guān)系及轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過(guò)程． [變式訓(xùn)練3]　(1)(2017·無(wú)錫期末)設(shè)△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，則以A，B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線的離心

13、率為_(kāi)_______． (2)雙曲線x2＋my2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______． (1)　(2)x±2y＝0　[(1)設(shè)AB＝x，則BC＝x，AC＝x， ∴2a＝x－x,2c＝x， ∴e＝＝＝＝. (2)由題意可知a2＝1，b2＝－m，由于b＝2a，故－m＝4，∴m＝－4. 由x2－4y2＝0得x＝±2y，即x±2y＝0. ∴雙曲線的漸近線方程為x±2y＝0.] [思想與方法] 1．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法： (1)定義法：由條件判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程． (2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不

14、能確定焦點(diǎn)的位置，應(yīng)注意分類(lèi)討論或恰當(dāng)設(shè)置簡(jiǎn)化討論． ①若已知雙曲線過(guò)兩點(diǎn)，焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． ②當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程bx±ay＝0，求雙曲線方程時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)． ③與雙曲線－＝1有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)． 2．已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”改為“0”即可． [易錯(cuò)與防范] 1．區(qū)分雙曲線中a，b，c的關(guān)系與橢圓中a，b，c的關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，在雙曲線中c2＝a2＋b2. 2．雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率e∈(0

15、,1)．求它們的離心率，不要忽視這一前提條件，否則會(huì)產(chǎn)生增解或擴(kuò)大取值范圍． 3．直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不一定相切，也可能直線與漸近線平行． 課時(shí)分層訓(xùn)練(四十九) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．雙曲線x2－＝1的兩條漸近線方程為_(kāi)_______． y＝±2x　[由x2－＝0得y＝±2x，即雙曲線的兩條漸進(jìn)線方程為y＝±2x.] 2．已知雙曲線－y2＝1(a>0)的一條漸近線為x＋y＝0，則a＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172271】 　[雙曲線－y2＝1的漸近線為y＝±，已知一條漸近線為x＋y＝0，即y＝－x，因?yàn)閍>0，所以＝，所以a＝.

16、] 3．雙曲線－＝1的離心率為_(kāi)_______． 　[∵a2＝4，b2＝5， ∴c2＝9，∴e＝＝.] 4．若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)，則此雙曲線的離心率為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172272】 　[由雙曲線的漸近線過(guò)點(diǎn)(3，－4)知＝，∴＝. 又b2＝c2－a2，∴＝， 即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.] 5．已知點(diǎn)F1(－3,0)和F2(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______． －＝1(x>0)　[由題設(shè)知點(diǎn)P的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，設(shè)其方程為－＝1(x>0，a>0，b>0)，由題設(shè)知c＝

17、3，a＝2，b2＝9－4＝5. 所以點(diǎn)P的軌跡方程為－＝1(x>0)．] 6．已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為_(kāi)_______． 　[由雙曲線方程知a2＝3m，b2＝3， ∴c＝＝. 不妨設(shè)點(diǎn)F為右焦點(diǎn)，則F(，0)． 又雙曲線的一條漸近線為x－y＝0， ∴d＝＝.] 7．(2016·全國(guó)卷Ⅰ改編)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是________． (－1,3)　[∵原方程表示雙曲線，且兩焦點(diǎn)間的距離為4. ∴則 因此－1

18、2＋my2＝1過(guò)點(diǎn)(－，2)，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為_(kāi)_______． 4　[由題意可知2＋4m＝1，∴m＝－， 即x2－y2＝1，∴b2＝4，∴b＝2，即2b＝4.] 9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知方程－＝1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______． (－2,4)　[由題意可知(4－m)(2＋m)>0，即－2

19、為(2,2)，(2，－2)，所以AB＝4.] 11．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·<0，則y0的取值范圍是________． 　[由題意知a＝，b＝1，c＝， ∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， ∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)． ∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0， 即x－3＋y<0.∵點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線上， ∴－y＝1，即x＝2＋2y， ∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，b>0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)

20、為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2AB＝3BC，則E的離心率是________． 2　[如圖，由題意知AB＝，BC＝2c. 又2AB＝3BC， ∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac， ∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去)．] B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)．若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長(zhǎng)為_(kāi)_______． 44　[由雙曲線C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5， ∴點(diǎn)A(5,0)是雙曲線C的右焦點(diǎn)， 且PQ＝QA＋PA＝4b＝1

21、6， 由雙曲線定義，得PF－PA＝6， QF－QA＝6. ∴PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28， 因此△PQF的周長(zhǎng)為PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.] 2．已知點(diǎn)F是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________． (1,2)　[由題意易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－c,0)，A，B，E(a,0)，∵△ABE是銳角三角形，∴·>0， 即·＝·>0，整理得3e2＋2e>e4， ∴e(e3－3e－3＋1)<0， ∴e(e＋1)2(e－2)<0， 解得

22、e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)．] 3．(2016·北京高考)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)．若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則a＝__________. 2　[雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，易得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對(duì)稱性知＝1. 又正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，所以c＝2， 所以a2＋b2＝c2＝8，因此a＝2.] 4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為_(kāi)_________． x2－＝1　[由雙曲線

23、的漸近線y＝±x，即bx±ay＝0與圓(x－2)2＋y2＝3相切， ∴＝，則b2＝3a2.① 又雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)， ∴a2＋b2＝4，② 聯(lián)立①②，解得a2＝1，b2＝3. 故所求雙曲線的方程為x2－＝1.] 5．(2017·南通三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－y2＝1與拋物線y2＝－12x有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的兩條漸近線的方程為_(kāi)_______． y＝±x　[拋物線y2＝－12x的焦點(diǎn)為(－3,0)，∴a2＋1＝9，∴a＝±2. ∴雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±＝±x.] 6．(2016·天津高考改編)已知雙曲線－＝1(b＞0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為_(kāi)_______． －＝1　[由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，圓的方程為x2＋y2＝4，聯(lián)立 解得或 即第一象限的交點(diǎn)為. 由雙曲線和圓的對(duì)稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長(zhǎng)為，，故＝2b，得b2＝12. 故雙曲線的方程為－＝1.]