高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第11章 經(jīng)典微課堂 規(guī)范答題系列4 高考中的概率與統(tǒng)計問題 Word版含解析

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1、 [命題解讀]　從近五年全國卷高考試題來看，在高考的解答題中，對概率與隨機變量及其分布相結(jié)合的綜合問題的考查既是熱點又是重點，是高考必考的內(nèi)容，并且常常與統(tǒng)計相結(jié)合，常常設計成包含概率計算、概率分布表、隨機變量的數(shù)學期望與方差、統(tǒng)計圖表的識別等知識為主的綜合題．以考生比較熟悉的實際應用問題為載體，考查學生應用基礎知識和基本方法分析問題和解決問題的能力． [典例示范]　(本題滿分12分)(2019·全國卷Ⅰ)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．

2、一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X. (1)求X的分布列①； (2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝

3、 api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設α＝0.5，β＝0.8. (i)證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列②； (ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性． [信息提取]　(1)看到①，想到概率模型及概率的求法；(2)看到②，想到遞推關系的變形；看到求特定項，想到求通項公式． [規(guī)范解答]　(1)X的所有可能取值為－1,0,1. P(X＝－1)＝(1－α)β， P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β)， 3分 所以X的分布列為

4、X －1 0 1 P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β) 4分 (2)①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1. 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1， 故0.1＝0.4， 即pi＋1－pi＝4. 6分 又因為p1－p0＝p1≠0， 所以(i＝0,1,2，…，7)為公比為4，首項為p1的等比數(shù)列.7分 ②由①可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝＋＋…＋＝p1. 由于p8＝1，故p1＝， 9分 所以p4＝＋＋＋＝p1＝. 10分 p4表示最終認為甲藥更有效的概率，由計算結(jié)果可以

5、看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為p4＝≈0.003 9，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理. 12分 [易錯防范]　 易錯點 防范措施 忽視X的實際含義導致取值錯誤，進而導致概率計算錯誤 細心審題，把握題干中的重要字眼，關鍵處加標記，同時理解X取每個值的含義 對(2)的條件“pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1”不理解，求不出a，b，c 結(jié)合(1)中的分布列及題設條件，推理求解便可 不會證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列. 采用累加遞推法求解. [通性通法]　隨機變量

6、分布列類問題的求解步驟： (1)定元：根據(jù)已知條件確定離散型隨機變量的取值． (2)定性：明確每個隨機變量取值所對應的事件． (3)定型：確定事件的概率模型和計算公式． (4)計算：計算隨機變量取每一個值的概率． (5)列表：列出分布列． (6)求解：根據(jù)公式求期望． [規(guī)范特訓]　某超市計劃按月訂購一種冰激凌，每天進貨量相同，進貨成本為每桶5元，售價為每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的價格當天全部處理完畢，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關，如果最高氣溫不低于25 ℃，需求量為600桶，如果最高氣溫(單位：℃)位于區(qū)間[20,25)，需求量為400桶，

7、如果最高氣溫低于20 ℃，需求量為200桶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫(℃) [10，15) [15， 20) [20， 25) [25， 30) [30， 35) [35， 40] 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)求六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列； (2)設六月份一天銷售這種冰激凌的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種冰激凌一天的進貨量n(單位：桶)為多少時，Y的均值取得最大值？ [解]　(1)

8、由已知得，X的所有可能取值為200,400,600，記六月份最高氣溫低于20 ℃為事件A1，最高氣溫(單位：℃)位于區(qū)間[20,25)為事件A2，最高氣溫不低于25 ℃為事件A3，根據(jù)題意，結(jié)合頻數(shù)分布表，用頻率估計概率，可知P(X＝200)＝P(A1)＝＝，P(X＝400)＝P(A2)＝＝，P(X＝600)＝P(A3)＝＝， 故六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列為 X 200 400 600 P (2)由題意得， 當n≤200時，EY＝2n≤400； 當200600時， EY＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×[600×2＋(n－600)×(－2)]＝1 760－2n<560， 所以當n＝400時， Y的均值取得最大值640.