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1、大題加練(一)
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1 .數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：
如圖1,AGBD是四邊形ABCD的對(duì)角線，若/ACB=/ACD=ZABD=/ADB=60°,則線段BC,CDAC三者之間有何等量關(guān)系？
經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的思路：
如圖2,延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD連接AE,證彳AB圖△ADC從而容易證明△ACE是
等邊三角形，故AC=CE,所以AC=BJCD.
小亮展示了另一種正確的思路：
如圖3,將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使AB與AD重合，從而容易證明△ACF是等邊三角形，故AC=CF,所以AC=BC+CD.
在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究
2、：
⑴小穎提出：如圖4,如果把“/ACB=/ACD=/ABD=/ADB=60°”改為/ACB=/ACD=/ABD=ZADB=45°”，其他條件不變，那么線段BC,CD,AC三者之間有何等
量關(guān)系？針對(duì)小穎提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論，并給出證明；
(2)小華提出：如圖5,如果把“/ACB=/ACD=/ABD=/ADB=60°”改為“/ACB=/ACD=/ABD=ZADB=30°”，其他條件不變，那么線段BC,CD,AC三者之間有何等
量關(guān)系？針對(duì)小華提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論，并給出證明.
A
圖4C圖5
2 .【問(wèn)題情境】在4ABC中，BA=BC,ZABC^a(0°Va<18
3、0°)，點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，連接AP,將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ旋轉(zhuǎn)角為a）,連接CQ.
【特例分析】（1）當(dāng)a=90°,點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過(guò)P作PF//AC交直線AB于點(diǎn)F,如圖1,易得圖中與△APF全等的一個(gè)三角形是,ZACQ=°;
【拓展探究】（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上，AB：AC=m：n時(shí)，如圖2,試求線段BP與CQ的比值；
【問(wèn)題解決】（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，a=60°,ZAPB=30°,CP=4時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CQ的長(zhǎng).
圖I圖2
參考答案
1.解：(1)BC+CD=平AC.
證明如下：如圖，延長(zhǎng)CD至E,使D&BC,連接
4、AE.
?./ABD=ZADB=45°,
AB=AD,/BAD=180°-ZABD-/ADB=90°.
?./ACB=ZACD=45°,../ACB^/ACD=90°,
??/BA*/BCD=180°,ABO/ADC=180°.
??/ADO/ADE=180°,ABC=ZADE.
AB=AD,在△ABC^△ADE中，/ABC=/ADE
BC=DE,
.AB(C^△ADE(SAS),
，/ACB=/AED=45°,AC=AE,
ACE是等腰直角三角形，
.?.CE=2AC.
CE=C*DE=CABC,
??.BaCD=2AC.
(2)BC+CD=點(diǎn)AC.
證
5、明如下：如圖，延長(zhǎng)CD至E,使DE=BC.
?./ABD=ZADB=30°,
AB=AD,/BAD=180°—/ABD-ZADB=120°.
?./ACB=ZACD=30°,.ACB^/ACD=60°,
??/BA*/BCD=180°,ABO/ADC=180°.
??/ADO/ADE=180°,ABC=ZADE.
千AB=AD,
在△AB麗△ADE中，/ABC=/ADEBC=DE,
AB(C^△ADE(SAS),
，/ACB=/AED=30°,AC=AE,?./AEC=30°
如圖，過(guò)點(diǎn)A作AUCE于F,
CE=2CF.
在RtMCF中，/ACD=30°,CF=AC-c
6、os/ACD=乎AC,
CE=2CF=3AC.
???CE=C*DE=Ct>BC,
BOCD=3AC.
c
2.解：(1)APQC90
BABC
(2)如圖，過(guò)P作PF//AG交BA的延長(zhǎng)線于F,則丘=—
AFCP
HCP
又AB=BC,.1.AF=CP.
???/FAP=/ABO/APB=a+ZAPB,/CPQ=/APQF/APB=a+ZAPB?./FAP=/CPQ.
由旋轉(zhuǎn)可得PA=PQ
??.△AFP^△PC(QFP=CQ.
.PF//AC,△ABS△FBP
BPFP
-'一=一.
BCAC
bpbp.BPABm
■■ocTFp=actA
7、ctn.
(3)線段CQ的長(zhǎng)為2或8.理由如下：
如圖，當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
Q
/CPQ=/APQ-/APB=60°—30°=30°,
?./APC=/QPC.
ApAAP=QP,PC=PC,△AP黃△QPC
CQ=AC.
又.任人:BC,/ABC=60°,
??.△ABB等邊三角形，
，/ABC=60°,/BAP=/ABC-ZAPB=30°,
1
BP=AB=BC=]PC=2,
.?.QG=AC=BC=2.
如圖，當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AQ.
BCP
由旋轉(zhuǎn)可得AP=QP/APQ=/ABC=60°,「.△APQ^等邊三角形，
AQ=PQZAPQ=60°=ZAQP.
又?./APB=30°,ZACB=60°,
?./CAP=30°,/CPQ=90°,.CAP=/CPA
AC=PC,△AC隼△PCQ
1
，/AQC=ZPQC=2/AQP=30,
?.Rt^PCQ中，CQ=2CP=8.
綜上所述，線段CQW長(zhǎng)為2或8.
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