（江蘇專版）2018年高考數(shù)學二輪復習 14個填空題專項強化練（七）平面向量與復數(shù)

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1、 14個填空題專項強化練(七)　平面向量與復數(shù) A組——題型分類練 題型一　平面向量的線性運算 1．已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若＋2＝3，則的值為________． 解析：由＋2＝3，得－＝2－2，即＝2，所以＝. 答案： 2．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝________(用a，b表示)． 解析：由＝3得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 3．已知Rt△ABC的面積為2，∠C＝90°，點P是Rt△ABC所在平面內的一點，滿足＝＋，則·的最大值是________． 解析：由條件可知||·||＝4

2、，·＝0，因為＝－＝－－，＝－＝－－，故·＝·＝97－9||－4||≤97－12×2＝73，當且僅當9||＝4||，即||＝，||＝3時等號成立． 答案：73 題型二　平面向量的坐標表示 1．在?ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標為________． 解析：因為＝－＝(－1，－1)， 所以＝－＝－＝(－3，－5)． 答案：(－3，－5) 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實數(shù)x的值是________． 解析：因為u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v， 所以8－4x＝3＋6x，所以

3、x＝. 答案： 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝____________. 解析：不妨設c＝(m，n)， 則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)， 對于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．① 對于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.② 聯(lián)立①②，解得m＝－，n＝－. 故c＝. 答案： 題型三　平面向量的數(shù)量積 1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b與a－2b垂直，則實數(shù)λ的值為________． 解析：依題意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所

4、以(λa＋b)·(a－2b)＝7λ＋1＝0，λ＝－. 答案：－ 2．已知非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，則a與2a－b夾角的余弦值為__________． 解析：法一：不妨設|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝， 又因為|a|＝1，|2a－b|＝＝＝， 所以a與2a－b夾角的余弦值為＝＝. 法二：(特殊化、坐標化) 設|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則向量a，b，a＋b構成以1為邊長的正三角形， 故可設a＝(1,0)，b＝，a＋b＝， 則a與2a－b的夾角的

5、余弦值為＝＝＝. 答案： 3．已知向量與的夾角為120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________． 解析：由題意得，·＝－3，由·＝(λ＋)·(－)＝0，得λ·－λ2＋2－·＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝. 答案： 4.如圖，已知△ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點P，交BC于點Q.若||＝3，||＝5，則(＋)·(－)的值為________． 解析：由題意知，(＋)·(－)＝(2＋)·＝2·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝32－52＝－16. 答案：－16 5．在△ABC中，已知AB＝，C＝60°，則·的最大值為________．

6、 解析：因為＝－， 所以2＝2＋2－2·， 所以3＝||2＋||2－||·||≥2||·||－||·||＝||·||， 即||·||≤3， 當且僅當||＝||＝時等號成立． 所以·＝||||cos 60°＝||||≤， 所以· 的最大值為. 答案： 6．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面內一點，若＝＋，則△PBC面積的最小值為________． 解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則B，C(0，t)，因為＝＋，所以點P坐標為(4,1)，直線BC的方程為t2x＋y－t＝0，所以點P到直線BC

7、的距離為d＝，BC＝，所以△PBC的面積為××＝≥，當且僅當t＝時取等號． 答案： 題型四　復數(shù) 1．設復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)．若z＝(4＋3i)i，則ab的值是________． 解析：因為z＝a＋bi且z＝(4＋3i)i，所以a＋bi＝4i＋3i2＝－3＋4i，所以a＝－3，b＝4，所以ab＝－12. 答案：－12 2．已知復數(shù)z滿足z＝(1－2i)(3＋i)，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝________. 解析：復數(shù)z＝(1－2i)(3＋i)，i為虛數(shù)單位，則|z|＝|1－2i||3＋i|＝×＝5. 答案：5 3．設復數(shù)z滿足z(1＋i)＝2，其中

8、i為虛數(shù)單位，則z的虛部為________． 解析：由(1＋i)z＝2，得z＝＝＝＝1－i.所以z的虛部為－1. 答案：－1 4．若復數(shù)z滿足(2－i)z＝1＋i，則復數(shù)z在復平面上對應的點在第________象限． 解析：因為z＝＝＝＝＋i，所以復數(shù)z在復平面上對應的點在第一象限． 答案：一 B組——高考提速練 1．復數(shù)z＝(1＋2i)2，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部為________． 解析：因為復數(shù)z＝(1＋2i)2＝－3＋4i，所以復數(shù)z的實部為－3. 答案：－3 2.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝________. 解析：因為＝－＝a－b，又＝3

9、， 所以＝＝(a－b)，所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 答案：a＋b 3．已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線，若向量a＋kb與a－kb垂直，則k＝________. 解析：因為(a＋kb)⊥(a－kb)， 所以(a＋kb)·(a－kb)＝0， 即|a|2－k2|b|2＝0. 又因為|a|＝3，|b|＝4，所以k2＝，即k＝±. 答案：± 4．設復數(shù)z1＝1－i，z2＝a＋2i，若的虛部是實部的2倍，則實數(shù)a的值為________． 解析：＝＝＝，故該復數(shù)的實部是，虛部是. 由題意，知＝2×. 解得a＝6. 答案：6 5．已知復數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)

10、，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________． 解析：法一：復數(shù)z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i， 則|z|＝＝. 法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝×＝. 答案： 6．若a，b均為單位向量，且a⊥(a－2b)，則a，b的夾角大小為________． 解析：設a，b的夾角為θ.因為a⊥(a－2b)， 所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0， 所以1－2cos θ＝0，所以cos θ＝， 而θ∈[0，π]，故θ＝. 答案： 7．若復數(shù)z滿足z＋2＝3＋2i，其中i為虛數(shù)單位，為復數(shù)z的共軛復數(shù)，則復數(shù)z的模為________． 解析：設z＝x＋yi，x，y∈R，

11、則＝x－yi，因為z＋2＝3＋2i，所以z＋2＝(x＋yi)＋2(x－yi)＝3x－yi＝3＋2i，所以x＝1，y＝－2，所以z＝1－2i，所以復數(shù)z的模為. 答案： 8．平面向量a，b滿足|a|＝2，|a＋b|＝4，且向量a與向量a＋b的夾角為，則|b|為________． 解析：因為向量a與向量a＋b的夾角為， 所以cos ＝＝＝， 解得a·b＝0，即a⊥b.所以|a|2＋|b|2＝|a＋b|2， 從而解得|b|＝2. 答案：2 9.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，則·的值為________． 解析：由＝2，得＝(＋2)．又＝－，AB＝AC＝3

12、，cos∠BAC＝，所以· ＝(＋2)·(－)＝×(－9＋3)＝－2. 答案：－2 10．已知邊長為1的正方形ABCD，＝2＋，則||＝________. 解析：法一：由題意得，2＝(2＋)2＝42＋2＋4·.又四邊形ABCD是邊長為1的正方形，所以⊥，所以·＝0.又||＝，||＝，所以2＝4×2＋2＝10，所以||＝. 法二：由題意，作出＝2＋，如圖所示，則||為邊長分別為，2的矩形CFME的對角線的長， 所以||＝ ＝. 答案： 11．已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動點，AB＝8，CD＝6，則·的取值范圍是________． 解析：因為AB為圓O的直徑，

13、所以＋＝2，① 又－＝，② ①2－②2，得4·＝42－2， 所以·＝2－16， 因為M為圓O的弦CD上一動點，AB＝8，CD＝6， 所以根據圓的幾何性質知||∈[，4]， 所以·∈[－9,0]． 答案：[－9,0] 12．在△ABC中，若·＋2·＝·，則的值為________． 解析：法一：設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 由·＋2·＝·， 得ac＋2bc＝ab， 化簡可得a＝c. 由正弦定理得＝＝. 法二：建立平面直角坐標系，設A(0，a)，B(b,0)，C(c，0)， 所以＝(c，－a)，＝(b，－a)，＝(c－b,0)， ＝(－b，a)，＝(－c

14、，a)，＝(b－c,0)， 則由·＋2·＝·， 得b2＋2cb＋2a2－c2＝0， 所以b2－2cb＋c2＝(c－b)2＝2(a2＋b2)， 所以BC＝AB. 由正弦定理得＝＝. 答案： 13．已知平面向量α，β滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，則|α|的取值范圍為________． 解析：法一：由|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，作向量＝α，＝β－α，則＝β，在△OAB中，∠OAB＝60°，OB＝1，則由正弦定理＝，得OA＝sin∠ABO∈，即0<|α|≤. 法二：設|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(

15、β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由關于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0