2018年高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題二 數(shù)學傳統(tǒng)文化的創(chuàng)新應用問題習題

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1、 專題二 數(shù)學傳統(tǒng)文化的創(chuàng)新應用問題 一、選擇題 1．宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著《四元玉鑒》中提出了一個“茭草形段”問題：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，問底子幾何？”他在這一問題中探討了“垛積術”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束，下一層3束，再下一層6束……)成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示從上往下第二層開始的每層茭草束數(shù)，則本問題中三角垛倒數(shù)第二層茭草總束數(shù)為(　　) A．91 B．105 C．120 D．210 解析：由題意得，從上往下第n層茭草束數(shù)為1＋2＋3＋…＋n＝.∴1＋3＋6＋…＋＝680， 即＝n(n＋1)(n＋2

2、)＝680，∴n(n＋1)(n＋2)＝15×16×17，∴n＝15. 故倒數(shù)第二層為第14層，該層茭草總束數(shù)為＝105. 答案：B 2．《張丘建算經》卷上第23題：今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？意思是：現(xiàn)有一女子善于織布，若第1天織5尺布，從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，現(xiàn)在一月(按30天計)共織930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，則每天比前一天多織(　　) A.尺布 B.尺布 C.尺布 D.尺布 解析：設公差為d，則由a1＝5，S30＝30×5＋d＝930，解得d＝. 答案：B 3．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，有已知

3、長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為： 第一步：構造數(shù)列1，，，，…，. 第二步：將數(shù)列①的各項乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an. 則a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于(　　) A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1) 解析：a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝·＋·＋…＋·＝n2 ＝n2＝n2·＝n(n－1)． 答案：C 4．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九面一，所得開立方除之，即立圓徑．“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈ .人們還用過一些類似的近似

4、公式，根據(jù)π＝3.141 59…判斷，下列近似公式中最精確的一個是(　　) A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈ 解析：由球體積公式得d＝ ≈.因為≈1.777 777 78，≈1.910 828 03，≈1.909 090 91.而最接近于，所以選D. 答案：D 5．(2016·河西五市二聯(lián))我國明朝著名數(shù)學家程大位在其名著《算法統(tǒng)宗》中記載了如下數(shù)學問題：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈，”詩中描述的這個寶塔古稱浮屠，本題說它一共有7層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，共有381盞燈，那么塔頂有________盞燈．(　　) A．2

5、 B．3 C．5 D．6 解析：本題可抽象為一個公比為2的等比數(shù)列{an}．∵S7＝＝381，∴可解得a1＝3，即塔頂有3盞燈，故選B. 答案：B 6．(2017·武漢調研)中國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為(　　) A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4 解析：該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為的圓柱，右邊是一個長、寬、高分別為5.4－x、3、1的長方體，∴組合體的體積V＝V圓柱＋V長方體＝π·()2×x＋(5.

6、4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.故選B. 答案：B 7．《九章算術》是我國古代著名數(shù)學經典，其中對勾股定理的論術比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大??；以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺，問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為(　　) (注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5

7、°≈) A．600立方寸 B．610立方寸 C．620立方寸 D．633立方寸 解析：連接OA，OB，OD，設⊙O的半徑為R，則(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.sin∠AOD＝＝.∴∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.故∠AOB≈.∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝××132－×10×12≈6.33平方寸． ∴該木材鑲嵌在墻中的體積為V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．選D. 答案：D 8．(2017·石家莊模擬)李冶( 1192—1279)，真定欒城(今河北省石家莊市)人，金元時期的數(shù)學家、詩人，晚年在封龍山隱居講學，數(shù)學著作多部，其中《益古演段

8、》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑、正方形的邊長等．其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是(注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計算) (　　) A．10步，50步 B．20步，60步 C．30步，70步 D．40步，80步 解析：設圓池的半徑為r步，則方田的邊長為(2r＋40)步，由題意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圓池的直徑為20步，方田的邊長為60步．故選B. 答案：B 二、填空題 9

9、．《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列．上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升． 解析：設該數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，依題意即 解得則a5＝a1＋4d＝a1＋7d－3d＝－＝. 答案： 10．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”．“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2 016這2 016個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項數(shù)為________． 解析：能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15除余1的數(shù)，故an＝

10、15n－14.由an＝15n－14≤2 016，解得n≤，又n∈N*，故此數(shù)列的項數(shù)為135. 答案：135 11．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)： 將三角形數(shù)1, 3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測： (1)b2 012是數(shù)列{an}中的第________項； (2)b2k－1＝________(用k表示)． 解析：由題意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n∈N*，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由

11、上述規(guī)律可知：b2k＝a5k＝(k為正整數(shù))，b2k－1＝a5k－1＝＝， 故b2 012＝b2×1 006＝a5×1 006＝a5 030，即b2 012是數(shù)列{an}中的第5 030項． 答案：(1)5 030　(2) 12．我國南北朝時期的偉大科學家祖暅在數(shù)學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上，于5世紀末提出下面的體積計算原理(祖暅原理)：“冪勢既同，則積不容異”．“勢”是幾何體的高，“冪”是截面積．意思是，兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等．現(xiàn)有下題：在xOy平面上，將兩個半圓弧(x－1)2＋y2＝1(x≥1)和(x－3)2＋y2＝1(x≥3)、兩條直線y

12、＝1和y＝－1圍成的封閉圖形記為D，如圖所示陰影部分．記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為Ω，過(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面積為4π＋8π，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體積值為________． 解析：根據(jù)提示，一個底面半徑為1，高為2π的圓柱平放，一個高為2，底面積為8π的長方體，這兩個幾何體與Ω放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即Ω的體積為π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π 傳統(tǒng)文化訓練二 一、選擇題 1．(2017·長沙模擬)《九章算術》是我國古代第一部數(shù)學專著，

13、全書收集了246個問題及其解法，其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)、第3節(jié)、第8節(jié)竹子的容積之和為(　　) A.升　　　　　　　　 B.升 C.升 D.升 解析：自上而下依次設各節(jié)竹子的容積分別為a1，a2，…，a9，依題意有， 因為a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.選A. 答案：A 2.(2017·沈陽模擬)中國古代數(shù)學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物

14、幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為N≡n(mod m)，例如11≡2(mod 3)．現(xiàn)將該問題以程序框圖給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n等于(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 解析：當n＝21時，21被3整除，執(zhí)行否．當n＝22時，22除以3余1，執(zhí)行否； 當n＝23時，23除以3余2，執(zhí)行是；又23除以5余3，執(zhí)行是，輸出的n＝23.故選C. 答案：C 3．(2017·南昌模擬)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有如下問題：今有甲乙丙三人持錢，甲語乙丙：各將公等所持錢，半以益我，錢成九十(意思是把你們兩個手上的

15、錢各分我一半，我手上就有90錢)；乙復語甲丙，各將公等所持錢，半以益我，錢成七十；丙復語甲乙：各將公等所持錢，半以益我，錢成五十六，則乙手上有________錢．(　　) A．28 B．32 C．56 D．70 解析：設甲、乙、丙三人各持有x，y，z錢，則，解方程組得， 所以乙手上有32錢． 答案：B 4．(2017·石家莊模擬)在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑A－BCD中，AB⊥平面BCD.且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點P在棱AC上運動，設CP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則f(x)的圖象大致是(　　) 解析：如圖，作P

16、Q⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，連接PR，則由鱉臑的定義知PQ∥AB，QR∥CD.設AB＝BD＝CD＝1，則＝＝，即PQ＝，又＝＝＝，所以QR＝，所以 PR＝＝＝， 所以f(x)＝＝，故選A. 答案：A 5．歐拉公式eix＝cos x＋isin x是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，復數(shù)ei·ei＋(1＋i)2的虛部是(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：依題意得，ei·ei＋(1＋i)2＝(cos ＋isin )(cos＋

17、isin)＋2i＝－1＋2i，其虛部是2，選D. 答案：D 6．宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等．下圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5,2，則輸出的n＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：程序運行如下：n＝1，a＝5＋＝，b＝4，a＞b，繼續(xù)循環(huán)；n＝2，a＝＋×＝，b＝8， a＞b，繼續(xù)循環(huán)；n＝3，a＝＋×＝，b＝16，a＞b，繼續(xù)循環(huán)；n＝4，a＝＋×＝， b＝32，此時，a＜b.輸出n＝4，故選C. 答案：C 7．(2017·衡水中學調研)今有良馬與駑馬

18、發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，問：幾何日相逢？(　　) A．12日 B．16日 C．8日 D．9日 解析：由題易知良馬每日所行里數(shù)構成一等差數(shù)列其通項公式為an＝103＋13(n－1)＝13n＋90，駑馬每日所行里數(shù)也構成一等差數(shù)列，其通項公式為bn＝97－(n－1)＝－n＋，二馬相逢時所走路程之和為2×1 125＝2 250，所以＋＝2 250，即＋＝2 250， 化簡得n2＋31n－360＝0，解得n＝9或n＝－40(舍去)，故選D. 答案：D 8．埃及數(shù)學中有一個獨特現(xiàn)象：除用

19、一個單獨的符號表示以外，其他分數(shù)都要寫成若干個單位分數(shù)和的形式，例如＝＋，可以這樣理解：假定有兩個面包，要平均分給5個人，若每人分得一個面包的，不夠，若每人分得一個面包的，還余，再將這分成5份，每人分得，這樣每人分得＋.形如(n＝5,7,9,11，…)的分數(shù)的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此規(guī)律，＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析：根據(jù)分面包原理知，等式右邊第一個數(shù)的分母應是等式左邊數(shù)的分母加1的一半， 第二個數(shù)的分母是第一個數(shù)的分母與等式左邊數(shù)的分母的乘積，兩個數(shù)的原始分子都是1， 即＝＋＝＋.故選A. 答案：A 二、填空題 9．某同學想求斐波那契數(shù)列0,1,1,2

20、，…(從第三項起每一項等于前兩項的和)的前10項和，他設計了一個程序框圖，則滿足條件的整數(shù)P的值為________． 解析：由題意，第1次循環(huán)：a＝0，b＝1，i＝3，S＝0＋1＝1，求出第3項c＝1，求出前3項和 S＝0＋1＋1＝2，a＝1，b＝1，滿足條件，i＝4，執(zhí)行循環(huán)體；第2次循環(huán)：求出第4項c＝1＋1＝2，求出前4項和S＝0＋1＋1＋2＝4，a＝1，b＝2，滿足條件，i＝5，執(zhí)行循環(huán)體，…… 第8次循環(huán)：求出第10項c，求出前10項和S，此時i＝10，由題意不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出S的值，故判斷框內應為“i≤9？”，所以P的值為9. 答案：9 10．古希臘畢達哥拉斯

21、學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為＝n2＋n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式： 三角形數(shù)　N(n,3)＝n2＋n， 正方形數(shù)　N(n,4)＝n2， 五邊形數(shù)　N(n,5)＝n2－n， 六邊形數(shù)　N(n,6)＝2n2－n， …… 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝________. 解析：由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推測：當k為偶數(shù)時，N(n，k)＝n2－n，于是N(n,24)＝11n2－10n，故N(10,24)＝11×102－10×

22、10＝1 000. 答案：1 000 11．(2017·貴陽模擬)輾轉相除法，又名歐幾里得算法，乃求兩個正整數(shù)之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中國則可以追溯至東漢時期出現(xiàn)的《九章算術》．圖中的程序框圖所描述的算法就是歐幾里得輾轉相除法．若輸入m＝5 280，n＝12 155，則輸出的m的值為________． 解析：通解：依題意，當輸入m＝5 280，n＝12 155時，執(zhí)行題中的程序框圖，進行第一次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r＝5 280，m＝12 155，n＝5 280，r≠0；進行第二次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r＝1 595，m＝5 280，n＝1 595，r≠0；進

23、行第三次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r＝495，m＝1 595，n＝495，r≠0；進行第四次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r＝110，m＝495，n＝110，r≠0；進行第五次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r＝55，m＝110，n＝55，r≠0；進行第六次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r＝0，m＝55，n＝0，r＝0，此時結束循環(huán)，輸出的m的值為55. 優(yōu)解：依題意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280與12 155的最大公因子是55，即輸出的m的值為55. 答案：55 12．(2017·合肥模擬)中國古代數(shù)學有著很多令人驚嘆的成就．北宋沈括在《夢溪筆談》卷十八《技藝》篇中首創(chuàng)隙積術．隙積術意即：將木桶一層層堆放成壇狀，最上一層長有a個，寬有b個，共計ab個木桶，每一層長寬各比上一層多一個，共堆放n層，設最底層長有c個，寬有d個，則共計有木桶個，假設最上層有長2寬1共2個木桶，每一層的長寬各比上一層多一個，共堆放15層，則木桶的個數(shù)為________個． 解析：根據(jù)題意可知，a＝2，b＝1，n＝15，則c＝2＋14＝16，d＝1＋14＝15，代入題中所給的公式，可計算出木桶的個數(shù)為＝1 360. 答案：1 360 - 11 -