2018年高考數(shù)學 命題角度5.6 圓錐曲線的探究、存在性問題大題狂練 文

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1、 命題角度5.6：圓錐曲線的探究、存在性問題 1.已知橢圓C：經(jīng)過點，離心率，直線的方程為 ． （1）求橢圓的方程； （2）經(jīng)過橢圓右焦點的任一直線（不經(jīng)過點）與橢圓交于兩點，，設直線與相交于點，記的斜率分別為，問：是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由． 【答案】（1）；（2）為定值. 試題解析： （1）由點在橢圓上得， ① ② 由 ①②得，故橢圓的方程為. （2）由題意可設的斜率為，則直線的方程為 ③ 代入橢圓方程并整理得 設，則有 ④ 在方程③中，令得，，從而 .又因為共線，則有， 即有 所以 = ⑤ 將④代入⑤得

2、，又， 所以 為定值. 點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用． 2.已知橢圓：（），以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過橢圓左右兩個焦點，，是橢圓的長軸端點． （1）求圓的方程和橢圓的離心率； （2）設，分別是橢圓和圓上的動點（，位于軸兩側），且直線與軸平行，直線，分別與軸交于點，，試判斷與所在的直線是否互相

3、垂直，若是，請證明你的結論；若不是，也請說明理由． 【答案】（1）;（2）與所在的直線互相垂直． 試題解析：（1）由橢圓定義可得，又且，解得，， 則圓的方程為，橢圓的離心率． （2）如圖所示，設（），，則 即 又由：，得． 由：，得． 所以 ，， 所以， 所以，即與所在的直線互相垂直． 點睛：本題考查橢圓方程和圓方程的求法，注意運用橢圓的定義和基本量的關系，考查定值問題的解法，注意運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題. 3.橢圓的左、右焦點分別為，且離心率為，點為橢圓上一動點， 內(nèi)

4、切圓面積的最大值為. （1）求橢圓的方程； （2）設橢圓的左頂點為，過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，連接并延長分別交直線于兩點，以為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由. 【答案】（1）；（2）和． 【解析】試題分析：（1）首先設，然后根據(jù)離心率得到與的關系，再根據(jù)三角形面積取得最大值時點為短軸端點，由此求得的值，從而求得橢圓方程；（2）首先設出直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，然后利用韋達定理結合向量數(shù)量積的坐標運算求得定點坐標． （2）設直線的方程為， ， ，聯(lián)立可得 ，則， ， 直線的方程為，直線的方程為， 則， ， 假設為直徑的圓是否恒過定

5、點， 則， ， ， 即， 即， ， 即，若為直徑的圓是否恒過定點，即不論為何值時， 恒成立，因此， ， 或，即恒過定點和． 考點：1、橢圓的幾何性質(zhì)；2、直線與橢圓的位置關系；3、向量數(shù)量積的運算． 【方法點睛】求解圓錐曲線中的定點與定值問題的方法有兩種：一是研究一般情況，通過邏輯推理與計算得到定點或定值，這種方法難度大，運算量大，且思路不好尋找；另外一種方法就是先利用特殊情況確定定點或定值，然后驗證，這樣在整理式子或求值時就有了明確的方向． 4.已知橢圓的離心率為，四個頂點構成的菱形的面積是4，圓過橢圓的上頂點作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點（不同于點），直線的斜率分別為

6、. （1）求橢圓的方程； （2）當變化時，①求的值；②試問直線是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由. 【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】試題分析：（1）由題設知， ， ，又，解得，由此可得求橢圓的方程；（2）①，則有，化簡得，對于直線，同理有，于是是方程的兩實根，故，即可證明結果；②考慮到時， 是橢圓的下頂點， 趨近于橢圓的上頂點，故若過定點，則猜想定點在軸上. 由，得，于是有，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即可證明直線過定點. 試題解析：（1）由題設知， ， ，又， 解得. 故所求橢圓的方程是. 由，得，于是有. 直線的斜率為， 直線的方程為

7、， 令，得， 故直線過定點. 5. 已知⊙： 與⊙： ，以， 分別為左右焦點的橢圓： 經(jīng)過兩圓的交點。 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）、是橢圓上的兩點，若直線與的斜率之積為，試問的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由。 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的面積為定值3. 【解析】試題分析：（Ⅰ）設兩圓的交點為，依題意有解得，進而得； （Ⅱ）討論斜率不存在和斜率存在時兩種情況，設直線的方程為， ， ，直線與橢圓聯(lián)立得， ，由，得，表示面積即可得定值. 試題解析： （Ⅱ）當直線的斜率不存在時，設 又 設直線的方程為， ， ， 由，得， 由，得 （*

8、） 且， ， ∴ ∵，∴， 整理得， 代入（*）得， ∵ 原點到直線的距離 ∴（定值）。 綜上所述， 的面積為定值3. 點睛：定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn). 6.已知橢圓（）的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，離心率為，點， 為線段的中點. （1）求橢圓的方程； （2）若過點且斜率不為0的直線與橢圓的交于兩點，已

9、知直線與相交于點，試判斷點是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析 試題解析: （Ⅰ）設點，由題意可知： ，即 ① 又因為橢圓的離心率，即 ② 聯(lián)立方程①②可得： ，則 所以橢圓的方程為． （Ⅱ）方法一：根據(jù)橢圓的對稱性猜測點是與軸平行的直線上． 假設當點為橢圓的上頂點時，直線的方程為，此時點 ， 則聯(lián)立直線和直線可得點 據(jù)此猜想點在直線上，下面對猜想給予證明： 設，聯(lián)立方程可得： 由韋達定理可得， （*） 因為直線， ， 聯(lián)立兩直線方程得（其中為點的橫坐標）即證： ， 即，即證

10、 將（*）代入上式可得 此式明顯成立，原命題得證．所以點在定直線上上． 方法二：設， 兩兩不等， 因為三點共線，所以， 整理得： 又三點共線，有： ① 又三點共線，有： ② 將①與②兩式相除得： 即， 將即代入得： 解得（舍去）或，所以點在定直線上． 方法三：顯然與軸不垂直，設的方程為， . 由得. 設， 兩兩不等， 則， ， 由三點共線，有： ① 由三點共線，有： ② ①與②兩式相除得： 解得（舍去）或，所以點在定直線上． 點睛：定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題

11、涉及的幾何式轉化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn). 7.在平面直角坐標系中，已知橢圓（），圓（），若圓的一條切線與橢圓相交于兩點. （1）當， 時，若點都在坐標軸的正半軸上，求橢圓的方程； （2）若以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，探究是否滿足，并說明理由. 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析：（1）利用點到直線的距離公式可求得，由點都在坐標軸的正半軸上，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）由以為直徑的圓經(jīng)過點，可得，即，由在直線上，可將用表示，然后聯(lián)立

12、直線與橢圓的方程結合韋達定理得，化簡可得結論. 試題解析：（1）∵直線與相切，∴. 由， ，解得. ∵點都在坐標軸正半軸上， ∴. ∴切線與坐標軸的交點為， . ∴， . ∴橢圓的方程是. （2）的關系滿足. 證明如下：設， ∵以為直徑的圓經(jīng)過點， ∴，即. ∵點在直線上， ∴. ∴ （*） 由消去，得. 即 顯然 ∴由一元二次方程根與系數(shù)的關系，得 代入（*）式，得. 整理，得. 又由（1），有. 消去，得 ∴ ∴滿足等量關系. 點睛：本題主要考查了橢圓的標準方程，直線與圓的位置關系之相切以及直線與橢圓的位置關系之相交與韋達定理相結合，計算

13、量較大，由一定難度；由直線與坐標軸的交點可得橢圓中的， 的值，即可得橢圓的方程，對于第二問主要用到直徑所對的圓周角為直角轉化為向量的數(shù)量積為，由直線相交得與的關系，最后用到最常見的直線與橢圓相交聯(lián)立方程組與韋達定理結合，得. 8..已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設是橢圓上的點，直線與（為坐標原點）的斜率之積為．若動點滿足，試探究是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）見解析. 【解析】試題分析：(Ⅰ)利用橢圓的離心率計算公式和點在橢圓上列方程組求解即可得出． (Ⅱ)利用向量的坐標運算、點在橢圓上滿足

14、橢圓的方程、斜率計算公式及其橢圓的定義即可得出． 試題解析： (Ⅰ)∵ ∴ 又∵橢圓經(jīng)過點 ∴ 解得：， 所以橢圓的方程為． 設，分別為直線與的斜率，由題意知， ，因此 所以， 所以點是橢圓上的點， 所以由橢圓的定義知存在點，滿足為定值 又因為， 所以坐標分別為、． 9.已知右焦點為的橢圓與直線相交于、兩點，且. （1）求橢圓的方程； （2）為坐標原點， ， ， 是橢圓上不同的三點，并且為的重心，試探究的面積是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，說明理由. 【答案】(1) ；(2)是， . 【解析】（1）設， ，則 ， ，即，① ，

15、 ，即，② 由①②得， 又， ， 橢圓的方程為． （2）設直線方程為： ， 由得， 為重心， ， 點在橢圓上，故有， 可得， 而， 點到直線的距離（是原點到距離的3倍得到）， ， 當直線斜率不存在時， ， ， ， 的面積為定值． 10.在平面直角坐標系中，已知動點到定點的距離與到定直線的距離之比為． （1）求動點的軌跡的方程； （2）已知為定直線上一點. ①過點作的垂線交軌跡于點（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值； ②若點的坐標為，過點作動直線交軌跡于不同兩點，線段上的點滿足，求證：點恒在一條定直線上. 【答案】（1）（2）①直線與的斜

16、率之積為定值． ②點在定直線上． 【解析】試題分析：（1）設動點坐標，直接利用軌跡方程定義計算即可；（2）， ①令，由，得，即，即，又因為點在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值； ②令，則，代入橢圓，消元即可證明點在定直線上． 試題解析：（1）設，則，點到直線的距離， 由，得，化簡得， 即點在軌跡的方程為； ． ②令，則， 令點，則， 即，即 由①×③，②×④，得， 因為在橢圓上，所以， ⑤×2+⑥×3，得 ，即， 所以點在定直線上． 本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系，是高考的必考點，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關系寫出，再根據(jù)具體問題應用上式，其中要注意判別式條件的約束作用． - 20 -