備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 解答題高分寶典 專題03 概率與統(tǒng)計（核心考點）理

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1、 專題03概率與統(tǒng)計 核心考點一概率與隨機(jī)變量的分布列 隨機(jī)變量的分布列及期望是高考考查的熱點,在考查時經(jīng)常與統(tǒng)計知識結(jié)合在一起考查,求離散型隨機(jī)變量的分布列一般要涉及到隨機(jī)變量概率的求法,求概率時一定要弄清相應(yīng)的概率類型（古典概型、相互獨立事件的概率、獨立重復(fù)實驗、條件概率）. 【經(jīng)典示例】從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設(shè)各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為. （1）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （2）若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率. 答題模板 第一步,理解ξ的意義,寫出ξ可能取的全

2、部值； 第二步,求ξ取每個值的概率； 第三步,寫出ξ的分布列； 第四步,由均值的定義求E(ξ)．. 【滿分答案】（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3. , , , . 所以隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. （2）設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù),則所求事件的概率為 . 所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為. 【解題技巧】 1.利用古典概型求事件A的概率,關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.如果基本事件的個數(shù)比較少,可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出

3、來,然后再求出事件A中的基本事件數(shù),利用公式P(A)＝求出事件A的概率,注意列舉時必須按照某一順序做到不重不漏；如果基本事件個數(shù)比較多,列舉有一定困難時,也可借助兩個計數(shù)原理及排列組合知識直接計算m,n,再運用公式P(A)＝求概率. 2.幾個事件不能同時發(fā)生的應(yīng)用問題,可轉(zhuǎn)化為互斥事件來解決,關(guān)鍵是分清事件是否互斥；相互不影響的事件是否發(fā)生的實際應(yīng)用問題,可轉(zhuǎn)化為獨立事件的概率問題,解決此類問題要注意相互獨立事件同時發(fā)生與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系. 3.對于復(fù)雜概率的計算一般要先設(shè)出事件,準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì),把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復(fù)試驗四類事件中的某一種；其次判斷事

4、件是A＋B還是AB事件,確定事件至少有一個發(fā)生,還是同時發(fā)生,分別運用相加或相乘事件公式；最后選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復(fù)試驗的概率公式求解． 4.超幾何分布的特點是：①整體一般由兩部分組成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、次品”等,②總體一般是有限個,超幾何分布主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品,摸不同類型的小球等模型注意特殊背景下的“超幾何分布”被轉(zhuǎn)化為“二項分布”,如從兩類對象中不放回地抽取n個元素,當(dāng)兩類對象的總數(shù)量很大時,超幾何分布近似于二項分布. 5.列出分布列后,可用所有概率之和為1進(jìn)行檢驗. 模擬訓(xùn)練 1．甲、乙兩人組成“星隊”參

5、加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語,在一輪活動中,如果兩人都猜對,則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對,則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對,則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動,求： （1）“星隊”至少猜對3個成語的概率； （2）“星隊”兩輪得分之和為的分布列和數(shù)學(xué)期望. , 所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為. （2）由題意,隨機(jī)變量的可能取值為.由事件的獨立性與互斥性, 得,, , ,, . 可得隨機(jī)變量X的分布列為 0 1 2 3 4

6、6 所以數(shù)學(xué)期望. 核心考點二正態(tài)分布 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中相對較獨立的一個考點,且已經(jīng)從冷點轉(zhuǎn)化為熱點,求解此類問題,一般從入手,對于應(yīng)用問題,要注意從較大的閱讀量中提取有用的信息. 【經(jīng)典示例】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個零件,并測量其尺寸（單位：）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記表示一天內(nèi)抽取的個零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出

7、現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． （?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的個零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計算得,,其中為抽取的第個零件的尺寸,． 用樣本平均數(shù)作為的估計值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值,利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到）． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則 ,,． 答題模板

8、第一步,讀懂題意,從題中提取有用信息；. 第二步,通過計算確定的值；. 第三步,利用正態(tài)分布的性質(zhì)或3解題. 第四步,檢驗、作答. 【滿分答案】（1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為,落在之外的概率為．, , 由題可知,所以. （2）（i）尺寸落在之外的概率為,由正態(tài)分布知尺寸落之外為小概 率事件,因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理． （ii）,, ,因為, 所以需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程檢查． 因此剔除,剔除數(shù)據(jù)之后：． . 所以. 【解題技巧】 (1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱,及曲線與x軸之間的面積為1

9、. (2)利用3σ原則求概率問題時,要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進(jìn)行對比聯(lián)系,確定它們屬于(μ－σ,μ＋σ),(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ,μ＋3σ)中的哪一個. 模擬訓(xùn)練 2．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)； (2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2. ①利用該正態(tài)分布,求P(187.8

10、； ②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用①的結(jié)果,求E(X). 附：≈12.2.若Z～N(μ,σ2),則P(μ－σ

11、立數(shù)學(xué)模型,再應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實際問題.該類問題閱讀量一般比較大,但難度多為中等或中等偏易. 【經(jīng)典示例】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年位居民每人的月均用水量（單位：噸）,將數(shù)據(jù)按照,,,分成組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （1）求直方圖中的值； （2）設(shè)該市有萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于噸的人數(shù),請說明理由； （3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)

12、準(zhǔn)（噸）,估計的值,并說明理由. 答題模板 第一步,讀懂題意,確定各組頻率；. 第二步,利用概率之和為1,求的值； 第三步,用頻率分別直方圖估計平均數(shù). 第四步,用樣本數(shù)據(jù)對總體進(jìn)行估計代換. 【滿分答案】（1）由頻率分布直方圖知,月均用水量在中的頻率為,同理,在,,,,,中的頻率分別為,,,,,. 由,解得. （2）由（1）,位居民每人月均用水量不低于噸的頻率為. 由以上樣本的頻率分布,可以估計全市萬居民中月均用水量不低于噸的人數(shù)為 . （3）因為前組的頻率之和為, 而前組的頻率之和為, 所以由,解得. 【解題技巧】 1.解決頻率分布直方圖問題時要抓?。? (1

13、)直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示,故每組樣本的頻率為組距×,即矩形的面積．(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù)． 2.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系： (1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和,即平均數(shù)=． 模擬訓(xùn)練 3．三個班共有名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）； 班 6 6.5 7 7.5 8 班

14、6 7 8 9 10 11 12 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）試估計班的學(xué)生人數(shù)； （2）從班和班抽出的學(xué)生中,各隨機(jī)選取一人,班選出的人記為甲,班選出的人記為乙,假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率； （3）再從三個班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們該周的鍛煉時間分別是,,（單位：小時）,這個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為,試判斷和的大小,（結(jié)論不要求證明）. 從班抽出的學(xué)生中選取一人

15、甲有5種選法,從班抽出的學(xué)生中選取一人乙有8種選法.由分步計數(shù)原理知,選出甲、乙兩人共有種選法.其中甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的選法有 (其中表示該周甲、乙的鍛煉時間分別是6小時,3小時,其余類推).共有種. 所以,即該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率是. （3）.因為表格中三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,,,所以總的的平均值,. 新加的三個數(shù)據(jù),,,平均值為,比小,所以拉低了平均值,即. 核心考點四回歸分析 高考對回歸分析的考查方向比較固定,即先根據(jù)數(shù)據(jù)確定回歸方程,再根據(jù)散點圖或相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性的強(qiáng)弱,最后根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測,此類問題運算量一般較大,要注意運算的準(zhǔn)確性. 【經(jīng)典

16、示例】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖 （1）由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明 （2）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到）,預(yù)測年我國生活垃圾無害化處理量. 參考數(shù)據(jù)：,,,. 參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： 答題模板 第一步,利用散點圖或相關(guān)系數(shù)r,確定兩個變量的相關(guān)程度的高低； 第二步,用最小二乘法求回歸直線方程＝x＋； 第三步,利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報； 第四步,對于非線性(可線性化)的回歸分析,一般是利用條件及我們熟識的函數(shù)模型,將題目中的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線

17、性關(guān)系進(jìn)行分析,最后還原． 【滿分答案】（1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得,,, ,. 因為與的相關(guān)系數(shù)近似為,說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. （1）變量與的相關(guān)系數(shù), 又,,,,, 所以, 故可用線性回歸模型擬合變量與的關(guān)系. （2）,,所以, ,所以線性回歸方程為. 當(dāng)時,.因此,我們可以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理億噸. 【解題技巧】線性回歸分析問題的類型 (1)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測,把線性回歸方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值． (2)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)；決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù). (3)回歸方程的擬合效果,

18、可以利用相關(guān)系數(shù)判斷,當(dāng)|r|越趨近于1時,兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)． 模擬訓(xùn)練 4．某品牌手機(jī)廠商推出新款的旗艦機(jī)型,并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機(jī)上市時間(x個月)和市場占有率(y%)的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù)： x 1 2 3 4 5 y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18 (1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程； (2)根據(jù)上述回歸方程,分析該款旗艦機(jī)型市場占有率的變化趨勢,并預(yù)測自上市起經(jīng)過多少個月,該款旗艦機(jī)型市場占有率能超過0.5%(精確到月)． 附：＝,＝－. 所以線性回歸方程為＝0.042x－0.026.

19、(2)由(1)中的回歸方程可知,上市時間與市場占有率正相關(guān), 即上市時間每增加1個月,市場占有率約增加0.042個百分點． 由＝0.042x－0.026>0.5,解得x≥13, 故預(yù)計上市13個月時,該款旗艦機(jī)型市場占有率能超過0.5%. 核心考點五獨立性檢驗 在高考中獨立性檢驗常與抽樣方法、樣本對總體的估計等知識結(jié)合在一起考查,難度多為中等或中等以下,屬于得分題. 【經(jīng)典示例】某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年

20、齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖 (1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率； (2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？ 附：K2＝ P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706

21、 3.841 6.635 10.828 答題模板 第一步,假設(shè)兩個分類變量x與y沒有關(guān)系； 第二步,計算出K2的觀測值,其中K2＝； 第三步,把K2的值與臨界值比較,作出合理的判斷． 【滿分答案】(1)由已知得,樣本中有25周歲以上組工人60名,25周歲以下組工人40名,所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人),25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人),從5名工人中隨機(jī)抽取2人有C＝10種情形,每種情形都是等可能出現(xiàn)的,其中至少抽到一名“25周歲以下組”工人有CC＋C＝7種,故所求概率P＝. (2)由頻率分布直方圖可知,在抽

22、取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25＝15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375＝15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如圖所示： 生產(chǎn)能手 非生產(chǎn)能手 合計 25周歲以上組 15 45 60 25周歲以下組 15 25 40 合計 30 70 100 所以K2＝＝＝≈1.79. 因為1.79<2.706,所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)” . 【解題技巧】 (1)在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及相關(guān)值的確定,不可混淆． (2)在實際問題中,獨立性檢驗的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述,得到的結(jié)論有

23、一定的概率出錯． (3)對判斷結(jié)果進(jìn)行描述時,注意對象的選取要準(zhǔn)確無誤,應(yīng)是對假設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率的判斷,而非其他． 模擬訓(xùn)練 5.某公司為評估兩套促銷活動方案（方案1運作費用為5元/件；方案2的運作費用為2元/件）,在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進(jìn)行試點（每個試點網(wǎng)點只采用一種促銷活動方案）,運作一年后,對比該地區(qū)上一年度的銷售情況,制作相應(yīng)的等高條形圖如圖所示． （1）請根據(jù)等高條形圖提供的信息,為該公司今年選擇一套較為有利的促銷活動方案（不必說明理由）； （2）已知該公司產(chǎn)品的成本為10元/件（未包括促銷活動運作費用）,為制定本年度該地區(qū)的產(chǎn)品銷售價格,統(tǒng)計上一年度的8組售價（單位：

24、元/件,整數(shù)）和銷量（單位：件）（）如下表所示： 售價 33 35 37 39 41 43 45 47 銷量 840 800 740 695 640 580 525 460 ①請根據(jù)下列數(shù)據(jù)計算相應(yīng)的相關(guān)指數(shù),并根據(jù)計算結(jié)果,選擇合適的回歸模型進(jìn)行擬合； ②根據(jù)所選回歸模型,分析售價定為多少時？利潤可以達(dá)到最大. 49428.74 11512.43 175.26 124650 （附：相關(guān)指數(shù)） 回歸模型對應(yīng)的相關(guān)指數(shù). 因為,所以采用回歸模型進(jìn)行擬合最為合適. ②由（1）可知,采用方案1的運作效果較方案2好, 故年利潤, , 當(dāng)時, 單調(diào)遞增； 當(dāng)時, 單調(diào)遞減, 故當(dāng)售價時,利潤達(dá)到最大. 14