高等數(shù)學試卷：98級高等數(shù)學（上）期中試題

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1、98級高等數(shù)學(上)期中試題 一、填空題（3×8=24分） 1．. 解：∵ ，， ∴。 2．若在內(nèi)連續(xù)，則 -2 。 解：， ∴。 3．若，其中可導，則. 解： . 4.若，則 1 . 解： 。 5.函數(shù)由方程確定，則。 解：， ，。 6．函數(shù)的帶拉格朗日余項的三階麥克勞林公式為 。 解：， ，，， ∴ （在與之間）。 7．若，則。 解：，。 8．曲線的單增區(qū)間為，下凸區(qū)間為。 解：的定義域為， ，， 令，得；令，得。 1

2、 2 + 0 - - - - - - 0 + 二、選擇題（4×4=16分） 9．當時，與為等價無窮小，則必有（ A ） （A），； （B），； （C），； （D），。 解：，。 10．函數(shù)的不可導點的個數(shù)是（ C ） （A）3； （B）2； （C）1； （D）0。 解：的可能不可導點為，。 ∵， ， ∴。 ∵， ， ∴不存在。 11．曲線（ C ） （A）沒有漸近線； （B）有一條漸近線； （C）有二條漸近線； （D）有三條漸近線。

3、 解：∵，∴曲線無水平漸近線； ∵， ∴直線是曲線的垂直漸近線； ∵，， ∴直線是曲線的斜漸近線。 12．已知在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在處（ D ） （A）不可導； （B）可導且； （C）取得極大值； （D）取得極小值。 解：∵在連續(xù)，∴， ∵，∴， ∴當時，。故應選（D）。 三、解答題 （30分） 13．設，求（6分） 解：，，。 14．求極限：（6分） 解： 。 15．設函數(shù)由方程確定， 試求它的駐點，并判定 它是否為極值點，如果是極值點，是極大點還是極小點？（8分） 解：，

4、即， ① 令，得，代入原方程，得， ，得唯一駐點，此時， 再對①式兩邊求導，得 ， ， ② 把，，代入②式，得，∴是極小值點。 16．試確定的范圍，使方程有實根。（10分） 解題思路：設，。當且僅屬于函數(shù)的值 域時，方程有實根。首先確定在內(nèi)的值 域。為此需要求的極值。 ，令，得唯一駐點， ∵，∴是極小值，也是最小值， 又∵，， ∴的值域是， ∴當時，直線才能與曲線相交， 這時方程才能有實根。 四、應用題（2×10=20分） 17．設某銀行中的總存款量與銀行付給存戶年利率的平方成正比。

5、若銀行以 的年利率把總存款的貸出，問銀行給存戶的年利率定為多少，它才 能獲得最大利潤？ 解：設銀行付給存戶的年利率為，總存款量為，總利潤為，則 （為常數(shù)），，即 ， ，， 令，得，(應舍去)。 ∵，∴是極大值點，也是最大值點。 ∴當銀行給存戶的年利率定為時，才能獲得最大利潤。 18.一盞高的路燈照在一個距燈遠，從高處自由下落的球上，球的影子 沿水平地面移動，求當球離地面高時影子移動的速度（空氣阻力忽略不計）。 解：以燈柱與地面的交點為原點，燈柱所在的直線為軸，建立平面直角坐標系。 燈的位置為，球的初始位置為。 設球下落離地面時， 影子距原點的，則有 ，，∴， ∵，， ∴當時，由，得，。 ∴所求影子移動的速度為。 五、證明題（10分） 19．設在連續(xù)，在內(nèi)可導，， 試證：，使。 分析：即證。這題是要證明存在兩個中間值，，滿足等 式。由于用一次中值定理只能找到一個中間值，故要用兩次 中值定理才能解決問題。 證明：設 ，， ∵和在上滿足中值定理， ∴，使，， ∵， ∴，從而。 7