高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例課件 新人教A版選修45

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1、二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例貝努利貝努利(Bernoulli)(Bernoulli)不等式不等式如果如果x x是實數(shù)，且是實數(shù)，且x-1x-1，x0,nx0,n為大于為大于1 1的自然數(shù)的自然數(shù), ,則有則有_._.(1+x)(1+x)n n1+nx1+nx1.1.在應用貝努利不等式時應注意什么在應用貝努利不等式時應注意什么? ?提示：提示：在應用貝努利不等式時要注意應用條件在應用貝努利不等式時要注意應用條件x-1,x-1,且且x0.x0.2.2.用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明3 3n nnn3 3(n3(n3，nNnN) )，第一步應驗證，第一步應驗證_._.【解析【解析】由題意知由題意

2、知n3n3，所以應驗證，所以應驗證n n3.3.答案：答案：n n3 33.3.用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明 (a(a，b b是非負實數(shù)，是非負實數(shù)，nNnN+ +) )時，假設時，假設n nk k時不等式時不等式 成立，再成立，再推證推證n nk+1k+1時不等式也成立的關鍵是將時不等式也成立的關鍵是將( (* *) )式兩邊同乘式兩邊同乘_._.【解析【解析】對比對比k k與與k+1k+1時的結論可知，兩邊只需同乘時的結論可知，兩邊只需同乘 即可即可. .答案：答案：nnnabab()22+kkkabab() (*)22+ab2+ab2+對貝努利對貝努利(Bernoulli)(Bern

3、oulli)不等式的理解不等式的理解當指數(shù)當指數(shù)n n推廣到任意實數(shù)推廣到任意實數(shù)時，時，x-1x-1時，時，若若0101，則，則(1+x)(1+x)1+x.1+x.若若011，則，則(1+x)(1+x)1+x.1+x.當且僅當當且僅當x=0 x=0時等號成立時等號成立. . 類型類型 一一 用數(shù)學歸納法證明不等式用數(shù)學歸納法證明不等式 【典型例題【典型例題】1.1.用數(shù)學歸納法證明：用數(shù)學歸納法證明：2.2.求證：當求證：當n2n2且且nNnN+ +時，時，()222111112n2 .23nn+ +【解析【解析】1.(1)1.(1)當當n n2 2時，時， 命題成立命題成立. .(2)(2

4、)假設假設n nk(kNk(kN+ +，k2)k2)時命題成立，時命題成立，即即當當n nk+1k+1時，時， 命題成立命題成立. .由由(1)(2)(1)(2)知原不等式在知原不等式在n2n2時均成立時均成立. .21513122422+- ，22211111223kk+ +-，22221111123k(k1)+ +()()21111111222kkk k1kkk1k1-+-+-+-+12k1-+，2.(1)2.(1)當當n=2n=2時，不等式的左邊時，不等式的左邊所以原不等式成立所以原不等式成立. .(2)(2)假設當假設當n=k(k2,kNn=k(k2,kN+ +) )時，不等式成立，時

5、，不等式成立，即即111119934562010=+=，1119,k1k23k10+ +當當n=k+1n=k+1時，時，左邊左邊111111k2k33k3k13k23k3=+ +11111111()k1k2k33k3k13k23(k1)k1=+ +-+91111,103k13k23(k1)k1+-+因為因為所以左邊所以左邊所以，當所以，當n=k+1n=k+1時，不等式也成立，時，不等式也成立，由由(1)(2)(1)(2)知，不等式對大于知，不等式對大于1 1的正整數(shù)都成立的正整數(shù)都成立. .1111,3k13(k1) 3k23(k1)+91111103k13k23(k1)k1+-+911119

6、,103(k1)3(k1)3(k1)k110+-=+【互動探究【互動探究】將題將題2 2不等式右邊的值改為不等式右邊的值改為 如何證明呢？如何證明呢？【證明【證明】(1)(1)當當n=2n=2時，左邊時，左邊 不等式成立不等式成立. .56，1111534566=+ ，(2)(2)假設當假設當n=k(k2n=k(k2，kNkN+ +) )時命題成立，即時命題成立，即則當則當n=k+1n=k+1時，時，1115,k1k23k6+ +111111(k1)1(k1)23k3k13k23(k1)1111111()k1k23k3k13k23k3k1+ +=+ +-+所以當所以當n=k+1n=k+1時，不

7、等式也成立，時，不等式也成立，由由(1)(2)(1)(2)可知，原不等式對一切可知，原不等式對一切n2n2，nNnN+ +均成立均成立. .51111()63k13k23k3k151111()63k33k33k3k15315(),63k3k16+-+-+=+-=+【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】本題在由本題在由n=kn=k到到n=k+1n=k+1時的推證過程中，時的推證過程中，(1)(1)一定一定要注意分析清楚命題的結構特征，即由要注意分析清楚命題的結構特征，即由n=kn=k到到n=k+1n=k+1時不等式時不等式左端項數(shù)的增減情況左端項數(shù)的增減情況. .(2)(2)應用放縮技巧容易出現(xiàn)失誤，要把握好放

8、縮的尺度應用放縮技巧容易出現(xiàn)失誤，要把握好放縮的尺度. .【拓展提升【拓展提升】數(shù)學歸納法證明不等式的技巧數(shù)學歸納法證明不等式的技巧(1)(1)證明不等式時，由證明不等式時，由n nk k到到n nk+1k+1時的推證過程與證明等式時的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關系，需要我們在證明時，有所不同，由于不等式中的不等關系，需要我們在證明時，對原式進行對原式進行“放大放大”或者或者“縮小縮小”才能使用到才能使用到n nk k時的假設，時的假設，所以需要認真分析，適當放縮，才能使問題簡單化，這是利所以需要認真分析，適當放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法

9、之一用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法之一. .(2)(2)數(shù)學歸納法的應用通常需要與數(shù)學的其他方法聯(lián)系在一起，數(shù)學歸納法的應用通常需要與數(shù)學的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程證明過程. .【變式訓練【變式訓練】用數(shù)學歸納法證明：對一切大于用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1 1的自然數(shù)，不的自然數(shù)，不等式等式 均成立均成立. .【證明【證明】(1)(1)當當n=2n=2時，左邊時，左邊 右邊右邊因為左邊右邊，所以不等式成立因為左邊右邊，所以不等式成立. .(2)(2)假設假設n=k(k2n=k(k2

10、，且，且kNkN+ +) )時不等式成立，時不等式成立，即即1112n1(1)(1)(1)352n12+-14133=+=；5.2=1112k1(1)(1)(1).352k12+-則當則當n=k+1n=k+1時，時，所以當所以當n=k+1n=k+1時，不等式也成立時，不等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)知，對于一切大于知，對于一切大于1 1的自然數(shù)的自然數(shù)n n，不等式都成立，不等式都成立. .221111(1)(1)(1)1352k-12(k1)-12k1 2k22k24k8k422k12 2k12 2k12(k1)14k8k32k3 2k1.22 2k12 2k1+=+=+類型類

11、型 二二 歸納歸納- -猜想猜想- -證明證明 【典型例題【典型例題】1.(20131.(2013蘇州高二檢測蘇州高二檢測) )觀察下列式子：觀察下列式子：試歸納出一個一般形式的式子試歸納出一個一般形式的式子_._.2222221311511171,1,1222332344+ ， ，2.2.在數(shù)列在數(shù)列aan n ，bbn n 中，中，a a1 12 2，b b1 14 4，且，且a an n，b bn n，a an+1n+1成等差成等差數(shù)列，數(shù)列，b bn n，a an+1n+1，b bn+1n+1成等比數(shù)列成等比數(shù)列(nN(nN+ +).).(1)(1)求求a a2 2，a a3 3，a

12、a4 4及及b b2 2，b b3 3，b b4 4，由此猜測，由此猜測aan n ，bbn n 的通項公的通項公式，并證明你的結論式，并證明你的結論. .(2)(2)證明：證明：1122nn1115.ababab12+ +【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1中不等式的左邊有什么特點？右邊呢？中不等式的左邊有什么特點？右邊呢？2.2.題題2 2中如何猜測中如何猜測aan n ，bbn n 的通項公式？分析題的通項公式？分析題2 2第第(2)(2)問中問中的結構特點，使用什么方法解決較好？的結構特點，使用什么方法解決較好？探究提示：探究提示：1.1.題題1 1中不等式的左邊是每一個正整數(shù)平方

13、的倒數(shù)和，不等式中不等式的左邊是每一個正整數(shù)平方的倒數(shù)和，不等式的右邊進行變形后可以發(fā)現(xiàn)分母是與左端一致的正整數(shù)，而的右邊進行變形后可以發(fā)現(xiàn)分母是與左端一致的正整數(shù)，而分子是分子是2n+1.2n+1.2.2.根據(jù)題目要求求出數(shù)列的前幾項，然后分析這幾項的結構根據(jù)題目要求求出數(shù)列的前幾項，然后分析這幾項的結構特點，進行猜測特點，進行猜測aan n ，bbn n 的通項公式，若特點不夠明顯，可的通項公式，若特點不夠明顯，可以在猜測之后進行驗證，然后選擇數(shù)學歸納法進行證明以在猜測之后進行驗證，然后選擇數(shù)學歸納法進行證明. .在第在第(2)(2)問中，結合求出的通項公式，發(fā)現(xiàn)用裂項法進行求解較為問中，

14、結合求出的通項公式，發(fā)現(xiàn)用裂項法進行求解較為方便方便. .【解析【解析】1.1.由由 可以改寫成可以改寫成由由 可以改寫成可以改寫成由由 可以改寫成可以改寫成213122+212 111(11)11 +，221151,233+22112211(11)(21)21+，222111712344+2221112311(11)(21)(31)31+，所以根據(jù)以上規(guī)律可知：所以根據(jù)以上規(guī)律可知：答案：答案：()2221112n11nN.23(n1)n1+ +2221112n11(nN )23(n1)n1+ +2(n+1)n(n+1)(2n+1)2(n+1)n，故故綜上，原不等式成立綜上，原不等式成立.

15、.11115ab612+，1122nn11111111ababab62 2334n(n1)+ + +創(chuàng)+11111111()()()622334nn111 11115().62 2n16412+-+-+ +-+-+123n1111(1)(1)(1)(1)n1(nN ).bbbb+【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1中證明中證明n=k+1n=k+1時不等式成立的關鍵是什么？時不等式成立的關鍵是什么？2.2.等差數(shù)列的定義式是什么？等差數(shù)列的定義式是什么？探究提示：探究提示：1.1.題題1 1中證明中證明n=k+1n=k+1時不等式成立的關鍵是利用好時不等式成立的關鍵是利用好n=kn=k的假設

16、以的假設以及及n=k+1n=k+1時不等式的變形時不等式的變形. .2.a2.an+1n+1-a-an n=d.=d.【證明【證明】1.(1)1.(1)當當n n1 1時，時， 不等式成立不等式成立. .(2)(2)假設當假設當n nk(k1)k(k1)時，時， 成立成立. .當當n nk+1k+1時，時，所以當所以當n nk+1k+1時，時， 成立，成立，綜上，綜上， 對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n n都成立都成立. .1a22 11 +，ka2k1+22k 1k22kk11aa22k32(k1)1aa+，k 1a2(k1)1+ ，na2n1+2.(1)2.(1)由由a an+1n+1a an

17、n+2+2n n+1+1得得(a(an+1n+1-2-2n+1n+1)-(a)-(an n-2-2n n) )1 1，因此因此aan n-2-2n n 成等差數(shù)列成等差數(shù)列. .(2)a(2)an n-2-2n n(a(a1 1-2)+(n-1)-2)+(n-1)n-1n-1，即，即a an n2 2n n+n-1+n-1，b bn n2log2log2 2(a(an n+1-n)+1-n)2n.2n.下面用數(shù)學歸納法證明下面用數(shù)學歸納法證明當當n n1 1時，左端時，左端 右端，不等式成立；右端，不等式成立；3 5 72n1n1.2 4 62n+322假設假設n nk k時不等式成立，即時不

18、等式成立，即當當n nk+1k+1時，時，因此不等式因此不等式 對于一切對于一切nNnN+ +都成立都成立. .3 5 72k1k12 4 62k+，2223 5 72k1 2k32 4 62k2(k1)2k3(2k3)k12(k1)4(k1)4k12k9k2k2.4k12k8+3 5 72n1n12 4 62n+【拓展提升【拓展提升】求解數(shù)學歸納法與數(shù)列的綜合問題的策略求解數(shù)學歸納法與數(shù)列的綜合問題的策略(1)(1)首先掌握好數(shù)學歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列首先掌握好數(shù)學歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎知識，這是解決這類問題的基礎的基礎知識，這是解決這類問題的基礎. .(2

19、)(2)這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關，有時要這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關，有時要證明的式子是直接給出，有時是根據(jù)條件從前幾項入手，通證明的式子是直接給出，有時是根據(jù)條件從前幾項入手，通過觀察、猜想，歸納出一個式子，然后再用數(shù)學歸納法證明過觀察、猜想，歸納出一個式子，然后再用數(shù)學歸納法證明. .【變式訓練【變式訓練】(2013(2013重慶高二檢測重慶高二檢測) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的各項均的各項均為正數(shù)，為正數(shù)，a a1 1=1,a=1,an+1n+12 2-a-an n2 2=2.=2.(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)

20、(2)證明證明 對一切對一切nNnN+ +恒成立恒成立. .123n11112n1aaaa+ +-【解析【解析】(1)(1)由由a an+1n+12 2-a-an n2 2=2,a=2,a1 1=1=1得得a an n2 2=2n-1,=2n-1,又又a an n0,0,所以所以(2)(2)當當n=1n=1時，時，1=11=1成立；當成立；當n=2n=2時，左邊右邊；時，左邊右邊；假設當假設當n=kn=k時，時， 成立，成立，那么當那么當n=k+1n=k+1時，時， 說明說明n=k+1n=k+1時不等式成立時不等式成立. .由由可得可得 對一切對一切nNnN+ +恒成立恒成立. .na2n1.

21、=-123k11112k1aaaa+ +-123kk 11111112k1aaaaa2k1+ +-+22k12k1,2k12k1-+=+-123n11112n1aaaa+ +- 利用數(shù)學歸納法證明探索型不等式利用數(shù)學歸納法證明探索型不等式【典型例題【典型例題】1.1.設設f(nf(n)=n)=nn+1n+1,g(n)=(n+1),g(n)=(n+1)n n,nN,nN+ +. .(1)(1)當當n=1,2,3,4n=1,2,3,4時，比較時，比較f(nf(n) )與與g(ng(n) )的大小的大小. .(2)(2)根據(jù)根據(jù)(1)(1)的結果猜測一個一般性結論，并加以證明的結果猜測一個一般性結論

22、，并加以證明. .2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)g(xg(x) )x x2 2-2x(x1)-2x(x1)，f(xf(x) )(a+b)(a+b)x x-a-ax x-b-bx x，其中，其中a a，bRbR+ +，a1a1，b1b1，abab，且，且abab4.4.對于任意對于任意nNnN+ +，試指出，試指出f(nf(n) )與與g(2g(2n n) )的大小關系，并證明你的結論的大小關系，并證明你的結論. .【解析【解析】1.(1)1.(1)當當n=1n=1時，時，n nn+1n+1=1,(n+1)=1,(n+1)n n=2,=2,此時，此時，n nn+1n+1(n+1)(n+1)n n, ,

23、當當n=2n=2時，時，n nn+1n+1=8,(n+1)=8,(n+1)n n=9=9，此時，此時,n,nn+1n+1(n+1)(n+1)(n+1)n n, ,當當n=4n=4時，時，n nn+1n+1=1 024,(n+1)=1 024,(n+1)n n=625=625，此時，此時，n nn+1n+1(n+1)(n+1)n n, ,(2)(2)根據(jù)上述結論，我們猜想：當根據(jù)上述結論，我們猜想：當n3n3時，時，n nn+1n+1(n+1)(n+1)n n(nN(nN* *) )恒成立恒成立. .當當n=3n=3時，時，n nn+1n+1=3=34 4=81(n+1)=81(n+1)n n=

24、4=43 3=64,=64,即即n nn+1n+1(n+1)(n+1)n n成立成立. .假設當假設當n=kn=k時，時，k kk+1k+1(k+1)(k+1)k k成立，即成立，即則當則當n=k+1n=k+1時，時，即即(k+1)(k+1)k+2k+2(k+2)(k+2)k+1k+1成立，即當成立，即當n=k+1n=k+1時不等式也成立，時不等式也成立，所以當所以當n3n3時，時，n nn+1n+1(n+1)(n+1)n n(nN(nN+ +) )恒成立恒成立. .k 1kk1,(k1)+k2k 1k 1k 1k 1k(k1)k1kk(k1) ()(k1) ()1(k2)k2k1(k1)+=

25、+=+，2.2.因為因為f(nf(n) )(a+b)(a+b)n n-a-an n-b-bn n，g(2g(2n n) )4 4n n-2-2n+1n+1，當當n n1 1時，時，f(1)f(1)0 0，g(2)g(2)0 0，有，有f(1)f(1)g(2).g(2).當當n n2 2時，時，f(2)f(2)(a+b)(a+b)2 2-a-a2 2-b-b2 22ab2ab8 8，g(2g(22 2) )4 42 2-2-23 38 8，有，有f(2)f(2)g(2g(22 2).).當當n n3 3時，時， f(3)f(3)(a+b)(a+b)3 3-a-a3 3-b-b3 33a3a2 2

26、b+3abb+3ab2 23ab(a+b)3ab3ab(a+b)3ab 48.48.g(2g(23 3) )4 43 3-2-24 44848，有，有f(3)g(2f(3)g(23 3).).當當n n4 4時，時，f(4)f(4)(a+b)(a+b)4 4-a-a4 4-b-b4 44a4a3 3b+4abb+4ab3 3+6a+6a2 2b b2 24ab(a4ab(a2 2+b+b2 2)+6a)+6a2 2b b2 24ab4ab2ab+6a2ab+6a2 2b b2 214a14a2 2b b2 2224224，2 abg(2g(24 4) )4 44 4-2-25 5224224，

27、有，有f(4)g(2f(4)g(24 4).).由此推測當由此推測當1n21n2時，時，f(nf(n) )g(2g(2n n) )，當當n3n3時，時，f(nf(n)g(2)g(2n n).).下面用數(shù)學歸納法證明下面用數(shù)學歸納法證明. .當當n n3 3時，由上述計算過程知結論成立；時，由上述計算過程知結論成立；假設假設n nk k時，推測成立，即時，推測成立，即f(kf(k)g(2)g(2k k)(k3)(k3)，即即(a+b)(a+b)k k-a-ak k-b-bk k44k k-2-2k+1k+1，那么那么f(k+1)f(k+1)(a+b)(a+b)k+1k+1-a-ak+1k+1-b

28、-bk+1k+1(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)k k-a-aa ak k-b-bb bk k(a+b(a+b) )(a+b)(a+b)k k-a-ak k-b-bk k+a+ak kb+abb+abk k. .又依題設又依題設 有有f(k+1)4f(k+1)4(a+b)(a+b)k k-a-ak k-b-bk k+2+2k+2k+24(44(4k k-2-2k+1k+1)+2)+2k+2k+24 4k+1k+1-2-2k+2k+2g(2g(2k+1k+1) )，即即n nk+1k+1時，結論也成立時，結論也成立. .由由, ,知知n3(nNn3(nN+ +) )時，時，f(nf(n)

29、g(2)g(2n n) )都成立都成立. .綜上，當綜上，當1n21n2時，時，f(nf(n)=g(2)=g(2n n) )；當當n3(nNn3(nN+ +) )時，時，f(nf(n) )g(2g(2n n).).ab2 ab 4.+k 1kkkkk22a bab2 a bab2(ab)2+，【拓展提升【拓展提升】利用數(shù)學歸納法證明探索型不等式的思路利用數(shù)學歸納法證明探索型不等式的思路(1)(1)觀察不等式各項的特點觀察不等式各項的特點, ,先用初始值驗證得出符先用初始值驗證得出符合條件的未知數(shù)的值合條件的未知數(shù)的值. .(2)(2)判斷是否符合題意判斷是否符合題意, ,若符合若符合, ,則猜

30、想出一般結論則猜想出一般結論. .(3)(3)按照數(shù)學歸納法的步驟按照數(shù)學歸納法的步驟, ,利用數(shù)學歸納法證明利用數(shù)學歸納法證明. .(4)(4)得出結論得出結論, ,問題解決問題解決. .這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的，特別是在求這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的，特別是在求解存在性或探索性問題時解存在性或探索性問題時. . 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】歸納、猜想、證明的求解思路歸納、猜想、證明的求解思路 【典例【典例】 【條件分析【條件分析】【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)當當n n1 1時，時，x x2 2-a-a1 1x-ax-a1 10 0有一根為有一根為S S1 1-1

31、-1a a1 1-1-1，于是，于是(a(a1 1-1)-1)2 2-a-a1 1(a(a1 1-1)-a-1)-a1 10 0，解得，解得a a1 1 2 2分分當當n n2 2時，時，x x2 2-a-a2 2x-ax-a2 20 0有一根為有一根為S S2 2-1-1 于是于是 解得解得 4 4分分1.221a2-，2222211(a)a (a)a022- ，21a.6(2)(2)由題設由題設(S(Sn n-1)-1)2 2-a-an n(S(Sn n-1)-a-1)-an n0 0，即即S Sn n2 2-2S-2Sn n+1-a+1-an nS Sn n0. 0. 6 6分分當當n2

32、n2時，時，a an nS Sn n-S-Sn-1n-1，代入上式得，代入上式得S Sn-1n-1S Sn n-2S-2Sn n+1+10.(0.(* *) )由由(1)(1)知知 由由( (* *) )可得可得 由此猜想由此猜想 n n1,2,31,2,3，. . 8 8分分112121112SaSaa.2263+ ， 33S.4nnSn1+，下面用數(shù)學歸納法證明這個結論下面用數(shù)學歸納法證明這個結論. .n n1 1時已知結論成立時已知結論成立. . 9 9分分假設假設n nk k時結論成立，即時結論成立，即當當n nk+1k+1時，由時，由( (* *) )得得 即即 故故n nk+1k+

33、1時結論也成立時結論也成立. . 1010分分kkS.k1+k 1k1S2S+-，k 1k1Sk2+，綜上，由綜上，由可知，可知， 對所有正整數(shù)對所有正整數(shù)n n都成立都成立. .于是當于是當n2n2時，時， 又又n n1 1時，時， 所以所以aan n 的通項公式為的通項公式為n n1,2,31,2,3，. . 1212分分nnSn1+nnn1nn11aSSn1nn(n1)-+，111a21 2 ，n1an(n1)+，【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.關于猜想的技巧關于猜想的技巧數(shù)學中的猜想往往是由特殊到一般的思想，所以首先要分析數(shù)學中的猜想往往是由特殊到一般的思想，所以首

34、先要分析特例中的結構特點，從而尋求一般形式下的表現(xiàn)形式，達到特例中的結構特點，從而尋求一般形式下的表現(xiàn)形式，達到猜想的目的，如本例猜想的目的，如本例(2)(2)中先求出中先求出S S1 1,S,S2 2,S,S3 3，再猜想，再猜想. .2.2.關于歸納法的第二步關于歸納法的第二步在利用數(shù)學歸納法證明問題時，一定要確認在在利用數(shù)學歸納法證明問題時，一定要確認在n=k+1n=k+1時是否使時是否使用了用了n=kn=k的假設，這是檢驗數(shù)學歸納法是否正確使用的關鍵，的假設，這是檢驗數(shù)學歸納法是否正確使用的關鍵，所以一定要保證應用假設，如本例所以一定要保證應用假設，如本例(2)(2)中中處要用上處要用

35、上n=kn=k的假的假設設. .3.3.關于結論的表述關于結論的表述在求解綜合問題時，最后結論的表述，必須是問題的正面回在求解綜合問題時，最后結論的表述，必須是問題的正面回答，也就是說最后的結論一定要突出、完整，如本例答，也就是說最后的結論一定要突出、完整，如本例(2)(2)中證中證完后要進行歸納總結完后要進行歸納總結. . 【類題試解【類題試解】已知函數(shù)已知函數(shù) 數(shù)列數(shù)列aan n 滿足條件：滿足條件：a a1 111，a an+1n+1f(af(an n+1).+1).試比較試比較與與1 1的大小，并說明理由的大小，并說明理由. .【解析【解析】因為因為f(xf(x) )x x2 2-1-

36、1，a an+1n+1f(af(an n+1)+1)，所以所以a an+1n+1(a(an n+1)+1)2 2-1.-1.設函數(shù)設函數(shù)g(xg(x) )(x+1)(x+1)2 2-1-1x x2 2+2x+2x，因為，因為g(xg(x) )在區(qū)間在區(qū)間-1-1，+)+)上單調(diào)遞增，于是由上單調(diào)遞增，于是由a a1 111，得，得a a2 2(a(a1 1+1)+1)2 2-12-122 2-1-1，進而得，進而得a a3 3(a(a2 2+1)+1)2 2-12-124 4-12-123 3-1-1，由此猜想：，由此猜想：a an n22n n-1.-1.31f(x)xx3-，123n111

37、11a1a1a1a+ +下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想：下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想：當當n n1 1時，時，a a1 1221 1-1-11 1，結論成立；，結論成立；假設當假設當n nk(k1k(k1且且kNkN+ +) )時結論成立，即時結論成立，即a ak k22k k-1-1，則當，則當n nk+1k+1時，由時，由g(xg(x) )(x+1)(x+1)2 2-1-1在區(qū)間在區(qū)間-1-1，+)+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增知，知，a ak+1k+1(a(ak k+1)+1)2 2-12-122k2k-12-12k+1k+1-1-1，即，即n nk+1k+1時，結論也成時，結論也成立立. .由

38、由知，對任意知，對任意nNnN+ +，都有，都有a an n22n n-1.-1.即即1+a1+an n22n n. .所以所以所以所以nn11.1a2+123n11111a1a1a1a+ +n23n111111( )1.22222+ +-+，1116431312341212+，211111kk1k2k+ +，2221111k1kk1(k1)+ + +22211kk11(2k1)1.(k1)kk(k1)-+-+因為因為k2k2，令，令f(kf(k) )k k2 2-k-1-k-1，對稱軸為，對稱軸為所以所以(2(2，+)+)為為f(kf(k) )的增區(qū)間，的增區(qū)間，所以所以f(kf(k)f(2)f(2)，即，即k k2 2-k-12-k-122 2-2-1-2-11 1，所以所以 所以所以n nk+1k+1時，不等式也成立時，不等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)知，當知，當n1n1，nNnN+ +時，不等式都成立時，不等式都成立. .1k2 ，22kk10k(k1)-+，