陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 數(shù)學(xué)歸納法課件1 北師大版選修22

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1、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法1運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是_，第二步是，第二步是_，兩步缺一不可，兩步缺一不可2. 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括包括_歸納奠基歸納奠基(或遞推基礎(chǔ)或遞推基礎(chǔ))歸納遞推歸納遞推(或歸納假設(shè)或歸納假設(shè)) 恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、整除性問題、幾何問恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、整除性問題、幾何問 題等題等1在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證證()CAn1 時(shí)成立時(shí)成立Cn3 時(shí)

2、成立時(shí)成立Bn2 時(shí)成立時(shí)成立Dn4 時(shí)成立時(shí)成立解析：解析：多邊形至少有三邊多邊形至少有三邊A3.凸凸 n 邊形有邊形有 f(n)條對角線，則凸條對角線，則凸 n1 邊形有對角線數(shù)邊形有對角線數(shù) f(n1)為為()CAf(n)n1Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：解析：在在 n 個(gè)個(gè)頂點(diǎn)的基礎(chǔ)上增加一個(gè)頂點(diǎn)則增加頂點(diǎn)的基礎(chǔ)上增加一個(gè)頂點(diǎn)則增加 n1 條對條對角線角線Aa1，b3Ca1，b2Ba1，b1Da2，b3答案：答案：D解析：解析：令令 n1,2，得到關(guān)于，得到關(guān)于 a、b 的方程組，解得即可的方程組，解得即可 14n215考點(diǎn)考點(diǎn) 1對數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識對數(shù)學(xué)歸

3、納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識例例 1：已知已知 n 是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè) nk(k2 且為偶數(shù)且為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需證明時(shí)命題為真，則還需證明()Ank1 時(shí)命題成立時(shí)命題成立Cn2k2 時(shí)命題成立時(shí)命題成立 Bnk2 時(shí)命題成立時(shí)命題成立Dn2(k2)時(shí)命題成立時(shí)命題成立解題思路：解題思路：從數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟切入，從數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟切入，k 的下一個(gè)偶數(shù)的下一個(gè)偶數(shù)是是 k2.解析：解析：因因 n 是正偶數(shù)，是正偶數(shù)，故只需證等式對所有偶數(shù)都成立，故只需證等式對所有偶數(shù)都成立，因因 k 的下一個(gè)偶數(shù)是的下一個(gè)偶數(shù)是 k2.故選故選

4、 B.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意觀察下列用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意觀察下列幾個(gè)方面：幾個(gè)方面：(1)n 的范圍以及遞推的起點(diǎn)；的范圍以及遞推的起點(diǎn)；(2)觀察首末兩項(xiàng)的次觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù)數(shù)(或其他或其他)，確定，確定 nk 時(shí)命題的形式時(shí)命題的形式 f(k)；(3)從從 f(k1)和和 f(k)的差異，尋找由的差異，尋找由 k 到到 k1 遞推中，左邊要加遞推中，左邊要加(乘乘)上的式子上的式子nn 24【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】B(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n11n21 13的的過程中，由過程中，由 k 推導(dǎo)到推導(dǎo)到 k 1 時(shí)，不等式左邊增加的式子是時(shí)，不等式左邊增加的

5、式子是_.1( (2k1)( )(2k2) )( (k1)( )(k1) )，即，即2k2 k1( (2k1)( )(2k2) )解析：解析：求求 f(k1)f(k)即可當(dāng)即可當(dāng) nk 時(shí)，左邊時(shí)，左邊1 1k1 k21kk.nk1 時(shí)，左邊時(shí)，左邊1k21k31.故左邊增加的式子是故左邊增加的式子是12k11 1 1.考點(diǎn)考點(diǎn) 2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式命題用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式命題例例 2：是否存：是否存在常數(shù)在常數(shù) a、b、c，使等式，使等式 122232n(nn 都成立？證明你的都成立？證明你的1)2n( (n1) )(an2bnc)對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)12結(jié)論結(jié)論(3k211k10

6、)，(3k211k10)(k1)(k2)2(3k5)(k2)(k1)(k2)2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng) n1 時(shí)，由上面可知等式成立(2)假設(shè) nk 時(shí)等式成立，即 122232k(k1)2k(k1)12則 122232k(k1)2(k1)(k2)2k(k1)12k(k1)12k(3k5)12(k2)3(k1)211(k1)102n1( (k1)( )(k2) )12( (k1)( )(k2) )12當(dāng)當(dāng) nk1 時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立綜合綜合(1)(2)，對，對 nN*等式都成立等式都成立1131352 用數(shù)用數(shù) 學(xué)學(xué) 歸納歸納 法法 證明證明 ： n N*時(shí)時(shí) ，n1.( (2

7、n1)( )(2n1) )【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】 ， ，左邊右邊，所以等式成立，左邊右邊，所以等式成立，k 1 k( (2k3) )1證明：證明：(1)當(dāng)當(dāng) n1 時(shí)，左邊時(shí)，左邊1 113 3右邊右邊121113(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) nk(kN*)時(shí)等式成立，即有時(shí)等式成立，即有1131351( (2k1)( )(2k1) )k2k1則當(dāng)則當(dāng) nk1 時(shí)，時(shí)，1131351( (2k1)( )(2k1) )1( (2k1)( )(2k3) ) 2k1 ( (2k1)( )(2k3) () (2k1)( )(2k3) )2k23k1 k1 k1 ，( (2k1)( )(2k3) ) 2k3 2(

8、(k1) )1所以當(dāng)所以當(dāng) nk1 時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立由由(1)(2)可知，對一切可知，對一切 nN*等式都成立等式都成立考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式命題用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式命題當(dāng)當(dāng) nk1 時(shí)，不等式成立時(shí)，不等式成立，由由(1)(2)知知，等式對所有正整數(shù)都成立，等式對所有正整數(shù)都成立(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題，格式嚴(yán)謹(jǐn)，必用數(shù)學(xué)歸納法證明命題，格式嚴(yán)謹(jǐn)，必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；(2)歸納遞推是證明的難點(diǎn)，應(yīng)看準(zhǔn)歸納遞推是證明的難點(diǎn)，應(yīng)看準(zhǔn)“目標(biāo)目標(biāo)”進(jìn)行變形；進(jìn)行變形；(3)由由 k 推導(dǎo)到推導(dǎo)到 k1 時(shí)，有時(shí)可以時(shí)，有時(shí)可以“套套”用其他證明用其

9、他證明方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法“靈活靈活”的的一面一面8(k1)99(32k+28k9)98k99考點(diǎn)考點(diǎn) 4 4 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性命題用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性命題例例 4：試證：試證：當(dāng)當(dāng) n 為正整數(shù)時(shí)，為正整數(shù)時(shí)，f(n)32n+28n9 能被能被 64整除整除由于由于 32(k+1)+2即即 f(k1)9f(k)64(k1)，解析：方法一：解析：方法一：(1)當(dāng)當(dāng) n1 時(shí)，時(shí)，f(1)348964，命題顯然成立命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) nk(k1，kN*)時(shí)，時(shí)，f(k)32k+28k9 能被能被 64 整除整

10、除【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】3求證：二項(xiàng)式求證：二項(xiàng)式 x2ny2n(nN*)能被能被 xy 整除整除錯(cuò)源：由錯(cuò)源：由 nk 變化到變化到 nk1 時(shí)理解不透徹時(shí)理解不透徹糾錯(cuò)反思：數(shù)列中的不等式常用的放縮方法有：利用分式糾錯(cuò)反思：數(shù)列中的不等式常用的放縮方法有：利用分式的性質(zhì)、利用根式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用二項(xiàng)展開的性質(zhì)、利用根式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用二項(xiàng)展開式、利用函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行放縮式、利用函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行放縮.【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】“歸納歸納猜想猜想證明證明”是一個(gè)完是一個(gè)完整的發(fā)整的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維模式，對于探索命題特別有效，要求現(xiàn)問題和解決問題的思維模式，對于探索命

11、題特別有效，要求善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，敢于提出更一般的結(jié)論，最后進(jìn)行嚴(yán)密的論證善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，敢于提出更一般的結(jié)論，最后進(jìn)行嚴(yán)密的論證1用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)應(yīng)注意：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)應(yīng)注意：第一步驗(yàn)證第一步驗(yàn)證 nn0 時(shí)，時(shí)，n0 并不一定是并不一定是 1；第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清由第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清由 k到到 k1 時(shí)命題的時(shí)命題的變化；變化；由假設(shè)由假設(shè) nk 時(shí)命題成立，證時(shí)命題成立，證 nk1 時(shí)命題也成立，要時(shí)命題也成立，要充分利用歸納假設(shè)，要恰當(dāng)?shù)爻浞掷脷w納假設(shè)，要恰當(dāng)?shù)亍皽悳悺背瞿繕?biāo)出目標(biāo)2用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從 nk 到到 nk1 的關(guān)鍵是，的關(guān)鍵是，要注意初始值，要弄清要注意初始值，要弄清 nk 和和 nk1 時(shí)的結(jié)論是什么，要有時(shí)的結(jié)論是什么，要有目標(biāo)意識，緊盯目標(biāo)意識，緊盯 nk1 時(shí)的結(jié)論，對時(shí)的結(jié)論，對 nk 時(shí)的結(jié)論進(jìn)行一系時(shí)的結(jié)論進(jìn)行一系列的變形，變形的目標(biāo)就是列的變形，變形的目標(biāo)就是 nk1 時(shí)的結(jié)論，這就是所謂的時(shí)的結(jié)論，這就是所謂的“湊假設(shè)湊假設(shè)，湊結(jié)論，湊結(jié)論”