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1、 【課標要求】 1了解曲線與方程的對應關系； 2掌握證明已知曲線C的方程是f(x，y)0的方法和步驟 【核心掃描】 1了解曲線與方程的對應關系(重點) 2證明已知曲線C的方程是f(x，y)0的方法和步驟(難點)2.6.1 曲線與方程曲線與方程26曲線與方程曲線與方程 曲線與方程 一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數解建立如下關系： (1)_都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點 那么這個方程叫做_，這條曲線叫做_自學導引自學導引1曲線上的點的坐標曲線上的點的坐標曲線的方程曲線的方程方程的曲線方程的曲線 點與曲線 如果曲線C的方程
2、是f(x，y)0，那么點P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是f(x0，y0)0. 想一想：1.如何判斷P(x0，y0)在曲線上？ 提示將點的坐標代入曲線方程驗證是否成立即可 2已知曲線C的方程是f(x，y)，能否認為f(x0，y0)0是點P(x0，y0)在曲線上的充要條件？ 提示能這由曲線方程的定義而得2 曲線與方程的關系 (1)曲線上的所有點都符合這個條件而毫無例外，它刻畫的是軌跡的純粹性 (2)說明了適合這種條件的點都在曲線上而毫無遺漏，它刻畫的是軌跡的完備性這兩種關系必須同時滿足，缺一不可 曲線與方程概念的實質是：曲線C的點集M|P(M)和方程f(x，y)0的解集(x，y)|f(x，y
3、)0之間具有一一對應關系名師點睛名師點睛12題型一題型一曲線與方程概念的理解曲線與方程概念的理解 下列命題是否正確？若不正確，說明原因 (1)過點A(2，0)平行于y軸的直線l的方程是|x|2； (2)到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是yx. 思路探索 理解曲線和方程的概念，必須注意“兩性”：定義中的條件(1)闡明曲線上所有的點都適合這個條件而無一例外；定義中的條件(2)闡明適合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏這個概念的實質是一一對應，即作為曲線C的點集M|p(M)和方程f(x，y)0的解集(x，y)【例例1】 |f(x，y)0之間的一一對應關系由曲線和方程的這一對應關系，既可以通過方程來研究
4、曲線的性質，又可以深刻認識方程的幾何背景 解決“曲線”與“方程”有關命題的真假的判定問題，只要一一檢驗定義中的“兩性”是否滿足，并作出相應的回答即可 解(1)錯誤因為以方程|x|2的解為坐標的點，不都在直線l上，直線l只是方程 |x|2所表示的圖形的一部分 (2)錯誤因為到兩坐標軸距離相等的點的軌跡有兩條直線軌跡有兩條直線l1和和l2(如圖所示如圖所示)，直線，直線l1上的點的坐標都上的點的坐標都是方程是方程yx的解，但是直線的解，但是直線l2上的點上的點(除原點除原點)的坐標不是的坐標不是方程方程yx的解，它不是所求的軌跡方程的解，它不是所求的軌跡方程規(guī)律方法規(guī)律方法 判斷這類問題要嚴格按照
5、方程的曲線和曲線的判斷這類問題要嚴格按照方程的曲線和曲線的方程的定義定義中的兩個條件缺一不可，本例中第方程的定義定義中的兩個條件缺一不可，本例中第(1)題題只滿足曲線上的點的坐標都是方程的解，即只滿足純粹只滿足曲線上的點的坐標都是方程的解，即只滿足純粹性，但不滿足完備性第性，但不滿足完備性第(2)題只滿足以這個方程的解為坐題只滿足以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點標的點都是曲線上的點 判斷下列命題是否正確： (1)設點A(3，0)、B(0，3)，則線段AB的方程是xy30； (2)到原點的距離等于5的動點的軌跡方程是y ； (3)到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是x2y20. 解命題(1)
6、不滿足曲線和方程相互依存的完備性，即方程xy30的解(1，4)不在線段AB上因此命題(1)錯誤命題(2)不滿足曲線和方程相互依存的純粹性因此命題(2)錯誤命題(3)都滿足是正確的【變式變式1】 (1)方程(xy1) 0表示什么曲線？ (2)方程2x2y24x2y30表示什么曲線？ 思路探索 將方程進行恒等變形，變形為我們學過的曲線方程，再進行判斷題型題型二二由方程判斷曲線類型由方程判斷曲線類型【例例2】 規(guī)律方法 解決這類題的關鍵是利用配方法、因式分解等手段，將已知方程轉化為我們熟知的曲線方程，然后再進行判斷 方程|x|y|1表示的曲線是下圖中的_【變式變式2】 答案 (14分)(1)判斷點P
7、(3，4)，Q(2，3)是否在方程x2y225所表示的曲線C上？ (2)已知方程x2y225表示的曲線F經過點A(2，m)，求m的值 審題指導 一方面，由曲線和方程的定義可知，要判斷點是否在曲線上，只需要看點的坐標是否滿足方程；而已知點在曲線上，則點的坐標一定滿足方程 另一方面，利用曲線與方程的關系，可以判斷曲線是否為方程的曲線或方程是不是曲線的方程題型題型三三判斷點是否在曲線上判斷點是否在曲線上【例例3】 規(guī)范解答 (1)324225， 點P(3，4)在方程x2y225所表示的曲線C上.4分 (2)2321325， 點Q(2，3)不在方程x2y225所表示的曲線上.8分 (2)由22m225
8、，得：m .14分 【題后反思】 由曲線的方程和方程的曲線的定義可直接得出“點P(x0，y0)在曲線C：f(x，y)0上的充要條件是f(x0，y0)0”這一結論，這是判斷點是否在曲線上的理論根據 判斷點A(1，2)，B(2，3)，C(3，10)是否在曲線x2xy2y10上 解因為122410， 即點A的坐標是曲線x2xy2y10的解， 所以點A在這個曲線上 因為222(3)2(3)150， 即點B的坐標不是曲線x2xy2y10的解， 所以點B不在這個曲線上 因為3231021010， 即點C的坐標是曲線x2xy2y10的解， 所以點C在這個曲線上【變式變式3】 方程x2y22x2y20表示什么曲線？為什么？ 錯解因為方程二次項系數均為1，所以方程表示圓誤區(qū)警示概念不清致誤誤區(qū)警示概念不清致誤【示示例例】 方程方程x2y2DxEyF0表示圓的充要條表示圓的充要條件是件是D2E24F0.
高中數學 261曲線與方程課件 蘇教版選修21
