高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第4章 第20課 函數(shù)建模問題(一)——函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式.ppt

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1、 第20課 函數(shù)建模問題(一)——函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 函數(shù)模型及其應(yīng)用 √ 基本不等式在實際問題中的應(yīng)用 √ 導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 √ 1．常見的幾種函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函數(shù)模型：y＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)． (3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)． (4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a，b，c為常數(shù)，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a＞0，

2、a≠1，m≠0)． (6)冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)． 2．解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字) (1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型； (2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； (3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題． 以上過程用框圖表示如下： 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)某種商品進價為每件100元，按進價增加25%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利．(　　)

3、(2)指數(shù)函數(shù)模型，一般用于解決變化較快，短時間內(nèi)變化量較大的實際問題．(　　) (3)形如“y＝x＋”型的函數(shù)最值均可以用基本不等式解決．(　　) (4)在用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題時，若定義域中的極值點只有一個，則該點也是最值點．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)在某種新型材料的研制中，試驗人員獲得了下列一組試驗數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是________．(填序號) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2

4、.61 ①y＝2x；②y＝log2x；③y＝(x2－1)；④y＝2.61cos x. ②　[由表格知當(dāng)x＝3時，y＝1.59，而①中y＝23＝8，不合要求，②中y＝log23∈(1,2)，③中y＝(32－1)＝4，不合要求，④中y＝2.61cos 3＜0，不合要求．] 3．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為________萬件． 9　[因為y′＝－x2＋81，所以當(dāng)x>9時，y′<0；當(dāng)x∈(0,9)時，y′>0.所以函數(shù)y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，在(

5、0,9)上單調(diào)遞增．所以x＝9是函數(shù)的極大值點．又因為函數(shù)在(0，＋∞)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值．] 4．某公司一年需購買某種貨物200噸，平均分成若干次進行購買，每次購買的運費為2萬元，一年的總存儲費用數(shù)值(單位：萬元)恰好為每次的購買噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次購買該種貨物的噸數(shù)是________． 20　[設(shè)每次購買該種貨物x噸，則需要購買次，則一年的總運費為×2＝，一年的總存儲費用為x，所以一年的總運費與總存儲費用為＋x≥2＝40，當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝20時等號成立，故要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，每次應(yīng)購買該種貨物20噸．

6、] 5．(教材改編)用長為90 cm，寬為48 cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻折90°角，再焊接而成，則該容器的高為________ cm時，容器的容積最大． 10　[設(shè)容器的高為x cm，即小正方形的邊長為x cm，該容器的容積為V，則V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1 080x)，00；當(dāng)10

7、二次函數(shù)模型解決實際問題 　某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②.(注：利潤和投資單位：萬元) ①　　　　　　　　　② 圖20-1 (1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式； (2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)． ①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？ ②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？ [解]　(1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2(x≥0)． (

8、2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6， 所以總利潤y＝8.25萬元． ②設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元，A產(chǎn)品投入(18－x)萬元，該企業(yè)可獲總利潤為y萬元． 則y＝(18－x)＋2，0≤x≤18. 令＝t，t∈[0,3]， 則y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋. 所以當(dāng)t＝4時，ymax＝＝8.5， 此時x＝16,18－x＝2. 所以當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤，約為8.5萬元． [規(guī)律方法]　求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點： (1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)． (2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型

9、中的待定系數(shù)． (3)利用該模型求解實際問題． 易錯警示：解決實際問題時要注意自變量的取值范圍． [變式訓(xùn)練1]　甲廠以x千克/時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時可獲得的利潤是100元． (1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為 100a元； (2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤. 【導(dǎo)學(xué)號：62172110】 [解]　(1)證明：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品，所用的時間是小時， 所獲得的利潤為100·. 所以，生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為 100a元． (2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，所用的時間是小時，

10、獲得的利潤為90 000，1≤x≤10. 記f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10， 則f(x)＝－32＋＋5， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝6時，f(x)取到最大值f(6)＝. 獲得最大利潤90 000×＝457 500(元)． 因此甲廠應(yīng)以6千克/時的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤457 500元． 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 　(2015·江蘇高考)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連結(jié)兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l.如圖20-2所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距

11、離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝(其中a，b為常數(shù))模型． 圖20-2 (1)求a，b的值； (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標(biāo)為t. ①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域； ②當(dāng)t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度． [解]　(1)由題意知，點M，N的坐標(biāo)分別為(5,40)，(20,2.5)． 將其分別代入y＝，得 解得 (2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)， 則點P的坐標(biāo)為. 設(shè)在點P處的切線l交x

12、，y軸分別于A，B兩點，y′＝－， 則l的方程為y－＝－(x－t)， 由此得A，B. 故f(t)＝ ＝，t∈[5,20]． ②設(shè)g(t)＝t2＋，則g′(t)＝2t－. 令g′(t)＝0，解得t＝10. 當(dāng)t∈(5,10)時，g′(t)＜0，g(t)是減函數(shù)； 當(dāng)t∈(10，20)時，g′(t)＞0，g(t)是增函數(shù)． 從而，當(dāng)t＝10時，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值， 所以g(t)min＝300，此時f(t)min＝15. 故當(dāng)t＝10時，公路l的長度最短，最短長度為 15千米． [規(guī)律方法]　利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的實際應(yīng)用問題的一般步驟： (1)分析實際問題中

13、各變量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)； (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使得f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值； (4)回歸實際問題作答． [變式訓(xùn)練2]　某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3

14、獲得的利潤最大. 【導(dǎo)學(xué)號：62172111】 [解]　(1)因為x＝5時，y＝11，所以＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y＝＋10(x－6)2， 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為 f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3

15、數(shù)f(x)取得極大值，也是最大值， 所以，當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42. 即當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大. 借助基本不等式解決實際問題 　某造紙廠擬建一座底面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖20-3所示)，如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/平方米，水池所有墻的厚度忽略不計. 圖20-3 (1)試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價； (2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計

16、污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價． [解]　(1)設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米． 總造價f(x)＝400×＋248×2x＋80×162 ＝1 296x＋＋12 960＝1 296＋12 960≥1 296×2＋12 960＝38 880(元)， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝(x＞0)，即x＝10時取等號． ∴當(dāng)污水處理池的長為16.2米，寬為10米時總造價最低，總造價最低為38 880元． (2)由限制條件知∴≤x≤16. 設(shè)g(x)＝x＋， g(x)在上是增函數(shù)， ∴當(dāng)x＝時， g(x)有最小值，即f(x)有最小值， 即為1 296×＋12 960＝38 882(

17、元)． ∴當(dāng)污水處理池的長為16米，寬為米時總造價最低，總造價最低為38 882元. [規(guī)律方法]　形如“y＝ax＋(x>0)”型的函數(shù)求最值常用基本不等式，但需注意其等號成立的條件，倘若等號取不到，要借助導(dǎo)數(shù)來求解．如本題(2). [變式訓(xùn)練3]　為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．

18、 (1)求k的值及f(x)的表達式； (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值． [解]　(1)由已知條件得C(0)＝8，則k＝40， 因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)． (2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2－10＝70(萬元)， 當(dāng)且僅當(dāng)6x＋10＝， 即x＝5時等號成立， 所以當(dāng)隔熱層厚度為5 cm時，總費用f(x)達到最小值，最小值為70萬元. 課時分層訓(xùn)練(二十) A組　基礎(chǔ)達標(biāo) (建議用時：30分鐘) 1.據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為k(k>0)．現(xiàn)已

19、知相距18 km的A，B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和．設(shè)AC＝x(km)． (1)試將y表示為x的函數(shù)； (2)若a＝1，且x＝6時，y取得最小值，試求b的值． [解]　(1)設(shè)點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污染程度為，其中k為比例系數(shù)，且k>0，從而點C處受污染程度y＝＋. (2)因為a＝1，所以y＝＋， y′＝k， 令y′＝0，得x＝， 又此時x＝6，解得b＝8，經(jīng)驗證符合題意， 所以，污染源B的污染強度b的值為8. 2.某種商品原來每件售價為25元，年銷售量為8萬件． (1)據(jù)

20、市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？ (2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用．試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價. 【導(dǎo)學(xué)號：62172112】 [解]　(1)設(shè)每件定價為x元，依題意，有x≥25×8， 整理得x2－65x＋1 000≤0，解得2

21、5≤x≤40. ∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元． (2)依題意，x>25時， 不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等價于x>25時，a≥＋x＋有解． ∵＋x≥2＝10(當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時，等號成立)， ∴a≥10.2. ∴當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1.(2017·南京模擬)經(jīng)市場調(diào)查，某商品每噸的價格為x(10)；月需求量為

22、y2萬噸，y2＝－x2－x＋1.當(dāng)該商品的需求量大于供給量時，銷售量等于供給量；當(dāng)該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量．該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積． (1)若a＝，問商品的價格為多少時，該商品的月銷售額最大？ (2)記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格．若該商品的均衡價格不低于每噸6百元，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)若a＝，由y2>y1，得－x2－x＋1>x＋2－. 解得－40

23、 則g′(x)＝－(3x2＋4x－224)＝－(x－8)(3x＋28)， 由g′(x)>0，得x<8，所以g(x)在[6,8)上是增函數(shù)，在(8,14)上是減函數(shù)，當(dāng)x＝8時，g(x)有最大值g(8)＝. 綜上得，若a＝，商品的每噸價格定為8百元時，月銷售額最大． (2)設(shè)f(x)＝y(tǒng)1－y2＝x2＋x＋a2－1－a， 因為a>0，所以f(x)在區(qū)間(1,14)上是增函數(shù)， 若該商品的均衡價格不低于6百元，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[6,14)上有零點， 所以即解得0

24、分別有生活小區(qū)ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F(xiàn)三點共線，F(xiàn)D與BA的延長線交于點O，測得AB＝3 km，BC＝4 km，DF＝ km，F(xiàn)E＝3 km，EC＝ km.若以O(shè)A，OD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則河岸DE可看成是曲線y＝(其中a，b為常數(shù))的一部分，河岸AC可看成是直線y＝kx＋m(其中k，m為常數(shù))的一部分． 圖20-4 (1)求a，b，k，m的值； (2)現(xiàn)準(zhǔn)備建一座橋MN，其中M，N分別在DE，AC上，且MN⊥AC，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為t. ①請寫出橋MN的長l關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式l＝f(t)，并注明定義域； ②當(dāng)

25、t為何值時，l取得最小值？最小值是多少？ 【導(dǎo)學(xué)號：62172113】 [解]　(1)將D，E(3,4)兩點坐標(biāo)代入到y(tǒng)＝中，得解得 再將A，C兩點坐標(biāo)代入到y(tǒng)＝kx＋m中，得解得 (2)①由(1)知直線AC的方程為y＝x－2，即4x－3y－6＝0. 設(shè)點M的坐標(biāo)為M，則利用點到直線的距離公式， 得l＝＝， 又由點D，E向直線AC作垂線時，垂足都在線段AC上，所以0≤t≤3， 所以l＝f(t)＝，0≤t≤3. ②法一：令g(t)＝4t＋－9,0≤t≤3，因為g′(t)＝， 所以由g′(t)＝0，解得t＝或t＝(舍)， 所以當(dāng)t∈時，g′(t)>0，g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t∈時，g′(t)<0，g(t)單調(diào)遞減． 從而當(dāng)t＝時，g(t)取得最大值為g＝－5， 即當(dāng)t＝時，l取得最小值，最小值為1 km. 法二：因為0≤t≤3，所以1≤4－t≤4， 則4t＋－9＝4(t－4)＋＋7＝7－ ≤7－2＝7－2×6＝－5， 當(dāng)且僅當(dāng)4(4－t)＝，即t＝時取等號，即當(dāng)t＝時，l取得最小值，最小值為1 km.