2014年高考數(shù)學（文科）真題分類匯編N單元選修4系列

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1、 數(shù) 學 N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講 15．N1[2014·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1-1所示，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點F，則＝________． 圖1-1 15．3　[解析] 本題考查相似三角形的性質(zhì)定理，周長比等于相似比．∵EB＝2AE，∴AE＝AB＝CD.又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴△AEF～△CDF，∴＝＝3. 21．N1[2014·江蘇卷] A．[選修4-1：幾何證明選講] 如圖1-7所示，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上

2、位于AB異側的兩點． 證明：∠OCB＝∠D. 圖1-7 證明：因為B，C是圓O上的兩點，所以OB＝OC， 所以∠OCB＝∠B. 又因為C，D是圓O上位于AB異側的兩點， 所以∠B，∠D為同弧所對的兩個圓周角， 所以∠B＝∠D，因此∠OCB＝∠D. 21. N2[2014·江蘇卷] B．[選修4-2：矩陣與變換] 已知矩陣A＝，B＝，向量α＝，x，y為實數(shù)．若Aα＝Bα，求x＋y的值． 解：由已知得，Aα＝＝)， Bα＝　)))＝)． 因為Aα＝Bα，所以)＝)． 故解得 所以x＋y＝. 22．N1[2014·遼寧卷] 選修4-1：幾何證明選講 圖1-6

3、 如圖1-6，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F. (1)求證：AB為圓的直徑； (2)若AC＝BD，求證：AB＝ED. 22．證明：(1)因為PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD. 由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA. 又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA， 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 從而∠BDA＝∠PFA. 因為AF⊥EP，所以∠PFA＝90°， 所以∠BDA＝90°，故AB為圓的直徑． (2)連接BC，DC. 由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝9

4、0°. 在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，從而Rt△BDA≌Rt△ACB，所以∠DAB＝∠CBA. 又因為∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. 因為AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE為直角． 所以ED為直徑．又由(1)知AB為圓的直徑，所以ED＝AB. 22．N1[2014·新課標全國卷Ⅱ] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-5，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC＝2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E.證明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2. 圖1-5 22

5、．證明：(1)連接AB，AC.由題設知PA＝PD， 故∠PAD＝∠PDA. 因為∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB， ∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，從而BE＝EC. 因此BE＝EC. (2)由切割線定理得PA2＝PB·PC. 因為PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC， 所以AD·DE＝2PB2. 22．N1[2014·全國新課標卷Ⅰ] 選修4－1：幾何證明選講 如圖1-5，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB＝CE. 圖1-5

6、(1)證明：∠D＝∠E； (2)設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形． 22．證明：(1)由題設知A，B，C，D四點共圓， 所以∠D＝∠CBE. 由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E. (2)設BC的中點為N，連接MN，則由MB＝MC知MN⊥BC，故點O在直線MN上． 又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點， 故OM⊥AD，即MN⊥AD， 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E. 由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形． 15．N1 [2014·陜西卷] B.(幾何證明選做題)如圖1-3

7、所示，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC＝2AE，則EF＝________． 圖1-3 15．　3　 [解析]由題目中所給圖形的位置關系，可知∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，所以△AEF∽△ACB，所以＝.又AC＝2AE，BC＝6，所以EF＝3. 7．N1[2014·天津卷] 如圖1-1所示，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下，給出下列四個結論：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.則所有正確結論的序號

8、是(　　) A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 7．D　[解析] ∵∠DBC＝∠DAC，∠DBF＝∠DAB，且∠DAC＝∠DAB，∴∠DBC＝∠DBF，∴BD平分∠CBF，∴△ABF∽△BDF，∴＝＝， ∴AB·BF＝AF·BD，BF2＝AF·DF.故①②④正確．由相交弦定理得AE·DE＝BE·CE，故③錯誤． N2 選修4-2 矩陣 N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程 14．N3[2014·廣東卷] (坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標系中，曲線C1與C2的方程分別為2ρcos2θ＝sin θ與ρcos θ＝1.以極點為平面直角坐標系的原點，

9、極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線C1與C2交點的直角坐標為________． 14．(1，2)　[解析] 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的轉化以及曲線交點坐標的求解． 曲線C1的直角坐標方程是2x2＝y(tǒng)，曲線C2的直角坐標是x＝1.聯(lián)立方程C1與C2得 解得所以交點的直角坐標是(1，2)． 12．N3[2014·湖南卷] 在平面直角坐標系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為________． 12．x－y－1＝0　[解析] 依題意，消去參數(shù)可得x－2＝y(tǒng)－1，即x－y－1＝0. 21. N3[2014·江蘇卷] C．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 在平面直角坐

10、標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，求線段AB的長． 解：將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2＝4x， 得＝4， 解得t1＝0，t2＝－8 ， 所以AB＝|t1－t2|＝8 . 23．N3[2014·遼寧卷] 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程； (2)設直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以 坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程． 23．解：(1)設(

11、x1，y1)為圓上的點，經(jīng)變換為C上的點(x，y)，依題意，得由x＋y＝1得x2＋＝1，即曲線C的方程為x2＋＝1. 故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)由解得或 不妨設P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點坐標為，所求直線斜率k＝，于是所求直線方程為y－1＝，即2x－4y＝－3， 化為極坐標方程，得2 ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝. 23．N3[2014·新課標全國卷Ⅱ] 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ，θ∈. (1)求C的參數(shù)方程； (

12、2)設點D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝x＋2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標． 23．解：(1)C的普通方程為 (x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0≤t≤π)． (2)設D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)為圓心，1為半徑的上半圓．因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t＝，t＝. 故D的直角坐標為，即. 23．N3[2014·全國新課標卷Ⅰ] 選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程、直線l的普通方程

13、； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 23．解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到直線l的距離d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tan α＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值， 最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值， 最小值為. 15．N3 [2014·陜西卷] C.(坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標系中，點

14、到直線ρ sin＝1的距離是________． 15． 1　[解析]易知點的直角坐標為(，1)，直線ρsin＝1的直角坐標方程為x－y＋2＝0.由點到直線距離公式，得d＝＝1. N4 選修4-5 不等式選講 21. N4[2014·江蘇卷] D．[選修4-5：不等式選講] 已知x>0，y>0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 證明：因為x>0，y>0， 所以1＋x＋y2≥3>0， 1＋x2＋y≥3>0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy. 15．N4[2014·江西卷] x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，則x

15、＋y的取值范圍為________． 15．[0，2]　[解析] ?|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2?|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2???0≤x＋y≤2. 24．N4[2014·遼寧卷] 選修4-5：不等式選講 設函數(shù)f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.記f(x)≤1的解集為M，g(x)≤4的解集為N. (1)求M； (2)當x∈M∩N時，證明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤. 24．解：(1)f(x)＝ 當x≥1時，由f(x)＝3x－3≤1得x≤， 故1≤x≤； 當x＜1時，由f(x)＝1－x≤1得x≥0， 故0≤x＜1.

16、 所以f(x)≤1的解集M＝. (2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4， 解得－≤x≤， 因此N＝， 故M∩N＝. 當x∈M∩N時，f(x)＝1－x，于是 x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝ x(1－x)＝－≤. 24．N4[2014·新課標全國卷Ⅱ] 選修4-5：不等式選講 設函數(shù)f(x)＝＋|x－a|(a＞0)． (1)證明：f(x)≥2； (2)若f(3)＜5，求a的取值范圍． 24．解：(1)證明：由a>0 ，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2， 所以f(x)≥2. (2)f(3)＝＋|3－a|. 當a

17、>3時，f(3)＝a＋，由f(3)<5得36，從而不存在a，b，使2a＋3b＝6. 15

18、．N4 [2014·陜西卷] A.(不等式選做題)設a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最小值為________． 15．A.　 [解析]由柯西不等式可知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，即5(m2＋n2)≥25，當且僅當an＝bm時，等號成立，所以 ≥. 1．[2014·長沙模擬] 已知點P所在曲線的極坐標方程為ρ＝2cos θ，點Q所在曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則|PQ|的最小值是(　　) A．2 B.＋1 C．1 D.－1 1．D　[解析] 易知點P在圓x2＋y2－2x＝0上，圓心為(1，0)，半徑為1，點Q在直線2x－y＋2＝0

19、上，故|PQ|的最小值是－1＝－1. 4．[2014·株洲模擬] 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸)中，直線C2的方程為ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，則曲線C1與C2的交點的個數(shù)為________． 4．2　[解析] 由題意，曲線C1的參數(shù)方程(α為參數(shù))可化為一般方程＋＝1，直線C2的極坐標方程ρ·(cos θ－sin θ)＋1＝0可化為普通方程x－y＋1＝0.聯(lián)立兩個方程，消去y可得＋＝1，即7x2＋8x－8＝0.因為Δ＝82＋4×7×8>0，所以直線與橢圓相交，且有兩

20、個交點． 5．[2014·湖南長郡中學月考] 在極坐標系中，圓C1的方程為ρ＝4 cos，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，已知圓C2的參數(shù)方程為(a＞0，θ為參數(shù))．若圓C1與圓C2外切，則實數(shù)a＝____________． 5.　[解析] 依題意，ρ＝4 cosθ－＝4cos θ＋4sin θ，化成普通方程為x2＋y2＝4x＋4y，即(x－2)2＋(y－2)2＝8，即該圓的圓心為C1(2，2)，半徑r1＝2 .將(a>0，θ為參數(shù))化成普通方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，即圓心為C2(－1，－1)，半徑r2＝a.由丙點間兩圓外切可得|C1C2|＝3 ＝

21、2 ＋a，所以a＝. 6．[2014·衡陽模擬] 已知曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ.若以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，則曲線C的參數(shù)方程為________． 6.(θ為參數(shù))　[解析] 由曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ，可得其普通方程為x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，所以曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 7．[2014·湖南雅禮中學月考] 已知極坐標系下曲線ρ＝4sin θ表示圓，則點A到圓心的距離為____________． 7．2 　[解析] 將曲線ρ＝4sin θ化成普通方程為x2＋y2＝4y，則該圓的圓心為(0，2)，而點A的直角坐標為(2 ，2)，由兩點間距離公式可得d＝＝2 . 8．[2014·湖南十三校聯(lián)考] 以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ，若直線l經(jīng)過圓C的圓心，則常數(shù)a的值為________． 8．1　[解析] 將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為y＝x－a，將圓C的極坐標方程ρ＝2cos θ化為普通方程為x2＋y2＝2x，則圓心為(1，0)，代入直線y＝x－a可得a＝1.