三角函數(shù)與解三角形專題訓(xùn)練.doc

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三角求值與解三角形專項(xiàng)訓(xùn)練 1 三角公式運(yùn)用 【通俗原理】 1．三角函數(shù)的定義：設(shè)，記，， 則. 2．基本公式：. 3．誘導(dǎo)公式： 4．兩角和差公式：， ， . 5．二倍角公式：， ， . 6．輔助角公式：①， 其中由及點(diǎn)所在象限確定. ②， 其中由及點(diǎn)所在象限確定. 【典型例題】 1．已知，證明：. 2．若，，求的值. 3．已知，，求的值. 4．求的值. 5．證明：. 【跟蹤練習(xí)】 1．已知，求的值. 2．若，求的值. 三角求值與解三角形專項(xiàng)訓(xùn)練 2. 解三角形 1．三角形邊角關(guān)系：在中，的對(duì)邊分別為，①； ②若，則；③等邊對(duì)等角，大邊對(duì)大角. 2．正弦定理：(是外接圓的半徑). 變形：，. 3．余弦定理：.變形：，其他同理可得. 4．三角形面積公式：. 5．與三角形有關(guān)的三角方程：①或； ②. 6．與三角形有關(guān)的不等式：①. 7．解三角形的三種題型：①知三個(gè)條件(知三個(gè)角除外)，求其他(角、邊、面積、周長(zhǎng)等)； ②知兩個(gè)條件，求某個(gè)特定元素或范圍； ③知一邊及其對(duì)角，求角、邊、周長(zhǎng)、面積的范圍或最值. 【典型例題】 1．在中，若，試判斷的形狀. 2．在中，證明：. 3．在中，，，，求角的大小. 4．在中，，，求角的大小. 5．在中，，求角A的大小. 6．在中，，. (I)求面積的最大值； (II)求周長(zhǎng)的取值范圍. 【跟蹤練習(xí)】 1．在中，，求角. 2．在中，． (I)求的大小； (II)求的最大值． 3．在中，，，. (I)求邊上的中線的長(zhǎng)； (II)求的角平分線的長(zhǎng). 參考答案 O y P(x,y) Q(y,x) x 5.1 三角公式 【典型例題】 1．證明：如圖，在單位圓中，記， ，有， 則，而， ∴. 2．解法一：∵，，有， 代入得，則，， ∴. 解法二：∵，， ∴ ， 又，有. 3．解：由，， 得，則， ∴. 4．解：∵ ， ， ∴. 5．證明： . 【跟蹤練習(xí)】 1．解：∵，且， ∴. 2．解：由得，即， ∴，即，解得. 由得，即. 由得，即， ∴. 5.3 解三角形 【典型例題】 1．解：由及正弦定理得，即， 又，有或，即或， ∴是等腰三角形或直角三角形. 2．證明：，由及正弦定理得， 而函數(shù)在上單調(diào)遞減，有， ∴， ∴. 3．解：由正弦定理得，得． 因?yàn)?，所以，故或? 當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，． ∴角為或. 4．解：∵，∴ 由正弦定理有sinC=sinA． 又C=2A，即sin2A=sinA，于是2sinAcosA=sinA， 在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=，∴ A=． 5．解：由條件結(jié)合正弦定理得，， 從而，， ∵，∴. 6．解：(I)∵，由余弦定理得， ∴，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， ∴的面積， ∴當(dāng)時(shí)，面積的最大值為； (II)由(I)得，即， ∴，則，即，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. ∴的周長(zhǎng)，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 而，故， ∴周長(zhǎng)的取值范圍是. 【跟蹤練習(xí)】 1．解：由已知以及正弦定理，得，即. ， ∴，又，所以. 2．解：(I)由已知得:，，； (II)由(I)知:，故， 所以， ，. 3．解：(I)由及余弦定理得， 又，∴，則，即， 而，由得，即. 是邊上的中線，則， ∴，有， 即邊上的中線長(zhǎng)為； (II)由(I)得，，又是的平分線， 由得， ∴，即， 又， ∴，即的角平分線. 5.2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【通俗原理】 1．三個(gè)基本三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) (1)奇偶性：偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱； (2)對(duì)稱性：關(guān)于中心對(duì)稱， 關(guān)于軸對(duì)稱；(，下同) (3)周期性：周期為； (4)單調(diào)性：在上遞減， 在上遞增； (5)最值性：當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，； (6)有界性：當(dāng)時(shí)，. (1)奇偶性：奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； (2)對(duì)稱性：關(guān)于中心對(duì)稱，關(guān)于 軸對(duì)稱；(，下同) (3)周期性：周期為； (4)單調(diào)性：在上遞增，在上遞減； (5)最值性：當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，； (6)有界性：當(dāng)時(shí)，. (1)奇偶性：奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； (2)對(duì)稱性：關(guān)于中心對(duì)稱，不是 軸對(duì)稱圖形；(，下同) (3)周期性：周期為； (4)單調(diào)性：在上遞增. (1)切線：曲線在處的切線 為，曲線在處的切線也為； (2)不等式：當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，. 2．函數(shù)圖象平移與伸縮變換 (1)左右平移：； 同理有如下結(jié)果： (2)上下平移：，即； 說明：①當(dāng)時(shí)，向右平移個(gè)單位得，當(dāng)時(shí)，向左平移個(gè)單位得；②當(dāng)時(shí)，向上平移個(gè)單位得， 即，當(dāng)時(shí)，向下平移個(gè)單位得，即. (3)橫向伸縮：； (4)縱向伸縮：，即. 說明：當(dāng)時(shí)，表示伸長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，表示縮短；當(dāng)時(shí)，表示伸長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，表示縮短. 【典型例題】 1．已知函數(shù). (1)求的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心； (2)求的單調(diào)遞增區(qū)間及在上的單調(diào)遞增區(qū)間； (3)求在上的最大值與最小值，并求出相應(yīng)的的值. 3．把函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移與伸縮變換可得到函數(shù)的圖象？ 【跟蹤練習(xí)】 1．函數(shù)的對(duì)稱軸是 . 2．已知，，函數(shù)，把的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，把的圖象向左平移個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，當(dāng)取得最小值時(shí)，求在上的單調(diào)遞減區(qū)間. 3．若把函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式. 5.2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【典型例題】 1．解：(1)由得，即的對(duì)稱軸為， 由得，即的對(duì)稱軸為，； (2)由得， ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為， 當(dāng)時(shí)，， 由或得或， ∴在上的單調(diào)遞增區(qū)間是； (3)由得， ∴當(dāng)，即時(shí)，， 當(dāng)，即時(shí)，. 2．證明：銳角中，有，即， 又函數(shù)在上單調(diào)遞增，有， ∴， 同理，， ∴. 3．解：方法一(先平移再伸縮)：， 把代換得，，把代換得，與 對(duì)比得，∴，即把的圖象向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍得的圖象，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得的圖象， 后向上平移1個(gè)單位得的圖象. 方法二(先伸縮再平移)：， 把代換得， 再將代換得，與對(duì)比得 ，∴，即把的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，再向左平移個(gè)單位得的圖象，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得的圖象， 后向上平移1個(gè)單位得的圖象. 【跟蹤練習(xí)】 1．，.解：由得，即的對(duì)稱軸是，. 2．解：可得為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)， ∴，則， 又，當(dāng)時(shí)，取得最小值，這時(shí)，即， 由得，由得， ∴在上的單調(diào)遞減區(qū)間是. 3．解：把的圖象向左平移1個(gè)單位得，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得， ∴.