高考數(shù)學(xué) 17-18版 第4章 熱點(diǎn)探究訓(xùn)練2

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1、 熱點(diǎn)探究訓(xùn)練(二) 1.設(shè)函數(shù)f(x)＝(a∈R)． (1)若f(x)在x＝0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程； (2)若f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172116】 [解]　(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝ ＝. 3分 因?yàn)閒(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0. 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，從而f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y－＝(x－1)，化簡(jiǎn)得3x－ey＝0. 7分 (2)由(1)知f′(x)＝， 令g(x

2、)＝－3x2＋(6－a)x＋a， 由g(x)＝0解得x1＝，x2＝. 9分 當(dāng)x0，即f′(x)>0，故f(x)為增函數(shù)； 當(dāng)x>x2時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)為減函數(shù).11分 由f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范圍為. 14分 2.(2017·蘇州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝－k(k為常數(shù)，e＝2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求

3、k的取值范圍． [解]　(1)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． f′(x)＝－k ＝－＝. 由k≤0可得ex－kx>0， 所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增． 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞). 6分 (2)由(1)知，k≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減， 故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)； 當(dāng)k>0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)． 因?yàn)間′(x)＝ex－k＝ex－eln k， 當(dāng)0

4、0,2)時(shí)，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)單調(diào)遞增， 故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)； 當(dāng)k>1時(shí)， 得x∈(0，ln k)時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)y＝g(x)單調(diào)遞減， x∈(ln k，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)y＝g(x)單調(diào)遞增． 所以函數(shù)y＝g(x)的最小值為g(ln k)＝k(1－ln k)． 函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)， 當(dāng)且僅當(dāng)解得e

5、(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍． [解]　(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a). 1分 (ⅰ)設(shè)a≥0，則當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)＜0； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增. 3分 (ⅱ)設(shè)a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)． ①若a＝－，則f′(x)＝(x－1)(ex－e)， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增． ②若a＞－，則ln(－2a)＜1， 故當(dāng)x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)

6、＞0； 當(dāng)x∈(ln(－2a)，1)時(shí)，f′(x)＜0. 所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln(－2a)，1)上單調(diào)遞減. 5分 ③若a＜－，則ln(－2a)＞1， 故當(dāng)x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)x∈(1，ln(－2a))時(shí)，f′(x)＜0. 所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，ln(－2a))上單調(diào)遞減. 7分 (2)(ⅰ)設(shè)a＞0，則由(1)知，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b滿(mǎn)足b＜0且b＜ln，

7、則f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn). 9分 (ⅱ)設(shè)a＝0，則f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)． (ⅲ)設(shè)a＜0，若a≥－，則由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．又當(dāng)x≤1時(shí)f(x)＜0，故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；若a＜－，則由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上單調(diào)遞減，在(ln(－2a)，＋∞)上單調(diào)遞增．又當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＜0，故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上，a的取值范圍為(0，＋∞). 14分 4.(2017·鹽城模擬)已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)

8、區(qū)間； (2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1,2]函數(shù)g(x)＝x3＋x2在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍； (3)求證：×××…×<(n≥2，n∈N＋). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172117】 [解]　(1)f′(x)＝(x>0)． 當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1]，減區(qū)間為[1，＋∞)； 當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1，＋∞)，減區(qū)間為(0,1]； 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù). 4分 (2)由f′(2)＝－＝1得a＝－2，∴f′(x)＝. ∴g(x)＝x3＋x2－2x， ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′(0)＝－2， ∴ 由題意知：對(duì)于任意的t∈[1,2]，g′(t)<0恒成立，所以有： ∴－f(1)，即－ln x＋x－1>0，∴l(xiāng)n x