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專題2.7 對數與對數函數
【考綱解讀】
內 容
要 求
備注
A
B
C
函數概念與基本初等函數Ⅰ
對數函數的圖象與性質
√
1．理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數．
2．理解對數函數的概念；理解對數函數的單調性．
【直擊教材】
1．已知a>0，且a≠1，函數y＝ax與y＝loga(－x)的圖象可能是______(填序號)．
【答案】②
2．函數f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的圖象必過定點________．
【答案】(－1，－2)
3．函數f(x)＝log5(2x＋1)的單調增區(qū)間是________．
【答案】
4．計算：
(1)log35－log315＝______；
(2) log23log32＝______.
【答案】(1)－1 (2)1
【知識清單】
1．對數
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數，logaN叫做對數式
性質
對數式與指數式的互化：ax＝N?x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
運算法則
loga(MN)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
換底公式
換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.對數函數的圖象與性質
y＝logax
a>1
0
1時，y>0；當01時，y<0；當00
在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數
在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數
【考點深度剖析】
關于對數的運算近兩年高考卷沒有單獨命題考查，都是結合其他知識點進行．有關指數函數、對數函數的試題每年必考，有填空題，又有解答題，且綜合能力較高．
【重點難點突破】
1．計算：(1)4log23＝________.
(2)log225log34log59＝________.
【答案】(1)9 (2)8
2．計算100－＝______.
【答案】－20
【解析】原式＝(lg 2－2－lg 52)100
＝lg 10＝lg 10－210
＝－210＝－20.
3.lg－lg＋lg＝________.
【答案】
【解析】lg －lg＋lg
＝(5lg 2－2lg 7)－3lg 2＋(lg 5＋2lg 7)
＝(lg 2＋lg 5)＝.
[謹記通法]
對數運算的一般思路
(1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡；
(2)將同底對數的和、差、倍合并；
(3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用．
1．函數f(x)＝lg的大致圖象為________．(填序號)．
【答案】④
【解析】f(x)＝lg＝－lg|x＋1|的圖象可由偶函數y＝－lg|x|的圖象左移1個單位得到．
由y＝－lg|x|的圖象可知④正確．
2．當0＜x≤時，4x＜logax，則實數a的取值范圍是________．
【答案】
[由題悟法]
應用對數型函數的圖象可求解的問題
(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想．
(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．
[即時應用]
設f(x)＝|lg x|，a，b為實數，且0＜a＜b.
(1)若a，b滿足f(a)＝f(b)，求證：ab＝1；
(2)在(1)的條件下，求證：由關系式f(b)＝2f所得到的關于b的方程g(b)＝0，存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
證明：
g(4)＞0，根據零點存在性定理可知，函數g(b)在(3,4)內一定存在零點，即存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
角度一：比較對數值的大小
1．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，則a，b，c的大小關系為________．
【答案】b>a>c
【解析】a＝log29－log2＝log23，
b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，
因為函數y＝log2x是增函數，且2>3>，
所以b>a>c.
角度二：簡單對數不等式的解法
2．若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，則g(lg x)>g(1)時，x的取值范圍是__________．
【答案】∪(10，＋∞)
【解析】當g(lg x)>g(1)時，f(|lg x|)>f(1)，
由f(x)為增函數得|lg x|>1，
從而lg x>1或lg x<－1，
解得010.
角度三：對數函數的綜合問題
3．已知函數f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；
(2)當00，a≠1，－30，a≠1，－30的條件下應為logaMα＝αloga|M| (α∈N*，且α為偶數)．
2．解決與對數函數有關的問題時需注意兩點：
(1)務必先研究函數的定義域；
(2)注意對數底數的取值范圍．
[小題糾偏]
1．函數y＝的定義域為______．
【答案】
2．函數f(x)＝log(x＋1)(2x－1)的單調遞增區(qū)間是______．
【答案】
（江蘇專版）2019年高考數學一輪復習 專題2.7 對數與對數函數（講）.doc
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