高三數學北師大版文一輪教師用書：第4章 第1節(jié)　任意角、弧度制及任意角的三角函數 Word版含解析

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1、 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 從高考題型、題量來看，一般有兩種方式：三個小題或一個小題另加一個解答題，分值上占17分左右. 2.考查內容 (1)客觀題主要考查三角函數的定義，圖像與性質，同角三角函數關系，誘導公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知識. (2)解答題涉及知識點較為綜合．涉及三角函數圖像與性質、三角恒等變換與解三角形知識較為常見. 3.備考策略 (1)熟練應用同角三角函數基本關系式與誘導公式求值、化簡. (2)重視對三角函數圖像和性質的研究，復習時通過選擇題、填空題和解答題加以訓練和鞏固，注意將問題和方法進行歸納、整理.

2、(3)對正弦定理、余弦定理的應用要加強訓練. 第一節(jié)　任意角、弧度制及任意角的三角函數 [最新考綱]　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義． (對應學生用書第59頁) 1．角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定義和公式 (1)定義：在以單位長為半徑的圓中，單位長度的孤所對的圓心角為1弧度的角，

3、它的單位符號是rad，讀作弧度．正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0. (2)公式 角α的弧度數公式 |α|＝(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 ①1°＝ rad； ②1 rad＝ 弧長公式 弧長l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函數 三角函數 正弦 余弦 正切 定義 設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么 y叫作α的正弦，記作sin α x叫作α的余弦，記作cos α 叫作α的正切，記作tan α 各象限符號 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ －

4、－ ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函數線 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線 4.任意角的三角函數的定義(推廣) 設P(x，y)是角α終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 若α分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，則所在象限如圖： 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角． (　　) (2)角α的三角函數值與其終邊上點P的位置無關． (　　) (3)不相等的角終邊一定不相同． (　　) (4)若α為第一

5、象限角，則sin α＋cos α＞1. (　　) [答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．若θ滿足sin θ＜0，cos θ＞0，則θ的終邊在(　　) A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的終邊落在第四象限．] 2．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) C　[∵＝2π＋， ∴與終邊相同． 又角度制與弧度制不可同時混用，故選C.] 3．角－225

6、°＝________弧度，這個角的終邊落在第________象限． [答案]　－　二 4．設角θ的終邊經過點P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________. 　[由已知并結合三角函數的定義，得sin θ＝－， cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－－＝.] 5．一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為________弧度． [答案]　 (對應學生用書第60頁) ⊙考點1　象限角及終邊相同的角 　象限角的兩種判斷方法 (1)圖像法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角． (2)轉化法：先將已知角化為k

7、·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角． 　1.設集合M＝，N＝，那么(　　) A．M＝N　　 B．MN C．NM D．M∩N＝ B　[由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數，因此必有MN，故選B.] 2．設θ是第三象限角，且＝－cos ，則是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[∵θ是第三象限角， ∴π＋2kπ

8、＜θ＜＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z， ∴的終邊落在第二、四象限， 又＝－cos ，∴cos ＜0， ∴是第二象限角．] 3．與－2 010°終邊相同的最小正角是________． 150°　[與－2 010°終邊相同的角可表示為α＝－2 010°＋k·360°，k∈Z， 又當k＝6時，α＝150°，故與－2 010°終邊相同的最小正角為150°.] 4．終邊在直線y＝x上的角的集合是________． {α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}　[終邊在y＝x上的角可表示為α＝k·180°＋60°，k∈Z.] (1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的

9、角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需的角． (2)確定kα，(k∈Z*)的終邊位置的方法，先寫出kα或的范圍，然后根據k的可能取值確定kα或的終邊所在位置． ⊙考點2　扇形的弧長、面積公式 　弧度制下有關弧長、扇形面積問題的解題策略 (1)明確弧度制下弧長及扇形面積公式，在使用公式時，要注意角的單位必須是弧度． (2)分析題目已知哪些量、要求哪些量，然后靈活地運用弧長公式、扇形面積公式直接求解，或合理地利用圓心角所在三角形列方程(組)求解． 　已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇

10、形的弧長l； (2)已知扇形的周長為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角； (3)若扇形周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ [解](1)α＝60°＝rad， 所以l＝α·R＝×10＝(cm)． (2)由題意得?(舍去)或 故扇形圓心角為rad. (3)由已知得l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以當R＝5 cm時，S取得最大值25 cm2， 此時l＝10 cm，α＝2 rad. 　求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題． 　1.若圓弧長度等于圓內接正三角形的邊長

11、，則其圓心角的弧度數為(　　) A. B. C．3 D. D　[如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內接三角形，則線段AB所對的圓心角∠AOB＝， 作OM⊥AB，垂足為M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝， ∴AM＝r，AB＝r，∴l(xiāng)＝r， 由弧長公式得α＝＝＝.] 2．已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是(　　) A．2 B．sin 2 C. D．2sin 1 C　[如圖，∠AOB＝2弧度，過O點作OC⊥AB于C，并延長OC交于D. 則∠AOD＝∠BOD＝1弧度， 且AC＝AB＝1， 在Rt△AOC中， AO＝＝，

12、即r＝， 從而的長為l＝α·r＝.故選C.] 3．已知扇形弧長為20 cm，圓心角為100°，則該扇形的面積為________cm2. 　[由弧長公式l＝|α|r， 得r＝＝， 所以S扇形＝lr＝×20×＝.] ⊙考點3　三角函數的概念及應用 　三角函數定義問題的常見類型及解題策略 (1)已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數值：先求點P到原點的距離，再用三角函數的定義求解． (2)已知角α的某三角函數值，求角α終邊上一點P的坐標中的參數值，可根據定義中的兩個量列方程求參數值． (3)三角函數值的符號及角的終邊位置的判斷．已知一角的三角函數值(sin α，cos α

13、，tan α)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置，注意終邊在坐標軸上的特殊情況． 　三角函數定義的應用 (1)在平面直角坐標系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，角α，β的終邊分別與單位圓交于點和，則sin(α＋β)＝(　　) A．－　　　　B.　　　　C．－　　　　D. (2)角α終邊上一點P(4m，－3m)(m≠0)，則2sin α＋cos α＝________. (1)D　(2)±　[(1)由題意可知cos α＝，sin α＝. cos β＝－，sin β＝， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝×＋

14、× ＝－＋ ＝. (2)r＝＝5|m|， 當m＞0時，r＝5m，sin α＝－＝－，cos α＝＝， ∴2sin α＋cos α＝2×＋＝－. 當m＜0時，r＝－5m，sin α＝＝，cos α＝＝－， ∴2sin α＋cos α＝2×＋＝， ∴2sin α＋cos α＝±.] (3)角α的終邊在直線y＝－x，求sin α，cos α，tan α. [解]　由題意tan α＝－， 當角α終邊落在第二象限，設角α終邊上一點P(－3,4)，r＝5，∴sin α＝，cos α＝－， 當角α終邊落在第四象限，設角α終邊上一點P(3，－4)，r＝5， sin α＝－，cos α

15、＝. 　充分利用三角函數的定義解題是解答此類問題的關鍵，對于含字母的方程求解要注意字母的范圍． 　三角函數值的符號判斷 (1)若tan α＞0，則(　　) A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0 (2)若sin αtan α＜0，且＜0，則角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (1)C　(2)C　[(1)由tan α＞0，可得α的終邊在第一象限或第三象限，此時sin α與cos α同號，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故選C. (2)由sin αtan α＜0可知sin α，t

16、an α異號， 則α為第二象限角或第三象限角． 由＜0可知cos α，tan α異號，則α為第三象限角或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角．] 　判斷三角函數值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三角函數值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況和三角函數的定義域． 　三角函數線的應用 　函數y＝的定義域為________． 　[利用三角函數線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)． 所以定義域為 .] 　利用三角函數線比較大小或解三角不等式，通常采用數形結合的方法，一般來說sin x≥b，cos x≥a，只需作直線

17、y＝b，x＝a與單位圓相交，連接原點與交點即得角的終邊所在的位置，此時再根據方向即可確定相應的x的范圍． 　1.已知點P(tan α，cos α)在第三象限，則角α的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[∵tan α＜0，cos α＜0，∴α在第二象限．] 2．(2019·棗莊模擬)已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為(　　) A．－ B. C．－ D. B　[∵r＝，∴cos α＝＝－， ∴m＞0，∴＝，即m＝.] 3．若－＜α＜－，從單位圓中的三角函數線觀察sin α，cos α，tan α的大小是(　　) A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α C　[如圖，作出角α的正弦線MP， 余弦線OM，正切線AT， 觀察可知sin α＜cos α＜tan α.]