（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第一篇 小考點(diǎn)搶先練基礎(chǔ)題不失分 第3練 復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)文化試題.docx

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第3練　復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)文化 [明晰考情]　1.命題角度：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和幾何意義；數(shù)學(xué)文化的考查內(nèi)容不拘一格，古今中外文化兼有.2.題目難度：復(fù)數(shù)的考查難度為低檔難度，數(shù)學(xué)文化的考查難度為中檔難度． 考點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的概念 要點(diǎn)重組　(1)復(fù)數(shù)：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 方法技巧　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)． 1．(2018全國Ⅰ)設(shè)z＝＋2i，則|z|等于(　　) A．0 B. C．1 D. 答案　C 解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i， ∴|z|＝1.故選C. 2．(2018全國Ⅱ)等于(　　) A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i 答案　D 解析?。剑剑剑剑玦.故選D. 3．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若a－i與2＋bi互為共軛復(fù)數(shù)，則(a＋bi)2等于(　　) A．5－4iB．5＋4i　C．3－4iD．3＋4i 答案　D 解析　由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i， ∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故選D. 4．(2018杭州模擬)設(shè)a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虛數(shù)單位)，則a等于(　　) A．3B．－3C.D．－ 答案　B 解析　(1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a， ∵(1＋3i)(1＋ai)∈R， ∴虛部為0，則a＋3＝0，∴a＝－3. 5．(2018浙江省杭州市第二中學(xué)月考)若復(fù)數(shù)z滿足(1－2i)z＝3＋i(i為虛數(shù)單位)，則z＝______；|z|＝________. 答案　　 解析　由題設(shè)有z＝＝＝，故|z|＝. 6．(2017浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________. 答案　5　2 解析　(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi. 由(a＋bi)2＝3＋4i，得 解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2. 考點(diǎn)二　復(fù)數(shù)的幾何意義 要點(diǎn)重組　(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)． (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 7．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 答案　A 解析　由復(fù)數(shù)z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限， 得解得－3a1c2. 其中正確的式子的序號(hào)是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案　D 解析　①由題圖知2a1>2a2，2c1>2c2， 即a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，∴①不正確． ②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正確． ④∵a1>a2>0，c1>c2>0，∴a>a，c>c. 又∵a1－c1＝a2－c2， 即a1＋c2＝a2＋c1， 即a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1， ∴a－c＋c－a＋2a1c2＝2a2c1， 即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋2a1c2＝2a2c1， 整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋2a1c2＝2a2c1. ∵a1>c1，a1>a2，c1>c2， ∴2a1c2<2a2c1，即c1a2>a1c2，∴④正確． ③∵c1a2>a1c2，a1>0，a2>0， ∴>，即>，∴③不正確．故選D. 考點(diǎn)四　其他數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)文化 方法技巧　數(shù)學(xué)文化中蘊(yùn)含的數(shù)列問題，要尋找數(shù)列前幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，抽象出數(shù)列模型；其他數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合，關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型． 18．《張邱建算經(jīng)》是中國古代的數(shù)學(xué)著作，書中有一道題為：“今有女善織，日益功疾(注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布)，第一天織5尺布，現(xiàn)一月(按30天計(jì))共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織布的尺數(shù)為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依題意設(shè)每天多織d尺，依題意得S30＝305＋d＝390，解得d＝. 19．(2018北京)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為(　　) A.fB.fC.fD.f 答案　D 解析　由題意知，這十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成首項(xiàng)為f、公比為的等比數(shù)列，則第八個(gè)單音的頻率為()7f＝f. 20．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”．如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個(gè)單位，遞減的比例為40%.今共有糧m(m＞0)石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和為164石，則“衰分比”與m的值分別為(　　) A．20%,369 B．80%,369 C．40%,360 D．60%,365 答案　A 解析　設(shè)“衰分比”為a，甲衰分得b石， 由題意，得 解得b＝125，a＝20%，m＝369. 21．?dāng)?shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩：“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀．?dāng)?shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343、12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11,22,33，…，99共9個(gè)，則三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　三位數(shù)的回文數(shù)為ABA， A共有1到9共9種可能，即1B1,2B2,3B3，…， B共有0到9共10種可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…， 共有910＝90(個(gè))； 其中偶數(shù)為A是偶數(shù)，共4種可能，即2B2,4B4,6B6,8B8， B共有0到9共10種可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…， 其有410＝40(個(gè))， ∴三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率P＝＝. 22．(2017浙江)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________. 答案　 解析　作出單位圓的內(nèi)接正六邊形，如圖， 則OA＝OB＝AB＝1， S6＝6S△OAB＝61＝. 23．(2018浙江)我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一．凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為x，y，z，則當(dāng)z＝81時(shí)，x＝____，y＝____. 答案　8　11 解析　方法一　由題意，得 即解得 方法二　100－81＝19(只)， 813＝27(元)， 100－27＝73(元)． 假設(shè)剩余的19只雞全是雞翁，則519＝95(元)． 因?yàn)?5－73＝22(元)， 所以雞母：22(5－3)＝11(只)， 雞翁：19－11＝8(只)． 1．若復(fù)數(shù)lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．2B．4　C．6D．8 答案　B 解析　∵復(fù)數(shù)lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i為純虛數(shù)， ∴ 解得m＝4. 2．若復(fù)數(shù)z＝a＋i(a∈R，且a<0)，且|z|＝2，則z(1＋2i)的實(shí)部為(　　) A．－(＋1) B.(4－1) C.(1－4) D.(＋1) 答案　A 解析　因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝a＋i(a∈R，且a<0)， 所以|z|＝＝2，解得a＝－， 可得z(1＋2i)＝(1＋2i)＝－(＋1)＋i， 所以z(1＋2i)的實(shí)部為－(＋1)，故選A. 3．復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對稱，且z1＝3＋2i，則z1z2等于(　　) A．12＋13i B．13＋12i C．－13i D．13i 答案　D 解析　點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(b，a)， 且z1＝3＋2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2)， 據(jù)此結(jié)合題意可知z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)，即z2＝2＋3i， 據(jù)此可得z1z2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i. 解題秘籍　(1)復(fù)數(shù)的概念是考查的重點(diǎn)，虛數(shù)及純虛數(shù)的意義要把握準(zhǔn)確． (2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算中除法運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)，運(yùn)算時(shí)要分母實(shí)數(shù)化(分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù))，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件在復(fù)數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常用到． 1．下列各式的運(yùn)算結(jié)果為2i的是(　　) A．i＋i2＋i3＋i4 B．|3－i|i C．i(2＋i)－1 D.＋3i 答案　D 解析　i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0；|3－i|i＝i； i(2＋i)－1＝2i＋i2－1＝2i－2； ＋3i＝＋3i＝－i＋3i＝2i. 2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　∵z＝＝＝＝－1－2i， ∴＝－1＋2i, 則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,2)，位于第二象限，故選B. 3．設(shè)為復(fù)數(shù)z＝－i的共軛復(fù)數(shù)，則(z－)2016等于(　　) A．22016B．－22016　C．22016iD．－i 答案　A 解析　∵z＝－i，∴共軛復(fù)數(shù)＝＋i，則(z－)2016＝2016＝(－2i)2016＝22016. 4．南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)古籍《張邱建算經(jīng)》有如下一道題：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給．問：每等人比下等人多得幾斤？”(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此類推，第一等人得金a10斤，則數(shù)列{an}構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則每一等人比下一等人多得d斤金， 由題意得即 解得d＝， ∴每一等人比下一等人多得斤金． 5．朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問筑堤幾日”．其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40392升，問修筑堤壩多少天”，在該問題中前5天共分發(fā)了多少升大米？(　　) A．1170 B．1380 C．3090 D．3300 答案　D 解析　設(shè)第n天派出的人數(shù)為an，則{an}是以64為首項(xiàng)，7為公差的等差數(shù)列，則第n天修筑堤壩的人數(shù)為Sn＝a1＋a2＋…＋an＝64n＋7，所以前5天共分發(fā)的大米數(shù)為3(S1＋S2＋S3＋S4＋S5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)64＋(1＋3＋6＋10)7]＝3300(升)． 6．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是(　　) (注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸) A．1寸 B．2寸 C．3寸 D．4寸 答案　C 解析　如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸． ∵積水深9寸， ∴水面半徑為(14＋6)＝10(寸)， 則盆中水的體積為π9(62＋102＋610)＝588π(立方寸)． ∴平地降雨量等于＝3(寸)． 故選C. 7．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺，問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為(　　) A．128π平方尺 B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺 答案　B 解析　設(shè)四棱錐的外接球半徑為r尺， 則(2r)2＝72＋52＋82＝138， ∴這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為4πr2＝138π(平方尺)．故選B. 8．我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”上述問題中，兩鼠在第________天相逢． 答案　4 解析　由題意可知，大鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前n天打洞之和為＝2n－1； 同理，小鼠前n天打洞的距離為＝2－， ∴2n－1＋2－＝10，解得n∈(3,4)，取n＝4. 即兩鼠在第4天相逢． 9．已知z是純虛數(shù)，若(m＋2i)z＝2－3i，則實(shí)數(shù)m＝__________. 答案　3 解析　設(shè)z＝ai(a∈R且a≠0)， 由(m＋2i)z＝2－3i，得(m＋2i)ai＝－2a＋mai＝2－3i， ∴解得m＝3. 10．(2018浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)模擬)若復(fù)數(shù)z＝2(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為________，|z|＝________. 答案　4　5 解析　由題意得z＝2＝2＝(1＋2i)2＝－3＋4i.所以復(fù)數(shù)z的虛部為4，|z|＝＝5. 11．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z(1＋i)＝2－3i，則z的虛部為________． 答案?。? 解析　由z(1＋i)＝2－3i， 得z＝＝＝＝－－i， 則z的虛部為－. 12．如圖所示是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4095個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長為，則最小正方形的邊長為________． 答案　 解析　依題意，正方形的邊長構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列． 因?yàn)楣灿?095個(gè)正方形， 則1＋2＋22＋…＋2n－1＝4095，所以n＝12. 所以最小正方形的邊長為12－1＝12＝.