2019版高考數學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第五章 數列學案.doc

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第五章　數　　列 第1課時　數列的概念及其簡單表示法 理解數列的概念，認識數列是反映自然規(guī)律的基本數學模型，探索并掌握數列的幾種簡單表示法(列表、圖象、通項公式)；了解數列是一種特殊的函數；發(fā)現數列規(guī)律，寫出其通項公式． ① 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).② 了解數列是自變量為正整數的一類函數.③ 會利用數列的前n項和求通項公式． 1. (必修5P34習題3改編)已知數列{an}滿足an＝4an－1＋3，且a1＝0，則a 5＝________． 答案：255 解析：a2＝4a1＋3＝3，a3＝4a2＋3＝43＋3＝15，a4＝4a3＋3＝415＋3＝63，a5＝4a4＋3＝463＋3＝255. 2. (必修5P34習題2改編)數列－1，，－，，…的一個通項公式是________． 答案：an＝(－1)n 解析：－1＝－，數列1，4，9，16，…對應通項n2，數列1，3，5，7，…對應通項2n－1，數列－1，1，－1，1，…對應通項(－1)n，故an＝(－1)n. 3. (必修5P48習題9改編)若數列{an}的前n項和Sn＝n2＋3n，則＝________． 答案：2 解析：∵ 數列{an}的前n項和Sn＝n2＋3n， ∴ a1＋a2＋a3＝S3＝32＋33＝18， a4＋a5＋a6＝S6－S3＝36， ∴ ＝2. 4. (必修5P34習題9改編)已知數列{an}的通項公式是an＝n2－8n＋5，則這個數列的最小項是________． 答案： －11 解析：由an＝(n－4)2－11，可知n＝4時，an取最小值為－11. 5. (必修5P34習題5改編)已知數列，，2，，，…，則4是這個數列的第________項． 答案：11 解析：易知該數列的通項為，則有＝4，得n＝11，則4是這個數列的第11項． 1. 數列的定義 按照一定順序排列的一列數稱為數列．數列中的每一個數叫做這個數列的項．排在第一位的數稱為這個數列的第1項，通常也叫做首項． 2. 數列的分類 項數有限的數列叫做有窮數列． 項數無限的數列叫做無窮數列． 3. 數列與函數的關系 從函數觀點看，數列可以看成是以正整數或其子集為定義域的函數an＝f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值．反過來，對于函數y＝f(x)，如果f(i)(i＝1，2，3，…)有意義，那么可以得到一個數列{f(n)}． 4. 數列的通項公式 如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式an＝f(n)(n＝1，2，3，…)來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．通項公式可以看成數列的函數解析式． 5. 數列{an}的前n項和Sn與通項an的關系是an＝[備課札記]  ,　　　　　　　　　1　由數列的前幾項求數列的通項) ,　　　　　1)　根據下面各數列前幾項的值，寫出數列的一個通項公式： (1) －1，7，－13，19，…； (2) ，，，，，…； (3) 1，0，－，0，，0，－，0，…； (4) 1，2，3，4，…. 解：(1) 偶數項為正，奇數項為負，故通項公式必含有因式(－1)n，觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6，故數列的一個通項公式為an＝(－1)n(6n－5)． (2) 這是一個分數數列，其分子構成偶數數列，而分母可分解為13，35，57，79，911，…，每一項都是兩個相鄰奇數的乘積．故所求數列的一個通項公式為an＝. (3)將數列改寫為，，－，，，，－，，…，則an＝. (4) 觀察不難發(fā)現1＝1＋，2＝2＋＝2＋，3＝3＋＝3＋，…，一般地，an＝n＋.則an＝n＋. 變式訓練 (1) 數列－，，－，，…的一個通項公式an＝__________； (2) 該數列，，，，…的一個通項公式為________． 答案：(1) (－1)n　(2) 解析：(1) 這個數列前4項的絕對值都等于項數與項數加1的積的倒數，且奇數項為負，偶數項為正，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n. (2) 各項的分子為22，32，42，52，…，分母比分子大1，因此該數列的一個通項公式為an＝. ,　　　　　　　　　2　由an與Sn關系求an) ,　　　　　2)　已知數列{an}的前n項和Sn，求通項an. (1) Sn＝3n－1； (2) Sn＝2n＋1. 解：(1) 當n＝1時，a1＝S1＝2. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝23n－1. 當n＝1時，an＝2符合上式． ∴ an＝23n－1. (2) 當n＝1時，a1＝S1＝21＋1＝3； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.當n＝1時，an＝3不符合上式． 綜上有 an＝ 變式訓練 (1) 已知數列{an}的前n項和Sn＝3n＋1，則an＝__________； (2) 若數列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式an＝__________． 答案：(1) 　(2) (－2)n－1 解析：(1) 當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝23n－1. ∵ a1＝4不適合上等式，∴ an＝ (2) 由Sn＝an＋得，當n≥2時，Sn－1＝an－1＋， 兩式相減，得an＝an－an－1， ∴ 當n≥2時，an＝－2an－1，即＝－2. 又n＝1時，S1＝a1＝a1＋，a1＝1， ∴ an＝(－2)n－1. ,　　　　　　　　　3　由數列的遞推關系求數列的通項公式) ,　　　　　3)　(1) 設數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項公式an＝________； (2) a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N*)，通項公式an＝________； (3) 在數列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an，則{an}的通項公式為an＝________． 答案：(1) ＋1　(2) 2－(n∈N*)　(3) 解析：(1) 由題意得，當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n) ＝2＋＝＋1. 又a1＝＋1＝2，符合上式， 因此an＝＋1. (2) 由an＝an－1＋(n≥2)，得an－an－1＝－(n≥2)．則a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－.將上述n－1個式子累加，得an＝2－.當n＝1時，a1＝1也滿足，故an＝2－(n∈N*)． (3) 由題設知，a1＝1. 當n>1時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， ∴ ＝， ∴ ＝，…，＝，＝，＝3. 以上n－1個式子的等號兩端分別相乘，得到＝. ∵ a1＝1，∴ an＝. (1) 已知數列{an}滿足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)，則an＝________． (2) 已知數列{an}滿足a1＝1，an＝an－1(n≥2)，則an＝________． 答案：(1) an＝　(2) 解析：(1) 由a1＝1，an－an－1＝3n－1(n≥2)，得a1＝1，a2－a1＝31，a3－a2＝32，…，an－1－an－2＝3n－2，an－an－1＝3n－1，以上等式兩邊分別相加得an＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.當n＝1時，a1＝1也適合，∴ an＝. (2) an＝an－1 (n≥2)，an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)個式子相乘得an＝a1…＝＝.當n＝1時也滿足此等式，∴ an＝. 1. (2017太原模擬)已知數列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，則an＝________． 答案： 解析：由an－an＋1＝nanan＋1得－＝n，則由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝.因為a1＝1，所以＝＋1＝，所以an＝. 2. 設Sn為數列{an}的前n項和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常數．若對于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比數列，則k的值為________． 答案：0或1 解析：∵ Sn＝kn2＋n，n∈N*，∴ 數列{an}是首項為k＋1，公差為2k的等差數列， an＝2kn＋1－k.又對于任意的m∈N*都有a＝ama4m， a＝a1a4，(3k＋1)2＝(k＋1)(7k＋1)，解得k＝0或1.又k＝0時，an＝1，顯然對于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比數列；k＝1時，an＝2n，am＝2m，a2m＝4m，a4m＝8m，顯然對于任意的m∈N*，am，a2m，a4m也成等比數列．綜上所述，k＝0或1. 3. 已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，則a10等于________． 答案：32 解析：∵ an＋1an＝2n，∴ an＋1an＋2＝2n＋1，兩式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴ a2＝2，則＝24，即a10＝25＝32. 4. 對于數列{an}，定義數列{bn}滿足：bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，則a1＝________． 答案：8 解析：b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，由b3－b2＝1，得b2＝－3，而b2＝a3－a2＝－3，得a2＝4.又b2－b1＝1，則b1＝－4，而b1＝a2－a1＝4－a1＝－4，則a1＝8. 5. 已知數列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式an＝__________． 答案： 解析：當n＝1時，a1＝S1＝a1＋，∴ a1＝1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴ ＝－.∴ 數列{an}為首項a1＝1，公比q＝－的等比數列，故an＝(－)n－1. 1. 若an＝n2＋λn＋3(其中λ為實常數)，n∈N*，且數列{an}為單調遞增數列，則實數λ的取值范圍是________． 答案：(－3，∞) 解析：(解法1：函數觀點)因為{an}為單調遞增數列， 所以an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3>n2＋λn＋3，化簡為λ>－2n－1對一切n∈N*都成立，所以λ>－3. 故實數λ的取值范圍是(－3，＋∞)． (解法2：數形結合法)因為{an}為單調遞增數列，所以a1－3，故實數λ的取值范圍為(－3，＋∞)． 2. 已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，求a2，a3，a4的值及數列{an}的通項公式． 解：由已知得a2＝，a3＝，a4＝.由a1＝1，an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，n≥2， 故an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，n≥2，得an＋1＝an，n≥2. 又a1＝1，a2＝，故該數列從第二項開始為等比數列，故an＝ 3. 已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*. (1) 求a1的值； (2) 求數列{an}的通項公式． 解：(1) 由題設，S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*. 令n＝1，有S－(12＋1－3)S1－3(12＋1)＝0， 可得S＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2. 又an為正數，所以a1＝2. (2) 由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*可得， (Sn＋3)(Sn－n2－n)＝0，則Sn＝n2＋n或Sn＝－3. 又數列{an}的各項均為正數，所以Sn＝n2＋n，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)， 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n. 又a1＝2，所以an＝2n. 4. 設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1) 設bn＝Sn－3n，求數列{bn}的通項公式； (2) 若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍． 解：(1) 依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， 即bn＋1＝2bn.又b1＝S1－3＝a－3， 因此，所求通項公式為bn＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2) 由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*， 于是，當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝23n－1＋(a－3)2n－2， an＋1－an＝43n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－2. 當n≥2時，an＋1≥an?12＋a－3≥0?a≥－9. 又a2＝a1＋3>a1， 綜上，所求的a的取值范圍是[－9，3)∪(3，＋∞)． 1. 數列中的數的有序性是數列定義的靈魂，要注意辨析數列的項和數集中元素的異同，數列可以看成是一個定義域為正整數集或其子集的函數，因此在研究數列問題時，既要注意函數方法的普遍性，又要注意數列方法的特殊性． 2. 根據所給數列的前幾項求其通項，需要仔細觀察分析，抓住特征：分式中分子、分母的獨立特征，相鄰項變化的特征，拆項后的特征，各項的符號特征和絕對值特征，并由此進行歸納、聯(lián)想． 3. 通項an與其前n項和Sn的關系是一個十分重要的考點，運用時不要忘記討論an＝[備課札記]  第2課時　等 差 數 列(對應學生用書(文)、(理)84～85頁) 理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，能在具體的問題情境中用等差數列的有關知識解決相應的問題． ① 理解等差數列的概念.② 掌握等差數列的通項公式與前n項和公式.③ 理解等差中項的概念，掌握等差數列的性質． 1. (必修5P47習題5改編)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6＝________． 答案：12 解析：設等差數列{an}的公差為d，由題意知，32＋3d＝12，得d＝2，則a6＝2＋(6－1)2＝12. 2. (必修5P48習題7改編)在等差數列{an}中， (1) 已知a4＋a14＝2，則S17＝________； (2) 已知S11＝55，則a6＝________； (3) 已知S8＝100，S16＝392，則S24＝________． 答案：(1) 17　(2) 5　(3) 876 解析：(1) S17＝＝＝17. (2) S11＝＝＝55，∴ a6＝5. (3) S8，S16－S8，S24－S16成等差數列，∴ 100＋S24－392＝2(392－100)，∴ S24＝876. 3. (必修5P44練習6改編)設Sn為等差數列{an}的前n項和，已知S5＝5，S9＝27，則S7＝________． 答案：14 解析：由S5＝(a1＋a5)＝2a3＝5a3＝5，得a3＝1.由S9＝(a1＋a9)＝2a5＝9a5＝27，得a5＝3.從而S7＝(a1＋a7)＝(a3＋a5)＝4＝14. 4. (必修5P48習題11改編)已知數列{an}為等差數列，若a1＝－3，11a5＝5a8，則使其前n項和Sn取最小值的n＝________． 答案：2 解析：∵ a1＝－3，11a5＝5a8，∴ d＝2，∴ Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，∴ 當n＝2時，Sn最小． 5. (必修5P43例2改編)在等差數列{an}中，已知d＝，an＝，Sn＝－，則a1＝________． 答案：－3 解析：由題意，得 由②得a1＝－n＋2，代入①得n2－7n－30＝0，∴ n＝10或n＝－3(舍去)，∴ a1＝－3. 1. 等差數列的定義 (1) 文字語言：如果一個數列從第二項起，每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列． (2) 符號語言：an＋1－an＝d(n∈N*)． 2. 等差數列的通項公式 若等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d． 推廣：an＝am＋(n－m)d. 3. 等差中項 如果三個數a，A，b成等差數列，則A叫a和b的等差中項，且有A＝． 4. 等差數列的前n項和公式 (1) Sn＝na1＋d． (2) Sn＝． 5. 等差數列的性質 (1) 等差數列{an}中，對任意的m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq．特殊的，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap． (2) 等差數列{an}中，依次每m項的和仍成等差數列，即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數列． 6. 當項數為2n(n∈N＋)，則S偶－S奇＝nd，＝； 當項數為2n－1(n∈N＋)，則S奇－S偶＝an，＝. ,　　　　　　　　　1　數列中的基本量的計算) ,　　　　　1)　(1) 設Sn為等差數列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝__________； (2) 設等差數列{an}的前n項和為Sn，S3＝6，S4＝12，則S6＝__________． 答案：(1) －6　(2) 30 解析：(1) 設公差為d，則8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6. (2) 設數列{an}的首項為a1，公差為d，由S3＝6，S4＝12，可得解得即S6＝6a1＋15d＝30. 變式訓練 (1) 已知{an}是公差不為0 的等差數列，Sn是其前n項和，若a2a3＝a4a5，S9＝1，則a1的值是________； (2) 設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a2＝7，S7＝－7，則a7的值為________． 答案：(1) －　(2) －13 解析：(1) 設等差數列{an}的公差為d(d≠0)． ∵ a2a3＝a4a5，S9＝1， ∴ 解得a1＝－. (2) 設等差數列{an}的公差為d.∵ a2＝7，S7＝－7， ∴ 解方程組可得 ∴ a7＝a1＋6d＝11－64＝－13. ,　　　　　　　　　2　判斷或證明一個數列是否是等差數列) ,　　　　　2)　已知數列{an}的各項均為正數，前n項和為Sn，且滿足2Sn＝a＋n－4. (1) 求證：{an}為等差數列； (2) 求{an}的通項公式． (1) 證明：當n＝1時，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．當n≥2時，有2Sn－1＝a＋n－5.又2Sn＝a＋n－4，兩式相減得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1. 若an－1＝－an－1，則an＋an－1＝1，而a1＝3，所以a2＝－2，這與數列{an}的各項均為正數相矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，因此{an}為等差數列． (2) 解：由(1)知a1＝3，d＝1，所以數列{an}的通項公式an＝3＋(n－1)1＝n＋2，即an＝n＋2. 變式訓練 已知數列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n.設bn＝. (1) 證明：數列{bn}為等差數列； (2) 求數列{an}的通項公式． (1) 證明：∵ bn＋1－bn＝－＝－＝1， ∴ 數列{bn}為等差數列． (2) 解：∵ b1＝＝0，∴ bn＝n－1，∴ an＝(n－1)3n＋2n. 已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足：an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝，判斷與{an}是否為等差數列，并說明你的理由． 解：因為an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＋2SnSn－1＝0， 所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)， 所以－＝2(n≥2)． 因為S1＝a1＝， 所以是以2為首項，2為公差的等差數列． 所以＝2＋(n－1)2＝2n，故Sn＝. 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 所以an＋1＝，而an＋1－an＝－ ＝＝. 所以當n≥2時，an＋1－an的值不是一個與n無關的常數，故數列{an}不是一個等差數列． 綜上可知，是等差數列，{an}不是等差數列． ,　　　　　　　　　3　等差數列的性質) ,　　　　　3)　(1) 已知{an}是等差數列，{Sn}是其前n項和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________； (2) 在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________； (3) 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________． 答案：(1) 20　(2) 10　(3) 60 解析：(1) 由S5＝10得a3＝2，因此2－2d＋(2－d)2＝－3?d＝3，a9＝2＋36＝20. (2) 因為{an}是等差數列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10. (3) 因為S10，S20－S10，S30－S20成等差數列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20， 所以220＝10＋S30－30，所以S30＝60. 變式訓練 (1) 設等差數列{an}的前n項和為Sn.若2a8＝6＋a11，則S9的值等于__________； (2) 設等差數列{an}的前n項和為Sn.若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝__________． 答案：(1) 54　(2) 45 解析：(1) 根據題意及等差數列的性質，知2a8－a11＝a5＝6，根據等差數列的求和公式，知S9＝9＝9＝69＝54. (2) 由{an}是等差數列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，則a7＋a8＋a9＝45. 設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a5＝3，S10＝40，求nSn的最小值． 解：設等差數列{an}的公差為d.∵ a5＝3，S10＝40， ∴ a1＋4d＝3，10a1＋d＝40，解得a1＝－5，d＝2. ∴ Sn＝－5n＋2＝n2－6n，則nSn＝n2(n－6)． n≤5時，nSn＜0；n≥6時，nSn≥0.可得n＝4時，nSn取得最小值－32. ,　　　　　　　　　4　等差數列中的最值問題) ,　　　　　4)　(1) 若等差數列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，當n取何值時，{an}的前n項和最大？ (2) 已知數列{an}為等差數列．若<－1，且{an}的前n項和Sn有最大值，求使Sn>0時n的最大值． (3) 在等差數列{an}中，a1>0，公差d<0，a5＝3a7，其前n項和為Sn，求Sn取得最大值時n的值． 解：(1) 由等差數列的性質，得a7＋a8＋a9＝3a8，a8>0.又a7＋a10<0，∴ a8＋a9<0，∴ a9<0，∴ S8>S7，S8>S9，故數列{an}的前8項和最大． (2) ∵ <－1，且Sn有最大值，∴ a6>0，a7<0，且a6＋a7<0，∴ S11＝＝11a6>0，S12＝＝6(a6＋a7)<0，∴ 使Sn>0的n的最大值為11. (3) 在等差數列{an}中，a1>0，公差d<0. ∵ a5＝3a7，∴ a1＋4d＝3(a1＋6d)，∴ a1＝－7d， ∴ Sn＝n(－7d)＋d＝(n2－15n)， ∴ n＝7或8時，Sn取得最大值． 已知在等差數列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n項和，S10＝S22. (1) 求Sn； (2) 這個數列的前多少項的和最大，并求出這個最大值． 解：(1) ∵ S10＝a1＋a2＋…＋a10，S22＝a1＋a2＋…＋a22， S10＝S22，∴ a11＋a12＋…＋a22＝0，＝0， 即a11＋a22＝2a1＋31d＝0.又a1＝31，∴ d＝－2， ∴ Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n2. (2) (解法1)由(1)知Sn＝32n－n2，∴ 當n＝16時，Sn有最大值，Sn的最大值是256. (解法2)由Sn＝32n－n2＝n(32－n)，欲使Sn有最大值，應有10，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，則a3＋a5＝________． 答案：6 解析：a2a4＋2a3a5＋a4a6＝(a3＋a5)2＝36.又a1>0，∴ a3，a5>0，∴ a3＋a5＝6. 4. (必修5P61習題3改編)在等比數列{an}中，a3＝7，前3項和S3＝21，則公比q＝________． 答案：1或－ 解析：由已知得 化簡得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－. 5. (必修5P56例2改編)設等比數列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝________． 答案：63 解析：設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，易知q≠1，根據題意可得 解得q2＝4，＝－1，所以S6＝＝(－1)(1－43)＝63. 1. 等比數列的概念 (1) 文字語言：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列． (2) 符號語言：＝q(n∈N*，q是等比數列的公比)． 2. 等比數列的通項公式 設{an}是首項為a1，公比為q的等比數列，則第n項an＝a1qn－1． 推廣：an＝amqn－m. 3. 等比中項 若a，G，b成等比數列，則G為a和b的等比中項且G＝． 4. 等比數列的前n項和公式 (1) 當q＝1時，Sn＝na1． (2) 當q≠1時，Sn＝＝． 5. 等比數列的性質 (1) 等比數列{an}中，對任意的m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq．特殊的，若m＋n＝2p，則aman＝a． (2) 等比數列{an}中，依次每m項的和(非零)仍成等比數列，即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數列，其公比為qm(q≠－1)．(其中Sm≠0)[備課札記]  ,　　　　　　　　　1　等比數列的基本運算) ,　　　　　1)　(1) 設等比數列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________； (2) 等比數列{an}的各項均為實數，其前n項和為Sn，已知S3＝，S6＝，則a8＝________； (3) 設等比數列{an}的前n項和為Sn.若27a3－a6＝0，則＝________． 答案：(1) －8　(2) 32　(3) 28 解析：(1) 設等比數列的公比為q，很明顯q≠－1，結合等比數列的通項公式和題意可得方程組 由②除以①可得q＝－2 ，代入①可得a1＝1， 由等比數列的通項公式可得a4＝a1q3＝－8. (2) 當q＝1時，顯然不符合題意；當q≠1時，解得則a8＝27＝32. (3) 設等比數列的公比為q，首項為a1，則＝q3＝27. ＝＝1＋＝1＋＝1＋q3＝28. 變式訓練 (1) 在各項均為正數的等比數列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________； (2) 設等比數列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2a3…an的最大值為________． 答案：(1) 4　(2) 64 解析：(1) 設等比數列{an}的公比為q，由a2＝1，a8＝a6＋2a4得q6＝q4＋2q2，q4－q2－2＝0，解得q2＝2，則a6＝a2q4＝4. (2) 因為a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，所以公比q＝＝，所以a1＋a1＝10?a1＝8，a1a2a3…an＝8n1＋2＋…＋n－1＝23n2－＝23n－＝2，所以當n＝3或4時，取最大值64. ,　　　　　　　　　2　等比數列的判定與證明) ,　　　　　2)　已知數列{an}的前n項和為Sn，3Sn＝an－1(n∈N*)． (1) 求a1，a2； (2) 求證：數列{an}是等比數列； (3) 求an和Sn. (1) 解：由3S1＝a1－1，得3a1＝a1－1， 所以a1＝－.又3S2＝a2－1，即3a1＋3a2＝a2－1，得a2＝. (2) 證明：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，所以{an}是首項為－，公比為－的等比數列． (3) 解：由(2)可得an＝n， Sn＝＝－. 已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)． (1) 求證：數列{an}是等比數列； (2) 若數列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求數列{bn}的通項公式． (1) 證明：依題意Sn＝4an－3(n∈N*)， 當n＝1時，a1＝4a1－3，解得a1＝1. 因為Sn＝4an－3，則Sn－1＝4an－1－3(n≥2)， 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 整理得an＝an－1. 又a1＝1≠0，所以{an}是首項為1，公比為的等比數列． (2) 解：由(1)知an＝， 由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，得bn＋1－bn＝. 可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1) ＝2＋＝3－1(n≥2)． 當n＝1時也滿足， 所以數列{bn}的通項公式為bn＝3－1(n∈N*)． ,　　　　　　　　　3　等比數列的性質) ,　　　　　3)　已知等比數列{an}的各項均為正數，且滿足a1a9＝4，則數列{log2an}的前9項之和為________． 答案：9 解析：∵ a1a9＝a＝4，∴ a5＝2， ∴ log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝log2(a1a2…a9)＝log2a＝9log2a5＝9. 變式訓練 (1) 各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10＝2，S30＝14，則S40＝________； (2) 等比數列{am}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m＝________． 答案：(1) 30　(2) 4 解析：(1) 依題意有S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30仍成等比數列，2(14－S20)＝(S20－2)2，得S20＝6.所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，即為2，4，8，16，所以S40＝S30＋16＝30. (2) 因為{am}為等比數列，所以am－1am＋1＝a.又由am－1am＋1－2am＝0，得am＝2.則T2m－1＝a，所以22m－1＝128，m＝4. ,　　　　　　　　　4　等比數列的應用) ,　　　　　4)　設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1) 設bn＝an＋1－2an，求證：數列{bn}是等比數列； (2) 求數列{an}的通項公式． (1) 證明： 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 得a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴ a2＝5，∴ b1＝a2－2a1＝3. 又 ①－②，得an＋1＝4an－4an－1， ∴ an＋1－2an＝2(an－2an－1)． ∵ bn＝an＋1－2an，∴ bn＝2bn－1， 故{bn}是首項b1＝3，公比為2的等比數列． (2) 解：由(1)知bn＝an＋1－2an＝32n－1， ∴ －＝. 故是首項為，公差為的等差數列． ∴ ＝＋(n－1)＝， 故an＝(3n－1)2n－2. 已知數列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數列{bn}的前n項和Tn＝2－bn. (1) 求數列{an}與{bn}的通項公式； (2) 設cn＝abn，證明：當且僅當n≥3時，cn＋10，且q≠1，∴ q＝. 3. (2017蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，公比q＝3，S3＋S4＝，則a3＝________． 答案：3 解析：∵ 等比數列{an}的前n項和為Sn，公比q＝3，S3＋S4＝， ∴ ＋＝，解得a1＝.則a3＝32＝3. 4. (2017南通四模)已知數列{an}中，a1＝1，a2＝4，a3＝10.若{an＋1－an}是等比數列，則i＝________． 答案：32n－2n－3 解析：a2－a1＝4－1＝3，a3－a2＝10－4＝6，∵ {an＋1－an}是等比數列，∴ 首項為3，公比為2， ∴ an＋1－an＝32n－1， ∴ an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋3＋32＋…＋32n－2＝1＋3＝32n－1－2. 則i＝3－2n＝32n－2n－3. 1. (2017新課標Ⅰ)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪．那么該款軟件的激活碼是________． 答案：440 解析：由題意得，數列如下： 1， 1，2， 1，2，4， … 1，2，4，…，2k－1， … 則該數列的前1＋2＋…＋k＝項和為S＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k－1)＝2k＋1－k－2， 要使＞100，有k≥14，此時k＋2＜2k＋1，所以k＋2是之后的等比數列1，2，…，2k＋1的部分和，即k＋2＝1＋2＋…＋2t－1＝2t－1， 所以k＝2t－3≥14，則t≥5，此時k＝25－3＝29， 對應滿足的最小條件為N＝＋5＝440. 2. 已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝，其中n∈N*，λ，μ為非零常數． (1) 若λ＝3，μ＝8，求證：{an＋1}為等比數列，并求數列{an}的通項公式； (2) 若數列{an}是公差不等于零的等差數列，求實數λ，μ的值． (1) 證明：當λ＝3，μ＝8時，an＋1＝＝3an＋2，化為an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴ {an＋1}為等比數列，首項為2，公比為3. ∴ an＋1＝23n－1，可得an＝23n－1－1. (2) 解：設an＝a1＋(n－1)d＝dn－d＋1. 由an＋1＝，可得an＋1(an＋2)＝λa＋μan＋4， ∴ (dn－d＋3)(dn＋1)＝λ(dn－d＋1)2＋μ(dn－d＋1)＋4. 令n＝1，2，3，解得λ＝1，μ＝4，d＝2. 經過檢驗滿足題意，∴ λ＝1，μ＝4. 3. 已知各項不為零的數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝panan＋1(n∈N*)，p∈R. (1) 若a1，a2，a3成等比數列，求實數p的值； (2) 若a1，a2，a3成等差數列，求數列{an}的通項公式． 解：(1) 當n＝1時，a1＝pa1a2，a2＝；當n＝2時，a1＋a2＝pa2a3，a3＝＝1＋. 由a＝a1a3得a1a3＝，即p2＋p－1＝0，解得p＝. (2) 由2a2＝a1＋a3得p＝，故a2＝2，a3＝3，所以Sn＝anan＋1， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝anan＋1－an－1an. 因為an≠0，所以an＋1－an－1＝2，故數列{an}的所有奇數項組成以1為首項2為公差的等差數列，其通項公式是an＝1＋2＝n.同理，數列{an}的所有偶數項組成以2為首項2為公差的等差數列，其通項公式是an＝2＋2＝n，所以數列{an}的通項公式是an＝n. 4. 已知數列{an}的首項a1＝2a＋1(a是常數，且a≠－1)，an＝2an－1＋n2－4n＋2(n≥2)，數列{bn}的首項b1＝a， bn＝an＋n2(n≥2)． (1) 求證：{bn}從第2項起是以2為公比的等比數列； (2) 設Sn為數列{bn}的前n項和，且{Sn}是等比數列，求實數a的值； (3) 當a>0時，求數列{an}的最小項． (1) 證明：∵ bn＝an＋n2， ∴ bn＋1＝an＋1＋(n＋1)2＝2an＋(n＋1)2－4(n＋1)＋2＋(n＋1)2＝2an＋2n2＝2bn(n≥2)． 由a1＝2a＋1，得a2＝4a，b2＝a2＋4＝4a＋4. ∵ a≠－1， ∴ b2≠0，即{bn}從第2項起是以2為公比的等比數列． (2) 解：由(1)知bn＝ Sn＝a＋＝－3a－4＋(2a＋2)2n，當n≥2時，＝＝2＋. ∵ {Sn}是等比數列， ∴ (n≥2)是常數， ∴ 3a＋4＝0，即a＝－. (3) 解：由(1)知當n≥2時，bn＝(4a＋4)2n－2＝(a＋1)2n， ∴ an＝ ∴ 數列{an}為2a＋1，4a，8a－1，16a，32a＋7，…， 顯然最小項是前三項中的一項． 當a∈時，最小項為8a－1； 當a＝時，最小項為4a或8a－1； 當a∈時，最小項為4a； 當a＝時，最小項為4a或2a＋1； 當a∈時，最小項為2a＋1. 1. 重點是本著化多為少的原則，解題時，需抓住首項a1和公比q這兩個基本量． 2. 運用等比數列求和公式時，要對q＝1和q≠1進行討論． 3. 解決等比數列有關問題的常見思想方法：①方程的思想：等比數列中有五個量a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程組求關鍵量a1，q.②分類的思想：當a1>0，q>1或者a1<0，00，01時，等比數列{an}遞減；當q<0時，等比數列為擺動數列；當q＝1時，等比數列為常數列．③函數的思想：用函數的觀點來理解和掌握等比數列的概念、通項公式和前n項和公式． 4. 巧用性質，減少運算量，在解題中非常重要．  第4課時　數列的求和(對應學生用書(文)、(理)88～89頁) 理解數列的通項公式；會由數列的前n項和求數列通項公式；掌握等差數列、等比數列前n項和的公式；數列求和的常用方法：分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序相加法等． ① 掌握求數列通項公式的常用方法.② 掌握數列求和的常用方法． 1. (必修5P36例2改編)在數列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x＝________． 答案：13 解析：由an＋2＝an＋1＋an，得x＝5＋8＝13. 2. (必修5P68復習題13(1)改編)求和：＋＋…＋＝________． 答案：1－ 解析：原式＝＋＋…＋＝1－. 3. (必修5P69本章測試12改編)等比數列1，2，4，8，…中從第5項到第10項的和為________． 答案：1 008 解析：由a1＝1，a2＝2，得q＝2，∴ S10＝＝1 023，S4＝＝15，∴ S10－S4＝1 008. 4. (必修5P68復習題13(2)改編)已知數列{an}的通項公式an＝，則該數列的前________項之和等于9. 答案：99 解析：由題意知，an＝＝－，所以Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝9，解得n＝99. 5. (必修5P62習題12改編)數列{an}中，an＝(2n－1)3n－1，則數列{an}的前n項和Sn＝______