（江蘇專用）2020版高考數學大一輪復習 第四章 4 第四節(jié) 函數y= Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數模型的簡單應用精練.docx

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第四節(jié)　函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數模型的簡單應用 課時作業(yè)練 1.(2018南京高三學情調研)若函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則f(-π)的值為　　　　. 答案　-1 解析　由圖象可得A=2,14T=3π4,則最小正周期T=3π=2πω,ω=23,又f(π)=2sin23π+φ=2,|φ|<π,則φ=-π6, f(x)=2sin23x-π6,則f(-π)=2sin-23π-π6=-1. 2.(2019江蘇無錫高三模擬)將函數y=sin 2x的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度,若所得圖象過點π3,12,則φ的最小值為　　　　. 答案　π4 解析　函數y=sin 2x的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度,則所得的圖象對應的函數解析式為y=sin[2(x-φ)], ∵所得圖象過點π3,12,∴sin2π3-φ=12,∴2π3-2φ=2kπ+π6(k∈Z)或2π3-2φ=2kπ+5π6(k∈Z),解得φ=-kπ+π4(k∈Z)或φ=-kπ-π12(k∈Z),∵φ>0,∴φ的最小值為π4. 3.(2018揚州高三測試)若將函數f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)的圖象向左平移π12個單位后,所得到的圖象關于原點對稱,則φ=　　　　. 答案　π3 解析　將函數f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)的圖象向左平移π12個單位所得到的f(x)=cos2x+π12+φ=cos2x+π6+φ的圖象關于原點對稱,所以π6+φ=π2+kπ,k∈Z,φ=π3+kπ,k∈Z,又0<φ<π,則k=0,φ=π3. 4.(2018南通高三第一次調研測試)在平面直角坐標系xOy中,將函數y=sin2x+π3的圖象向右平移φ0<φ<π2個單位長度,若平移后的圖象經過坐標原點,則φ的值為　　　　. 答案　π6 解析　函數y=sin2x+π3的圖象向右平移φ0<φ<π2個單位長度得到函數y=sin2(x-φ)+π3的圖象,由平移后的圖象經過原點,得sin-2φ+π3=0,∴-2φ+π3=kπ,k∈Z, ∴φ=-kπ2+π6,k∈Z,又0<φ<π2,∴φ=π6. 5.函數f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2的圖象如圖,則f(x)的單調增區(qū)間為　　　　　　　　　　. 答案　6k-12,6k+52(k∈Z) 解析　由圖象可得f(0)=Asin φ=-3, f(1)=Asin(ω+φ)=0, f(3)=Asin(3ω+φ)=3. 又ω>0,|φ|≤π2, 則ω=π3,φ=-π3,A=2, 故f(x)=2sinπ3x-π3. 當2kπ-π2≤π3x-π3≤2kπ+π2(k∈Z), 即6k-12≤x≤6k+52(k∈Z)時,函數f(x)單調遞增, 即f(x)的單調增區(qū)間是6k-12,6k+52(k∈Z). 6.(2019江蘇連云港模擬)設0<ω<4,函數f(x)=sin(ωx+φ)的圖象向右平移2π3個單位長度所得到的圖象與原圖象重合,向左平移π12個單位長度所得到的圖象關于y軸對稱,則tan(ωφ)的值為　　　　. 答案　-1 解析　函數f(x)=sin(ωx+φ)的圖象向右平移2π3個單位長度,得到函數y=sinωx+φ-2π3ω的圖象,由所得圖象與原圖象重合可得-2π3ω=2kπ(k∈Z),即ω=-3k(k∈Z).又0<ω<4,所以k= -1,ω=3.將函數f(x)=sin(3x+φ)的圖象向左平移π12個單位長度得到函數y=sin3x+φ+π4的圖象,由所得圖象關于y軸對稱可得φ+π4=π2+kπ(k∈Z),所以φ=π4+kπ(k∈Z),則ωφ=3π4+3kπ(k∈Z),所以tan(ωφ)=tan3π4+3kπ=tan3π4=-1. 7.將函數f(x)=2cos 2x的圖象向右平移π6個單位長度后得到函數g(x)的圖象,若函數g(x)在區(qū)間0,a3和2a,7π6上均單調遞增,則實數a的取值范圍是　　　　. 答案　π3,π2 解析　g(x)=2cos 2x-π6=2cos2x-π3,由2kπ-π≤2x-π3≤2kπ(k∈Z)得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),即g(x)的單調增區(qū)間是kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).當k=0時,0,a3?-π3,π6;當k=1時,2a,7π6?2π3,7π6,所以a3≤π6,2a≥2π3,解得π3≤a≤π2. 8.(2018常州教育學會學業(yè)水平檢測)設函數f(x)=sinωx-π6+cos(π-ωx),其中0<ω<3, fπ6=0. (1)求函數f(x)的最小正周期及單調增區(qū)間; (2)將函數f(x)的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向左平移π4個單位,得到函數g(x)的圖象,求g(x)在-π4,3π4上的值域. 解析　(1)f(x)=sinωx-π6+cos(π-ωx)=32sin ωx-12cos ωx-cos ωx=32sin ωx-32cos ωx=3sinωx-π3, ∵fπ6=0,∴ωπ6-π3=kπ,k∈Z,即ω=6k+2,k∈Z. 又0<ω<3,∴ω=2, ∴f(x)的最小正周期T=2πω=π. f(x)=3sin2x-π3,由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z, ∴f(x)的單調增區(qū)間為kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z. (2)由題意得,g(x)=3sinx-π3+π4=3sinx-π12, ∵x∈-π4,3π4,∴x-π12∈-π3,2π3, ∴sinx-π12∈-32,1,∴g(x)∈-32,3, 即g(x)在-π4,3π4上的值域為-32,3. 9.已知函數f(x)=2cos2x+23sin xcos x+a,且當x∈0,π2時, f(x)的最小值為2. (1)求a的值; (2)先將函數y=f(x)的圖象上點的縱坐標不變,橫坐標縮小為原來的12,再將所得的圖象向右平移π12個單位長度,得到函數y=g(x)的圖象,求方程g(x)=4在區(qū)間0,π2上的所有根之和. 解析　(1)f(x)=2cos2x+23sin xcos x+a=cos 2x+3sin 2x+a+1=2sin2x+π6+a+1,所以f(x)=2sin2x+π6+a+1. 因為x∈0,π2, 所以2x+π6∈π6,7π6, 故f(x)min=-1+a+1=2,所以a=2. (2)依題意得g(x)=2sin4x-π6+3. 由g(x)=4得sin4x-π6=12, 所以4x-π6=2kπ+π6或4x-π6=2kπ+5π6(k∈Z), 所以x=kπ2+π12或x=kπ2+π4(k∈Z). 又x∈0,π2, 所以x=π12或x=π4. 故方程g(x)=4在區(qū)間0,π2上的所有根之和為π12+π4=π3. 10.(2019江蘇揚州中學高三模擬)已知函數f(x)=Asinωx+π3(A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示. (1)求A和ω的值; (2)求函數y=f(x)在[0,π]上的單調增區(qū)間; (3)若函數g(x)=f(x)+1在區(qū)間(a,b)上恰有10個零點,求b-a的最大值. 解析　(1)由題圖知A=2,T4=π3-π12=2π4ω,ω=2. (2)由(1)知f(x)=2sin2x+π3,令-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z, 因為x∈[0,π],所以函數y=f(x)在[0,π]上的單調增區(qū)間為0,π12和7π12,π. (3)由題意得f(x)+1=0,即f(x)=2sin2x+π3=-1,解得x=kπ+5π12或x=kπ+3π4(k∈Z), 函數g(x)在每個周期上有兩個零點,所以共有5個周期, 所以b-a的最大值為5T+2π3=17π3. 基礎滾動練 (滾動循環(huán)　夯實基礎) 1.1681-34+log354+log345=　　　　. 答案　278 解析　原式=234-34+log35445 =23-3+log31 =323+0=278. 2.下列函數:(1)y=x3,(2)y=x2,(3)y=1x在(-∞,0)上是增函數的是　　　　.(只填序號) 答案　(1) 解析　函數y=x2,y=1x在(-∞,0)上都是減函數,y=x3在(-∞,0)上是增函數,所以(1)正確. 3.(2018蘇北四市高三測試)若函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象與直線y=m的三個相鄰交點的橫坐標分別是π6,π3,2π3,則實數ω的值為　　　　. 答案　4 解析　由題意可得該函數的最小正周期T=2π3-π6=π2,則ω=2πT=4. 4.已知函數f(x)=a-22x+1是奇函數,則實數a的值為　　　　. 答案　1 解析　因為x=0在定義域中,所以f(0)=a-21+1=0,解得a=1. 5.函數f(x)=12x2-ln x的單調遞減區(qū)間為　　　　. 答案　(0,1] 解析　函數f(x)的定義域是(0,+∞),且f (x)=x-1x=x2-1x,令f (x)≤0,解得012且k<1. 8.(2019江蘇無錫模擬)已知函數f(x)=ax3-(a+2)x2(a為實數). (1)若函數f(x)在x=1處的切線與直線x+y+6=0平行,求實數a的值; (2)若a=1,求函數f(x)在區(qū)間[1,3]上的值域; (3)若函數f(x)在區(qū)間[1,3]上是增函數,求a的取值范圍. 解析　(1)f (x)=3ax2-2(a+2)x,且f (1)=3a-2(a+2)=-1,解得a=3. (2)a=1時, f(x)=x3-3x2, f (x)=3x2-6x,令f (x)=0,解得x=0或x=2, x [1,2) 2 (2,3] f (x) - 0 + f(x) 減函數 極小值 增函數 又f(1)=-2, f(2)=-4, f(3)=0,所以f(x)在[1,3]上的值域為[-4,0]. (3)f (x)=3ax2-2(a+2)x,由f(x)在區(qū)間[1,3]上是增函數, 得f (x)=3ax2-2(a+2)x≥0對任意的1≤x≤3恒成立,所以a(3x-2)≥4在x∈[1,3]上恒成立, 因為3x-2>0,所以a≥43x-2在x∈[1,3]上恒成立,記g(x)=43x-2,則a≥g(x)max, 而函數g(x)在[1,3]上為減函數,則g(x)max=g(1)=4,所以a≥4,所以a的取值范圍是[4,+∞).