2019年高考數(shù)學總復習 專題4.5 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 導學案 理.doc

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第五節(jié)　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 最新考綱 1.會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式．　 2.會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式．　 3.會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系．　 4.能利用上述公式進行簡單的恒等變換 知識梳理 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(αβ)＝sin_αcos_βcos_αsin_β； (2)cos(αβ)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； (3)tan(αβ)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 3.必會結論 （1）降冪公式：cos2α＝，sin2α＝. （2）升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. （3）公式變形：tanαtanβ＝tan(αβ)(1?tanαtanβ)． （4）輔助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)， 其中sinφ＝，cosφ＝ . （5）sin 15＝，cos 15＝，tan 15＝2－. (6)公式的逆用： ①1sin 2α＝(sin αcos α)2； ②sin αcos α＝sin. 典型例題 考點一　給角求值問題(三角函數(shù)式的化簡、求值) 【例1】化簡求值： （1）sin 20cos 10－cos 160sin 10 （2) （3）sin 50(1＋tan 10). 【答案】（1）．（2）.(3)1． 【解析】（1）sin 20cos 10－cos 160sin 10＝sin 20cos 10＋cos 20sin 10＝sin(20＋10)＝sin 30＝． （2）＝＝＝＝. (3)sin 50(1＋tan 10)＝sin 50(1＋tan 60tan 10) ＝sin 50 ＝sin 50＝＝＝＝1． 規(guī)律方法 “給角求值”中一般所給出的角都是非特殊角，應仔細觀察非特殊角與特殊角之間的關系，結合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉化為特殊角的三角函數(shù)求解． 【變式訓練1】化簡求值： (1) （2） (3) 　4cos 50－tan 40 【答案】（1）.(2).(3). 【解析】（1）法一：原式＝＝＝tan 30＝. 法二：原式＝＝＝＝. 法三：∵2＝＝. 又＞0，∴＝. (2)原式＝＝ ＝＝. (3)　4cos 50－tan 40＝4cos 50－＝－ ＝＝＝ ＝＝ ＝＝. 所以f(x)的對稱中心為(k∈Z)． (2) 因為x∈，所以－≤2x＋≤.所以－≤sin≤1， 所以－1≤f(x)≤2.所以當x＝－時，f(x)的最小值為－1； 當x＝時，f(x)的最大值為2. 規(guī)律方法 （1）進行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆用和變形使用． （2）把形如y＝asin x＋bcos x的函數(shù)化為y＝sin(x＋φ)的形式，可進一步研究函數(shù)的周期、單調性、最值與對稱性． 【變式訓練4】已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin(ω＞0)的最小正周期為.（1）寫出函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； （2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍． 【答案】(1) (k∈Z)．(2) . 【解析】(1) f(x)＝＋sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝sin＋.因為T＝，所以＝(ω＞0)，所以ω＝2，f(x)＝sin＋. 于是由2kπ－≤4x－≤2kπ＋，解得－≤x≤＋(k∈Z)． 所以f(x)的增區(qū)間為(k∈Z)． (2) 因為x∈，所以4x－∈，所以sin∈， 所以f(x)∈.故f(x)在區(qū)間上的取值范圍是. 課堂總結 1．轉化思想是實施三角變換的主導思想，變換包括：函數(shù)名稱變換，角的變換，“1”的變換，和積變換． 2．變換則必須熟悉公式．分清和掌握哪些公式會實現(xiàn)哪種變換，也要掌握各個公式的相互聯(lián)系和適用條件． 3．恒等變形前需已知式中角的差異，函數(shù)名稱的差異，運算結構的差異，尋求聯(lián)系，實現(xiàn)轉化． 4．基本技巧：切割化弦，異名化同，異角化同或盡量減少名稱、角數(shù)． 課后作業(yè) 1． sin 34sin 26－cos 34cos 26的值是(　　) A．　　　 B．　　　　C．－　　　 D．－ 【答案】C. 【解析】　sin 34sin 26－cos 34cos 26 ＝－(cos 34cos 26－sin 34sin 26)＝－cos (34＋26)＝－cos 60＝－. 2．tan 20＋tan 40＋tan 20tan 40＝ . 【答案】. 【解析】　∵tan (20＋40)＝，∴－tan 20tan 40＝tan 20＋tan 40，即tan 20＋tan 40＋tan 20tan 40＝. 3．[2017全國卷Ⅲ]已知sinα－cosα＝，則sin2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【答案】A. 【解析】　∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，∴sin 2α＝－.故選A． 4．函數(shù) f(x)＝sin x＋cos x的最小值為________． 【答案】-2. 【解析】函數(shù)f(x)＝2sin的最小值是－2. 5．若銳角α，β滿足tan α＋tan β＝－tan αtan β，則α＋β＝________. 【答案】. 【解析】　由已知可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 6.已知sin＝，－＜α＜0，則cos的值是(　　) A. B. C．－ D．1 【答案】　C 【解析】　由已知得cosα＝，sinα＝－，cos＝cosα＋sinα＝－. 7．[2017江蘇高考]若tan＝，則tanα＝________. 【答案】　 8．[2017全國卷Ⅱ]函數(shù)f(x)＝2cosx＋sinx的最大值為________． 【答案】　 【解析】　f(x)＝2cosx＋sinx＝， 設sinα＝，cosα＝，則f(x)＝sin(x＋α)， ∴函數(shù)f(x)＝2cosx＋sinx的最大值為. 9．[2018武漢模擬]計算tan15＋的值為(　　) A. B．2 C．4 D．2 【答案】　C 【解析】　tan15＋＝＋＝＝＝4. 10．[2018重慶質檢]計算sin20cos110＋cos160sin70的值為(　　) A．0 B．1 C．－1 D. 【答案】　C 【解析】　原式＝sin20cos(180－70)＋cos(180－20)sin70＝－sin20cos70－cos20sin70＝－(sin20cos70＋cos20sin70)＝－sin90＝－1.故選C. 11．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，則C等于(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【解析】　由已知得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)， ∴＝－，即tan(A＋B)＝－. 又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，0＜C＜π，∴C＝. 12. [2016全國卷Ⅱ]若cos＝，則sin2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 【答案】　D 【解析】法一：sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝22－1＝－.故選D. 法二：cos＝(cosα＋sinα)＝?cosα＋sinα＝?1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.故選D. 13. [2017全國卷Ⅰ]已知α∈，tanα＝2，則cos＝________. 【答案】　 【解析】　cos＝cosαcos＋sinαsin＝(cosα＋sinα)． 又由α∈，tanα＝2，知sinα＝，cosα＝， ∴cos＝＝. 14．已知f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos的值． 【答案】　(1) f(x)max＝2，f(x)min＝－1.(2)－. 15. [2017北京高考]已知函數(shù)f(x)＝cos－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求證：當x∈時，f(x)≥－. 【答案】　(1) π.(2)略. 【解析】(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)證明：因為－≤x≤，所以－≤2x＋≤， 所以sin≥sin＝－， 所以當x∈時，f(x)≥－. 16．已知函數(shù)f(x)＝2sinxsin. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間； (2)當x∈時，求函數(shù)f(x)的值域． 【答案】　(1) π，，k∈Z.(2). 【解析】(1)f(x)＝2sinx＝＋sin2x＝sin＋.所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是，k∈Z. (2)當x∈時，2x－∈，sin∈，f(x)∈.故f(x)的值域為.