2019高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓(xùn)4 數(shù)列求和與綜合問題 文.doc

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專題限時集訓(xùn)(四)　數(shù)列求和與綜合問題 (建議用時：60分鐘) 一、選擇題 1．(2018昆明模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2，則a3＋a8的值是(　　) A．200　　　B．100　　　C．20　　　D．10 C　[當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，所以an＝2n－1，所以a3＋a8＝5＋15＝20，故選C.] 2.＋＋＋…＋的值為(　　) A. B.－ C.－ D.－＋ C　[∵＝＝＝－，∴＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝＝－.] 3．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 018＝(　　) A．－1 B. C．1 D．2 D　[由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…因此數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，a2 018＝a3672＋2＝a2＝2，故選D.] 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，a2＝2，且對于任意n＞1，n∈N*，滿足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，則S10＝(　　) A．91 B．90 C．55 D．54 A　[由Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2， 即an＋1－an＝2(n≥2)，又a2－a1＝1， 因此數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，是公差為2的等差數(shù)列， 則S10＝a1＋(a2＋a3＋…＋a10)＝1＋92＋2＝91.] 5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[法一：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1，由公式Sn＝na1＋d＝na1＋， 得 由①得a1＝，代入②可得m＝5. 法二：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn， ∴數(shù)列也為等差數(shù)列． ∴＋＝，即＋＝0，解得m＝5.經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解．故選C.] 6．(2018廈門模擬)已知函數(shù)f(n)＝，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a2 018等于(　　) A．－2 017 B．－2 018 C．2 017 D．2 018 D　[當(dāng)n為奇數(shù)時，an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，當(dāng)n為偶數(shù)時，an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，所以a1＝－3，a2＝5，a3＝－7，a4＝9…，故a1＋a2＝2，a3＋a4＝2…，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝2＝2 018，故選D.] 7．(2018河南百校聯(lián)盟模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，bn＝，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則S33的值是(　　) A. B. C．4 D．3 D　[∵2a＝a＋a(n≥2)，∴數(shù)列{a}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為22－1＝3. ∴a＝1＋3(n－1)＝3n－2，∵an＞0，∴an＝， ∴bn＝＝＝(－)，故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝ ＝(－1)，則S33＝(－1)＝3.故選D.] 8．(2018南陽模擬)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則使Tn＞100成立的最小正整數(shù)n為(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 C　[因?yàn)椋剑?，所以an＝2＝，該數(shù)列的前n項(xiàng)積為Tn＝2n＝，由題意知＜100，＜100，＞100，使Tn＞100成立的最小正整數(shù)n為11，故選C.] 二、填空題 9．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn＋2＝3an(n∈N*)，則an＝________. 23n－1(n∈N*)　[因?yàn)?Sn＋2＝3an，① 所以2Sn＋1＋2＝3an＋1，② 由②－①，得2Sn＋1－2Sn＝3an＋1－3an， 所以2an＋1＝3an＋1－3an，即＝3. 當(dāng)n＝1時，2＋2S1＝3a1，所以a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列， 所以an＝23n－1(n∈N*)．] 10．(2018晉城模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且Sn＋1＋Sn＝2an＋1，且a1＝1，則an＝________. an＝　[因?yàn)镾n＋1＋Sn＝2an＋1，①，所以Sn＋Sn－1＝2an，②，①－②得an＋1＋an＝2an＋1－2an，(n≥2)，即＝3，當(dāng)n＝1時，(a1＋a2)＋a1＝2a2.解得a2＝2，∴an＝] 11．已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－2n，則Sn＝________. n2n(n∈N*)　[由Sn＝2an－2n得當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝2；當(dāng)n≥2時，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則＝n，Sn＝n2n(n≥2)，當(dāng)n＝1時，也符合上式，所以Sn＝n2n(n∈N*)．] 12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為________． 　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為＋＋…＋＝＝.] 三、解答題 13．(2016全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. [解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 由題意有解得 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知，bn＝. 當(dāng)n＝1,2,3時，1≤＜2，bn＝1； 當(dāng)n＝4,5時，2≤＜3，bn＝2； 當(dāng)n＝6,7,8時，3≤＜4，bn＝3； 當(dāng)n＝9,10時，4≤＜5，bn＝4. 所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為13＋22＋33＋42＝24. 14．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比數(shù)列， (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：≤Tn＜. [解]　(1)由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)得S5＝5a3， ∴a3＝14， 又a2，a7, a22成等比數(shù)列，所以a＝a2a22. 所以(a1＋6d)2＝(a1＋d)(a1＋21d)且d≠0， 解得a1＝d，∴a1＝6，d＝4. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n＋2，n∈N*. (2)由(1)得Sn＝＝2n2＋4n，＝＝， ∴Tn＝ ＝－. 又Tn≥T1＝－＝， 所以≤Tn＜.