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雙曲線(xiàn)
一、選擇題(本大題共12小題,共60分)
1. 已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線(xiàn),且該雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是( )
A. (-1,3) B. (-1,3) C. (0,3) D. (0,3)
(正確答案)A
解:∵雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)間的距離為4,∴c=2,
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),
可得:4=(m2+n)+(3m2-n),解得:m2=1,
∵方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線(xiàn),
∴(m2+n)(3m2-n)>0,可得:(n+1)(3-n)>0,
解得:-1
0,從而可求n的取值范圍.
本題主要考查了雙曲線(xiàn)方程的應(yīng)用,考查了不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.
2. 若雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 233
(正確答案)A
解:雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)不妨設(shè)為:bx+ay=0,
圓(x-2)2+y2=4的圓心(2,0),半徑為:2,
雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,
可得圓心到直線(xiàn)的距離為:22-12=3=|2b|a2+b2,
解得:4c2-4a2c2=3,可得e2=4,即e=2.
故選:A.
通過(guò)圓的圓心與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離,列出關(guān)系式,然后求解雙曲線(xiàn)的離心率即可.
本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,圓的方程的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
3. 已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)方程為y=52x,且與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為( )
A. x28-y210=1 B. x24-y25=1 C. x25-y24=1 D. x24-y23=1
(正確答案)B
【分析】
本題考查橢圓與雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,雙曲線(xiàn)方程的求法,考查計(jì)算能力.
根據(jù)橢圓x212+y23=1得c=3,根據(jù)漸近線(xiàn)方程為y=52x,ba=52,結(jié)合c2=a2+b2,求得a,b,即可得到C的方程。
【解答】
解:橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)(3,0),則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),可得c=3,
雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)方程為y=52x,
可得ba=52,即c2-a2a2=54,可得ca=32,解得a=2,b=5,
所求的雙曲線(xiàn)方程為:x24-y25=1.
故選B.
4. 已知雙曲線(xiàn)x2a2-y25=1的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y2=12x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于( )
A. 5 B. 3 C. 5 D. 42
(正確答案)A
解:∵拋物線(xiàn)y2=12x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),
依題意,5+a2=9,
∴a2=4.
∴雙曲線(xiàn)的方程為:x24-y25=1,
∴其漸近線(xiàn)方程為:y=52x,
∴雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)F(3,0)到其漸近線(xiàn)的距離等于d=|53-0|5+4=5.
故選A.
由雙曲線(xiàn)x2a2-y25=1的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y2=12x的焦點(diǎn)重合,先求出a2,再求出雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線(xiàn)方程,由此能求出結(jié)果.
本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),求得a2的值是關(guān)鍵,考查點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離公式,屬于中檔題.
5. 雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩頂點(diǎn)為A1,A2,虛軸兩端點(diǎn)為B1,B2,兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,則雙曲線(xiàn)的離心率是( )
A. 5-1 B. 3+52 C. 5+12 D. 3+1
(正確答案)C
解:由題意可得A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b),
F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
且a2+b2=c2,菱形F1B1F2B2的邊長(zhǎng)為b2+c2,
由以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,切點(diǎn)分別為A,B,C,D.
由面積相等,可得12?2b?2c=12a?4b2+c2,
即為b2c2=a2(b2+c2),
即有c4+a4-3a2c2=0,
由e=ca,可得e4-3e2+1=0,
解得e2=352,
可得e=1+52,或e=5-12(舍去).
故選:A.
由題意可得頂點(diǎn)和虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)及焦點(diǎn)坐標(biāo),求得菱形的邊長(zhǎng),運(yùn)用等積法可得12?2b?2c=12a?4b2+c2,再由a,b,c的關(guān)系和離心率公式,計(jì)算即可得到所求值.
本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法,注意運(yùn)用圓內(nèi)切等積法,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
6. 已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=34x,且其右焦點(diǎn)為(5,0),則雙曲線(xiàn)C的方程為( )
A. x29-y216=1 B. x216-y29=1 C. x23-y24=1 D. x24-y23=1
(正確答案)B
解:雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=34x,
可得ba=34;其右焦點(diǎn)為(5,0),可得c=5,又c2=a2+b2,
解得a=4,b=3,
則雙曲線(xiàn)C的方程為:x216-y29=1.
故選:B.
利用已知條件列出方程,求解即可.
本題考查雙曲線(xiàn)方程的求法,雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.
7. 已知F1,F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)E:x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=13,則E的離心率為( )
A. 2 B. 32 C. 3 D. 2
(正確答案)A
解:設(shè)|MF1|=x,則|MF2|=2a+x,
∵M(jìn)F1與x軸垂直,
∴(2a+x)2=x2+4c2,
∴x=b2a
∵sin∠MF2F1=13,
∴3x=2a+x,
∴x=a,
∴b2a=a,
∴a=b,
∴c=2a,
∴e=ca=2.
故選:A.
設(shè)|MF1|=x,則|MF2|=2a+x,利用勾股定理,求出x=b2a,利用sin∠MF2F1=13,求得x=a,可得b2a=a,求出a=b,即可得出結(jié)論.
本題考查雙曲線(xiàn)的定義與方程,考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,比較基礎(chǔ).
8. 已知F1,F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=13,則E的離心率為( )
A. 2 B. 32 C. 3 D. 2
(正確答案)D
【分析】
根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義,結(jié)合直角三角形的勾股定理建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.本題主要考查雙曲線(xiàn)離心率的計(jì)算,根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義結(jié)合直角三角形的勾股定理,結(jié)合雙曲線(xiàn)離心率的定義是解決本題的關(guān)鍵.
【解答】解:∵M(jìn)F1與x軸垂直,sin∠MF2F1=13,
∴設(shè)MF1=m,則MF2=3m,
由雙曲線(xiàn)的定義得3m-m=2a,即m=a,
在直角三角形MF2F1中,9m2-m2=4c2,即2m2=c2,
即2a2=c2,
則e=2,
故選D.
9. 設(shè)雙曲線(xiàn)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的離心率是3,則其漸近線(xiàn)的方程為( )
A. x22y=0 B. 22xy=0 C. x8y=0 D. 8xy=0
(正確答案)A
解:雙曲線(xiàn)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的離心率是3,
可得ca=3,則ab=122.
雙曲線(xiàn)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的離心率是3,則其漸近線(xiàn)的方程為:x22y=0.
故選:A.
利用雙曲線(xiàn)的離心率,這求出a,b的關(guān)系式,然后求漸近線(xiàn)方程.
本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
10. 已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),P是雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn),且|PF2|=|F1F2|.若直線(xiàn)PF1與圓x2+y2=a2相切,則雙曲線(xiàn)的離心率為( )
A. 43 B. 53 C. 2 D. 3
(正確答案)B
解:解:設(shè)PF1與圓相切于點(diǎn)M,
因?yàn)閨PF2|=|F1F2|,所以△PF1F2為等腰三角形,N為PF1的中點(diǎn),
所以|F1M|=14|PF1|,
又因?yàn)樵谥苯恰鱂1MO中,|F1M|2=|F1O|2-a2=c2-a2,所以|F1M|=b=14|PF1|①
又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a ②,
c2=a2+b2 ③
由①②③可得c2-a2=(c+a2)2,
即為4(c-a)=c+a,即3c=5a,
解得e=ca=53.
故選:B.
先設(shè)PF1與圓相切于點(diǎn)M,利用|PF2|=|F1F2|,及直線(xiàn)PF1與圓x2+y2=a2相切,可得幾何量之間的關(guān)系,從而可求雙曲線(xiàn)的離心率的值.
本題考查直線(xiàn)與圓相切,考查雙曲線(xiàn)的定義,考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),注意運(yùn)用平面幾何的性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
11. 已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),且其準(zhǔn)線(xiàn)被該雙曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)是23b,則該雙曲線(xiàn)的離心率為( )
A. 139 B. 109 C. 133 D. 103
(正確答案)D
解:由題意可知:拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F(c,0),準(zhǔn)線(xiàn)x=-c,
將x=-c代入雙曲線(xiàn)方程,解得:y=b2a,
則準(zhǔn)線(xiàn)被該雙曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為2b2a,
∴2b2a=23b,a=3b,
雙曲線(xiàn)的離心率e=ca=1+b2a2=103,
則雙曲線(xiàn)的離心率e=103,
故選D.
由題意可知:拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F(c,0),準(zhǔn)線(xiàn)x=-c,將x=-c代入雙曲線(xiàn)方程,解得:y=b2a,即可求得2b2a=23b,a=3b,利用雙曲線(xiàn)的離心率公式,即可求得雙曲線(xiàn)的離心率.
本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),主要是離心率公式,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
12. 設(shè)雙曲線(xiàn)x2m+y2n=1的離心率為233,且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)x2=8y的焦點(diǎn)相同,則此雙曲線(xiàn)的方程是( )
A. y23-x2=1 B. x24-y212=1 C. y2-x23=1 D. x212-y24=1
(正確答案)A
解:根據(jù)題意,拋物線(xiàn)的方程為x2=8y,則其焦點(diǎn)為(0,2),
又由雙曲線(xiàn)x2m+y2n=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)x2=8y的焦點(diǎn)相同,
則有m<0而n>0,且c=2;
雙曲線(xiàn)x2m+y2n=1的離心率為233,則有e=ca=2n=233,
解可得n=3,
又由c2=n+(-m)=4;
則m=-1;
故雙曲線(xiàn)的方程為:y23-x2=1;
故選:A.
根據(jù)題意,由拋物線(xiàn)的方程計(jì)算可得其焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合題意可得雙曲線(xiàn)x2m+y2n=1中有c=2,結(jié)合離心率公式可得e=ca=2n=233,解可得n的值,由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)計(jì)算可得m的值,將m、n的值代入雙曲線(xiàn)的方程即可得答案.
本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),注意分析雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的位置.
二、填空題(本大題共4小題,共20分)
13. 已知雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60°,則C的離心率為_(kāi)_____ .
(正確答案)233
解:雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A(a,0),
以A為圓心,b為半徑做圓A,圓A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn).
若∠MAN=60°,可得A到漸近線(xiàn)bx+ay=0的距離為:bcos30°=32b,
可得:|ab|a2+b2=32b,即ac=32,可得離心率為:e=233.
故答案為:233.
利用已知條件,轉(zhuǎn)化求解A到漸近線(xiàn)的距離,推出a,c的關(guān)系,然后求解雙曲線(xiàn)的離心率即可.
本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
14. 雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)與圓(x-2)2+y2=1相切,則此雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.
(正確答案)2
【分析】
本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程,利用漸近線(xiàn)與圓相切,得到a、b關(guān)系,然后求解雙曲線(xiàn)的離心率.
【解答】
解:由題意可知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程之一為:bx+ay=0,
圓(x-2)2+y2=1的圓心(2,0),半徑為1,
雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)與圓(x-2)2+y2=1相切,
可得:2bb2+a2=1,
可得a2=b2,c=2a,
∴e=2.
故答案為2.
15. 雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1的右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離是其到左頂點(diǎn)距離的一半,則雙曲線(xiàn)的離心率e=______.
(正確答案)53
解:雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1的右焦點(diǎn)為(c,0),左頂點(diǎn)為(-a,0),
右焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)bx-ay=0的距離為:|bc|a2+b2=bcc=b,
右焦點(diǎn)(c,0)到左頂點(diǎn)為(-a,0)的距離為:a+c,
由題意可得,b=12(a+c),
即有4b2=a2+c2+2ac,即4(c2-a2)=a2+c2+2ac,
即3c2-5a2-2ac=0,
由e=ca,則有3e2-2e-5=0,
解得,e=53.
故答案為:53.
求出雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)以及右焦點(diǎn),以及漸近線(xiàn)方程,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,列出a、b、c關(guān)系式,然后由離心率公式即可計(jì)算得到.
本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
16. 已知雙曲線(xiàn)x2m+2-y2m+1=1的離心率為72,則m=______.
(正確答案)2或-5
解:雙曲線(xiàn)x2m+2-y2m+1=1,
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí),a2=m+2,b2=m+1,
可得c2=a2+b2=3+2m,
∵雙曲線(xiàn)x2m+2-y2m+1=1的離心率為72,
∴ca=72,
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí),a2=-m-1,b2=-m-2,
可得c2=a2+b2=-3-2m,
∵雙曲線(xiàn)x2m+2-y2m+1=1的離心率為72,
∴ca=72,
可得-3-2m-1-m=74,即12+8m=7m+7,可得m=-5.
故答案為:2或-5.
直接利用雙曲線(xiàn)的方程,求出a,b,c利用離心率求解即可.
本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
三、解答題(本大題共3小題,共30分)
17. 已知雙曲線(xiàn)C:x2-y2=1及直線(xiàn)l:y=kx+1.
(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若l與C交于A,B兩點(diǎn),且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,求AB的長(zhǎng).
(正確答案)解:(1)雙曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
則方程組y=kx+1x2-y2=1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,(1分)
整理得(1-k2)x2-2kx-2=0.(2分)
∴△=4k2+8(1-k2)>01-k2≠0,解得-20,b>0),半焦距為c,
則c=2,2a=||PF1|-|PF2||=|92+122-52+122|=2,a=1,
所以b2=c2-a2=3,
故雙曲線(xiàn)C的方程為x2-y23=1.
雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=3x.
(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+t,將其代入方程x2-y23=1,
可得2x2-2tx-t2-3=0(*)
△=4t2+8(t2+3)=12t2+24>0,若設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1,x2是方程(*)的兩個(gè)根,所以x1+x2=t,x1x2=-t2+32,
又由OA⊥OB,可知x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0,可得2x1x2+t(x1+x2)+t2=0,
故-(t2+3)+t2+t2=0,解得t=3,
所以直線(xiàn)l方程為y=x3.
(1)設(shè)出雙曲線(xiàn)C方程,利用已知條件求出c,a,解得b,即可求出雙曲線(xiàn)方程與漸近線(xiàn)的方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+t,將其代入方程x2-y23=1,通過(guò)△>0,求出t的范圍,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),利用韋達(dá)定理,通過(guò)x1x2+y1y2=0,求解t即可得到直線(xiàn)方程.
本題考查雙曲線(xiàn)的方程的求法,雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
19. 雙曲線(xiàn)與橢圓x227+y236=1有相同焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(15,4),求其方程.
(正確答案)解:橢圓y236+x227=1的焦點(diǎn)為(0,3),c=3,
設(shè)雙曲線(xiàn)方程為y2a2-x29-a2=1,
∵過(guò)點(diǎn)(15,4),則16a2-159-a2=1,
得a2=4或36,而a2<9,∴a2=4,
雙曲線(xiàn)方程為y24-x25=1.
根據(jù)已知中雙曲線(xiàn)與橢圓x227+y236=1有相同焦點(diǎn),我們可以設(shè)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(含參數(shù)a),然后根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(15,4),得到一個(gè)關(guān)于a的方程,解方程,即可得到a2的值,進(jìn)而得到雙曲線(xiàn)的方程.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,其中根據(jù)已知條件設(shè)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(含參數(shù)a),并構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的方程,是解答本題的關(guān)鍵.
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