2018-2019學年高中物理第1章機械振動第3講單擺學案魯科版選修3 .docx

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第3講　單　擺 [目標定位]　1.知道什么是單擺.2.理解偏角很小時單擺的振動是簡諧運動.3.知道單擺的周期跟什么因素有關(guān)，了解單擺的周期公式并能用它進行計算.4.會用單擺測定重力加速度． 一、單擺的運動 1．單擺：把一根細線上端固定，下端拴一個小球，線的質(zhì)量和球的大小可以忽略不計，這種裝置叫做單擺．單擺是一種理想模型． 2．單擺的回復力：在擺角很小的情況下，單擺所受回復力的大小與擺球位移的大小成正比，方向與擺球位移的方向相反．因此，在擺角很小的條件下，單擺的振動可近似看成簡諧運動． 想一想　單擺的回復力是否就是單擺所受的合外力？ 答案　不是．單擺的運動可看作是變速圓周運動，其重力可分解為沿懸線方向的分力和沿圓弧切線方向的分力，重力沿圓弧切線方向的分力是使擺球沿圓弧振動的回復力． 二、單擺的周期 1．單擺周期公式：T＝2π 即單擺的振動周期T與擺長l的算術(shù)平方根成正比，與重力加速度g的算術(shù)平方根成反比． 單擺周期公式是荷蘭物理學家惠更斯首先提出的． 2．單擺的振動周期由單擺振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)(擺長和當?shù)氐闹亓铀俣?決定，與擺球的質(zhì)量及單擺的振幅無關(guān)． 三、利用單擺測定重力加速度 原理：由單擺的振動周期公式可得g＝.精確地測出單擺的擺長和振動周期，就可以計算出當?shù)氐闹亓? 一、單擺及單擺的回復力 1．單擺 (1)單擺是實際擺的理想化模型 (2)實際擺看作單擺的條件 ①擺線的形變量與擺線長度相比小得多 ②懸線的質(zhì)量與擺球質(zhì)量相比小得多 ③擺球的直徑與擺線長度相比小得多 2．單擺的回復力 (1)單擺的回復力是由重力沿圓弧切向的分力F＝mgsinθ提供的． 圖1 (2)如圖1所示，在最大偏角很小的條件下，sinθ≈，其中x為擺球?qū)ζ胶馕恢肙點的位移． 單擺的回復力F＝－mgsinθ＝－x，令k＝，則F＝－kx.由此可見，單擺在偏角很小的條件下的振動為簡諧運動． 注意：(1)單擺經(jīng)過平衡位置時，回復力為零，但合外力不為零． (2)單擺的回復力為小球受到的重力沿切線方向的分力，而不是小球受到的合外力． 例1　對于單擺的振動，以下說法中正確的是(　　) A．單擺振動時，擺球受到的向心力大小處處相等 B．單擺運動的回復力就是擺球受到的合力 C．擺球經(jīng)過平衡位置時所受回復力為零 D．擺球經(jīng)過平衡位置時所受合外力為零 解析　單擺振動過程中受到重力和細線拉力的作用，把重力沿切向和徑向分解，其切向分力提供回復力，細線拉力與重力的徑向分力的合力提供向心力，向心力大小為，可見最大偏角處向心力為零，平衡位置處向心力最大，而回復力在最大偏角處最大，平衡位置處為零．故應選C. 答案　C 借題發(fā)揮　單擺振動的回復力是重力在切線方向的分力，或者說是擺球所受合外力在切線方向的分力．擺球所受的合外力在擺線方向的分力作為擺球做圓周運動的向心力，所以并不是合外力完全用來提供回復力．因此擺球經(jīng)過平衡位置時，只是回復力為零，而不是合外力為零(此時合外力提供擺球做圓周運動的向心力)． 二、單擺的周期 1．伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運動的等時性，惠更斯得出了單擺的周期公式并發(fā)明了擺鐘． 2．單擺的周期公式：T＝2π. 3．對周期公式的理解 (1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時成立(θ≤5)． (2)公式中l(wèi)是擺長，即懸點到擺球球心的距離l＝l線＋r球． (3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定． (4)周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)．所以單擺的周期也叫固有周期． 例2　若單擺的擺長不變，擺球的質(zhì)量由20g增加為40g，擺球離開平衡位置的最大角度由4減為2，則單擺振動的(　　) A．頻率不變，振幅不變B．頻率不變，振幅改變 C．頻率改變，振幅不變D．頻率改變，振幅改變 解析　單擺的擺長不變時，單擺振動的周期T＝2π不變，頻率f＝不變；擺長不變時，擺角越小，振幅越小，選項B正確． 答案　B 三、用單擺測定重力加速度 1．實驗原理 單擺在偏角很小(≤5)時的運動，可看成簡諧運動，其固有周期T＝2π，可得g＝.據(jù)此，通過實驗測出擺長l和周期T，即可計算得到當?shù)氐闹亓铀俣戎担? 2．實驗器材 鐵架臺及鐵夾、金屬小球(上面有一個通過球心的小孔)、秒表、細線(長1m左右)、刻度尺(最小刻度為1mm)、游標卡尺． 3．實驗步驟 (1)用游標卡尺測小球的直徑d，在不同的位置測三次，取平均值． (2)讓細線穿過球上的小孔，在細線的一端打一個比孔稍大一些的線結(jié)，制成一個單擺． (3)把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂． (4)用刻度尺測量單擺的擺線的長度L(擺球靜止時從懸點到球的上端面間的距離)則擺長l＝L＋. (5)把此單擺從平衡位置拉開一個角度，并使這個角小于等于5，再釋放小球．當擺球擺動穩(wěn)定以后，過最低點位置時，用秒表開始計時，測量單擺全振動30次(或50次)的時間，求出一次全振動的時間，即單擺的振動周期． (6)改變擺長，反復測量幾次，將數(shù)據(jù)填入表格． 4．數(shù)據(jù)處理 (1)公式法：每改變一次擺長，將相應的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． 圖2 (2)圖象法：由T＝2π得T2＝l作出T2l圖象，即以T2為縱軸，以l為橫軸．如圖2所示．其斜率k＝，由圖象的斜率即可求出重力加速度g. 注意：(1)選擇材料時應選擇細而不易伸長的線，長度一般為1m左右．小球應選用質(zhì)量大、體積小的金屬球． (2)擺動時控制擺線偏離豎直方向的角度應很小(θ≤5)． (3)擺球擺動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺． (4)計算單擺的振動次數(shù)時，應以擺球通過最低點位置時開始計時，以擺球從同一方向通過最低點時計數(shù)，要多測幾次(如30次或50次)全振動的時間，并用取平均值的辦法求周期． 例3　甲、乙兩個學習小組分別利用單擺測量重力加速度． (1)甲組同學采用如圖3甲所示的實驗裝置． 圖3 ①為比較準確地測量出當?shù)刂亓铀俣鹊臄?shù)值，除秒表外，在下列器材中，還應該選用________；(用器材前的字母表示) a．長度接近1m的細繩 b．長度為30cm左右的細繩 c．直徑為1.8cm的塑料球 d．直徑為1.8cm的鐵球 e．最小刻度為1cm的米尺 f．最小刻度為1mm的米尺 ②該組同學先測出懸點到小球球心的距離L，然后用秒表測出單擺完成n次全振動所用的時間t.請寫出重力加速度的表達式g＝________.(用所測物理量表示) ③在測量擺長后，測量周期時，擺球振動過程中懸點O處擺線的固定出現(xiàn)松動，擺長略微變長，這將會導致所測重力加速度的數(shù)值________．(選填“偏大”、“偏小”或“不變”) (2)乙組同學在圖甲所示裝置的基礎(chǔ)上再增加一個速度傳感器，如圖乙所示．將擺球拉開一小角度使其做簡諧運動，速度傳感器記錄了擺球振動過程中速度隨時間變化的關(guān)系，如圖丙所示的vt圖線． ①由圖丙可知，該單擺的周期T＝________s； ②更換擺線長度后，多次測量，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，利用計算機作出T2L(周期平方擺長)圖線，并根據(jù)圖線擬合得到方程T2＝4.04L.由此可以得出當?shù)氐闹亓铀俣萭＝________m/s2.(取π2＝9.86，結(jié)果保留3位有效數(shù)字) 解析　(1)①根據(jù)T＝2π得g＝，知需要測量擺長，即擺線長和小球的直徑，擺線應選1m左右的不可伸長的線，小球應選用質(zhì)量大、體積小的金屬球，測量擺線長的米尺的最小刻度應為1mm，故選adf. ②因為T＝，則g＝＝ ③擺長略微變長，則擺長的測量值偏小，則導致測得的重力加速度偏?。? (2)①由vt圖線可知，單擺的周期T＝2.0s ②由T＝2π，得T2＝L 即圖線的斜率k＝＝4.04 解得g≈9.76m/s2 答案　(1)①adf?、凇、燮? (2)①2.0?、?.76 單擺及其回復力 1．單擺振動的回復力是(　　) A．擺球所受的重力 B．擺球重力在垂直懸線方向上的分力 C．懸線對擺球的拉力 D．擺球所受重力和懸線對擺球拉力的合力 解析　擺球振動的回復力是其重力沿切線方向的分力，即擺球重力在垂直于懸線方向上的分力，B正確． 答案　B 單擺的周期公式 2．單擺原來的周期為T，下列哪種情況會使單擺周期發(fā)生變化(　　) A．擺長減為原來的 B．擺球的質(zhì)量減為原來的 C．振幅減為原來的 D．重力加速度減為原來的 解析　由單擺周期公式T＝2π可知周期僅與擺長、重力加速度有關(guān)，與擺球的質(zhì)量及振幅無關(guān)，故A、D對． 答案　AD 圖4 3．圖4為甲、乙兩單擺的振動圖象，則(　　) A．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比l甲∶l乙＝2∶1 B．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比l甲∶l乙＝4∶1 C．若甲、乙兩擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1 D．若甲、乙兩擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4 解析　由圖象可知T甲∶T乙＝2∶1，若兩單擺在同一地點，則兩擺長之比為l甲∶l乙＝4∶1，故A錯，B對；若兩擺長相等，則所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝1∶4，故C錯，D對． 答案　BD 用單擺測定重力加速度 4．在做“用單擺測定重力加速度”的實驗時，用擺長l和周期T計算重力加速度的公式是g＝________.若已知擺球直徑為2.00cm，讓刻度尺的零點對準擺線的懸點，擺線豎直下垂，如圖5甲所示，則單擺擺長是________m．若測定了40次全振動的時間如圖乙中秒表所示，則秒表讀數(shù)是________s，單擺擺動周期是________． 圖5 為了提高測量精度，需多次改變l值，并測得相應的T值．現(xiàn)將測得的六組數(shù)據(jù)標示在以l為橫坐標、以T2為縱坐標的坐標系上，即圖6中用“”表示的點，則： 圖6 (1)單擺做簡諧運動應滿足的條件是________． (2)試根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)點作出T2和l的關(guān)系圖線，根據(jù)圖線可求出g＝________m/s2.(結(jié)果取兩位有效數(shù)字) 解析　由T＝2π，可知g＝. 由圖可知：擺長l＝(88.50－1.00)cm＝87.50cm＝0.8750m. 秒表的讀數(shù)t＝60s＋15.2s＝75.2s， 所以T＝＝1.88s. (1)單擺做簡諧運動的條件是擺線偏離豎起方向的夾角應小于等于5. (2)把在一條直線上的點連在一起，誤差較大的點平均分布在直線的兩側(cè)，如圖所示，則直線斜率k＝.由g＝＝，可得g＝9.8m/s2(9.9 m/s2也正確)． 答案　見解析 (時間：60分鐘) 題組一　單擺及其回復力 1．單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，其理想化條件是(　　) A．擺線質(zhì)量不計 B．擺線長度不可伸縮 C．擺球的直徑比擺線長度短得多 D．只要是單擺的運動就是一種簡諧運動 解析　單擺由擺線和擺球組成，擺線只計長度不計質(zhì)量，擺球只計質(zhì)量不計大小，且擺線不可伸縮．但把單擺作為簡諧運動來處理是有條件的，只有在擺角很小(θ≤5)的情況下才能視單擺運動為簡諧運動． 答案　ABC 2．關(guān)于單擺，下列說法中正確的是(　　) A．擺球運動的回復力是它受到的合力 B．擺球在運動過程中經(jīng)過軌跡上的同一點，加速度是不變的 C．擺球在運動過程中加速度的方向始終指向平衡位置 D．擺球經(jīng)過平衡位置時，加速度為零 解析　擺球的回復力為重力沿軌跡切線方向的分力，A錯；擺球經(jīng)過最低點時，回復力為0，但合力提供向心力，C、D錯；由簡諧運動特點知B正確． 答案　B 3．關(guān)于單擺的運動有下列說法，正確的是(　　) ①單擺的回復力是擺線的拉力與重力的合力 ②單擺的回復力是重力沿擺球運動軌跡切向的分力 ③單擺的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)，與振幅無關(guān)，與擺長和當?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān) ④單擺做簡諧運動的條件是擺角很小，如小于5 ⑤在山腳下走時準確的擺鐘移到高山上走時將變快 A．①③④B．②③④C．③④⑤D．①④⑤ 解析　單擺的回復力是重力沿擺球運動軌跡切向的分力，不是擺球所受的合外力，所以①錯誤，②正確；根據(jù)單擺的周期公式T＝2π可知，單擺的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)，與振幅無關(guān)，與擺長和當?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān)，③正確；當擺角很小時，擺球的運動軌跡可以近似地看作直線，回復力或重力沿擺球運動軌跡切向的分力可以近似地看作沿這條直線作用，這時可以證明：F＝－mgsinθ＝－x＝－kx，可見，在擺角很小時，單擺近似做簡諧運動，④正確；將擺鐘從山腳移到高山上時，擺鐘所在位置的重力加速度g變小，根據(jù)T＝2π可知，擺鐘振動的周期變大，計時變慢，⑤錯誤．綜上可知，只有②③④正確，故正確答案為B. 答案　B 題組二　單擺的周期公式 4．發(fā)生下列哪一種情況時，單擺周期會增大(　　) A．增大擺球質(zhì)量B．縮短擺長 C．減小單擺振幅D．將單擺由山下移至山頂 解析　由單擺周期公式T＝2π知，T與單擺的擺球質(zhì)量、振幅無關(guān)，縮短擺長，l變小，T變小，故A、B、C均錯；單擺由山下移到山頂，g變小，T變大，故D對． 答案　D 5．甲、乙兩個單擺的擺長相等，將兩單擺的擺球由平衡位置拉起，使擺角θ甲<θ乙<5，由靜止開始同時釋放，則(　　) A．甲先擺到平衡位置 B．乙先擺到平衡位置 C．甲、乙兩擺同時到達平衡位置 D．無法判斷 解析　兩個單擺的擺長相等，則兩個單擺的周期相等，單擺從最大位移擺到平衡位置所用的時間都等于T，選項C正確． 答案　C 6．已知在單擺a完成10次全振動的時間內(nèi)，單擺b完成6次全振動，兩單擺擺長之差為1.6m，則兩單擺擺長La與Lb分別為(　　) A．La＝2.5m，Lb＝0.9m B．La＝0.9m，Lb＝2.5m C．La＝2.4m，Lb＝4.0m D．La＝4.0m，Lb＝2.4m 解析　單擺完成一次全振動所需的時間叫單擺振動周期，據(jù)題設(shè)可知a、b兩單擺的周期之比為＝，由單擺周期公式T＝2π得：＝，由題知Lb－La＝1.6m，聯(lián)立解得La＝0.9m，Lb＝2.5m. 答案　B 圖1 7．如圖1所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖象，下列說法中正確的是(　　) A．甲、乙兩單擺的擺長相等 B．甲單擺的振幅比乙的大 C．甲單擺的機械能比乙的大 D．在t＝0.5s時有正向最大加速度的是乙單擺 解析　從題圖上看出，甲單擺振幅大；兩單擺周期相等，則擺長相等；因質(zhì)量關(guān)系不明確，無法比較機械能；t＝0.5s時乙單擺擺球在負的最大位移處，故有正向最大加速度． 答案　ABD 8．圖2甲是一個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的最遠位置，設(shè)擺球向右運動為正方向，圖乙是這個單擺的振動圖象，根據(jù)圖象回答： 圖2 (1)單擺振動的頻率是多大？ (2)開始時刻擺球在何位置？ (3)若當?shù)氐闹亓铀俣葹?0m/s2，試求這個擺的擺長是多少？(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字) 解析　(1)由題圖乙知周期T＝0.8s， 則頻率f＝＝1.25Hz. (2)由題圖乙知，0時刻擺球在負向最大位移處，因向右為正方向，所以在B點． (3)由T＝2π得l＝≈0.16m. 答案　(1)1.25Hz　(2)B點　(3)0.16m 題組三　用單擺測定重力加速度 9．在用單擺測定重力加速度時，某同學用同一套實驗裝置，用同樣的步驟進行實驗，但所測得的重力加速度總是偏大，其原因可能是(　　) A．測定周期時，振動次數(shù)少數(shù)了一次 B．測定周期時，振動次數(shù)多數(shù)了一次 C．擺球的質(zhì)量過大 D．計算擺長時，只考慮懸線的長度，沒有加上小球的半徑 解析　由公式g＝可知，如果振動次數(shù)多數(shù)了一次，即T偏小，g偏大，選項A錯，B對；擺球的質(zhì)量過大，不影響單擺的周期與擺長，所以不影響測得的重力加速度，選項C錯；計算擺長時漏加小球半徑則l偏小，求得的g偏小，選項D錯． 答案　B 圖3 10．某同學利用單擺測定當?shù)刂亓铀俣龋l(fā)現(xiàn)單擺靜止時擺球重心在球心的正下方，他仍將從懸點到球心的距離當作擺長l，通過改變擺線的長度，測得6組l和對應的周期T，畫出lT2圖線，然后在圖線上選取A、B兩個點，坐標如圖3所示．他采用恰當?shù)臄?shù)據(jù)處理方法，則計算重力加速度的表達式應為g＝________.請你判斷該同學得到的實驗結(jié)果與擺球重心就在球心處的情況相比，將________．(填“偏大”“偏小”或“相同”) 解析　由周期公式T＝2π，得T2g＝4π2l，結(jié)合圖象得到g＝，因為這樣處理數(shù)據(jù)后用到的是前后兩次擺長的差值，與重心位置無關(guān)，所以測量結(jié)果不受影響． 答案　　相同 11．根據(jù)單擺周期公式T＝2π，可以通過實驗測量當?shù)氐闹亓铀俣龋鐖D4甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺． (1)用游標卡尺測量小鋼球直徑，讀數(shù)如圖乙所示，讀數(shù)為________mm. 圖4 (2)以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的有______． a．擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些 b．擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的 c．為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度 d．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置大于5，在釋放擺球的同時開始計時，當擺球回到開始位置時停止計時，此時間間隔Δt即為單擺周期T e．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5，釋放擺球，當擺球振動穩(wěn)定后，從平衡位置開始計時，記下擺球做50次全振動所用的時間Δt，則單擺周期T＝ 解析　(1)根據(jù)游標卡尺讀數(shù)規(guī)則，游標卡尺的讀數(shù)：18mm＋0.16mm＝18.6mm； (2)擺線要選擇細些可減小阻力；伸縮性小些的，保證擺長不變；并且盡可能長一些，在合適的振幅下，擺角小．所以擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些，選項a正確；擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的，可減小空氣阻力的影響，選項b正確；為了使擺的周期大一些，以方便測量，可增大擺長．開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度，可能導致擺角大于5，使誤差增大，選項c錯誤；拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5，在擺球通過平衡位置的同時開始計時，測量單擺運動50個周期的時間t，則單擺周期T＝，選項d錯誤，e正確． 答案　18.6　abe 12．在探究單擺的振動周期T和擺長L的關(guān)系實驗中，某同學在細線的一端扎上一個勻質(zhì)圓柱體制成一個單擺． (1)如圖5所示，該同學把單擺掛在力傳感器的掛購上，使小球偏離平衡位置一小段距離后釋放，電腦中記錄拉力隨時間變化的圖象如圖6所示．在圖中讀出N個峰值之間的時間間隔為t，則重物的周期為________． 　　　　 　　　　圖5　　　　　　　　　　圖6 (2)該同學改變擺長，多次測量，完成操作后得到了如表中所列實驗數(shù)據(jù)．請在圖7坐標系中畫出相應圖線. 擺長L/cm 總時間t/s 全振動次數(shù)n 周期T/s 99.40 60.0 30 2.00 63.61 48.0 30 1.60 48.70 42.0 30 1.40 24.85 30.0 30 1.00 15.90 24.0 30 0.80 8.95 18.0 30 0.60 3.98 12.0 30 0.40 圖7 (3)根據(jù)所畫的周期T與擺長L間的關(guān)系圖線，你能得到關(guān)于單擺的周期與擺長關(guān)系的哪些信息？________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析　(1)擺球做圓周運動，每次通過最低點時速度最大，此時繩子拉力最大，則兩次到達拉力最大的時間為半個周期，所以t＝(N－1)T，得周期T＝ (2)根據(jù)描點法作出圖象，如圖所示 (3)根據(jù)圖象可知，擺長越長周期越大，周期與擺長呈非線性關(guān)系，隨著擺長的增加，周期增加量與擺長增加量的比值在減小． 答案　(1) (2)見解析 (3)擺長越長周期越大；周期與擺長呈非線性關(guān)系；隨著擺長的增加，周期增加量與擺長增加量的比值在減小