高三數學北師大版文一輪教師用書：第9章 第7節(jié)　雙曲線 Word版含解析

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1、 第七節(jié)　雙曲線 [最新考綱]　1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.理解數形結合思想.4.了解雙曲線的簡單應用． (對應學生用書第161頁) 1．雙曲線的定義 (1)平面內到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(大于零且小于|F1F2|的點的集合叫作雙曲線，定點F1，F2叫作雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c為常數且

2、a＞0，c＞0. ①當2a＜|F1F2|時，M點的軌跡是雙曲線； ②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡是兩條射線； ③當2a＞|F1F2|時，M點不存在． 2．雙曲線的標準方程和幾何性質 標準方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 圖形 性質 范圍 x≥a或x≤－a， y∈R x∈R， y≤－a或y≥a 對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點 頂點坐標 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝＝∈(1，＋∞) 實、虛軸 線段A1A2叫做雙曲線

3、的實軸，它的長|A1A2|＝2a； 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b； a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 a，b，c的關系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 3.等軸雙曲線 實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝. 1．過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為，也叫通徑． 2．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b. 3．若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 4．與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線的方程可表示

4、為－＝t(t≠0)． 5．當已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，求雙曲線方程時，可設雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內到點F1(0,4)，F2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線． (　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線． (　　) (3)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0. (　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于. (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．雙曲線－＝

5、1的焦距為(　　) A．5　　　　B.　　　　C．2　　　　D．1 C　[由雙曲線－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以雙曲線－＝1的焦距為2.] 2．以橢圓＋＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 A　[設要求的雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 由橢圓＋＝1，得橢圓焦點為(±1,0)，在x軸上的頂點為(±2,0)． 所以雙曲線的頂點為(±1,0)，焦點為(±2,0)． 所以a＝1，c＝2， 所以b2＝c2－a2＝3， 所以雙曲線的標準方程為x2－＝1.] 3．已知雙曲線－＝1(a>0)

6、的離心率為2，則a＝(　　) A．2 B. C. D．1 D　[依題意，e＝＝＝2，∴＝2a，則a2＝1，a＝1.] 4．經過點A(5，－3)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為________． －＝1　[設雙曲線的方程為x2－y2＝λ，把點A(5，－3)代入，得λ＝16， 故所求方程為－＝1.] (對應學生用書第162頁) ⊙考點1　雙曲線的定義及應用 　雙曲線定義的兩個應用 (1)判定平面內動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出雙曲線方程． (2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方

7、法，建立與|PF1|·|PF2|的關系． (1)設P是雙曲線－＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于(　　) A．1　　　　　 B．17 C．1或17 D．以上均不對 (2)已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　) A.－＝1(x≥) B.－＝1(x≤－) C.＋＝1(x≥) D.＋＝1(x≤－) (3)已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于(　　) A．2 B．4 C．6　

8、　　　 D．8 (1)B　(2)A　(3)B　[(1)根據雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8?|PF2|＝1或17. 又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故選B. (2)設動圓的半徑為r，由題意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2，故由雙曲線的定義可知動點M在以C1(－4,0)，C2(4,0)為焦點，實軸長為2a＝2的雙曲線的右支上，即a＝，c＝4?b2＝16－2＝14，故動圓圓心M的軌跡方程為－＝1(x≥)，故選A. (3)由雙曲線的方程得a＝1，c＝， 由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2中，由余

9、弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4，故選B.] [母題探究] 1．本例(3)中，若將條件“∠F1PF2＝60°”改為|PF1|＝2|PF2|，試求cos∠F1PF2的值． [解]　根據雙曲線的定義知，|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2，則|PF1|＝2|PF2|＝4，又|F1F2|＝2 ∴cos∠F1PF2＝＝＝. 2．本例(3)中，若

10、將條件“∠F1PF2＝60°”，改為·＝0，則△F1PF2的面積是多少？ [解]　不妨設點P在雙曲線的右支上． 則|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 由·＝0，得⊥. 在△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝8， ∴|PF1||PF2|＝2. ∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|＝1. (1)求雙曲線上的點到焦點的距離時，要注意取舍，如本例T(1)；(2)利用定義求雙曲線方程時，要注意所求是雙曲線一支，還是整個雙曲線，如本例T(2)． 　1.已知點F1(－3,0)和F2(3,0)，動點P到F1，

11、F2的距離之差為4，則點P的軌跡方程為(　　) A.－＝1(y＞0)　　　 B.－＝1(x＞0) C.－＝1(y＞0) D.－＝1(x＞0) B　[由題設知點P的軌跡方程是焦點在x軸上的雙曲線的右支，設其方程為－＝1(x＞0，a＞0，b＞0)，由題設知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以點P的軌跡方程為－＝1(x＞0)．] 2．已知雙曲線x2－＝1的兩個焦點為F1，F2，P為雙曲線右支上一點．若|PF1|＝|PF2|，則△F1PF2的面積為(　　) A．48　　　B．24　　　C．12　　　D．6 B　[由雙曲線的定義可得 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， 解得

12、|PF2|＝6，故|PF1|＝8， 又|F1F2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝24.] 3．若雙曲線－＝1的左焦點為F，點P是雙曲線右支上的動點，A(1,4)，則|PF|＋|PA|的最小值是(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 B　[由題意知，雙曲線－＝1的左焦點F的坐標為(－4,0)，設雙曲線的右焦點為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當且僅當A，P，B三點共線且P在A，B之間時取等號．] ⊙考點2　雙曲線的標準方程

13、　求雙曲線方程的思路 (1)如果已知雙曲線的中心在原點，且確定了焦點在x軸上或y軸上，則設出相應形式的標準方程，然后根據條件確定關于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標準方程(求得的方程可能是一個，也有可能是兩個，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)當焦點位置不確定時，有兩種方法來解決：一種是分類討論，注意考慮要全面；另一種是設雙曲線的一般方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解． (1)(2019·荊門模擬)方程＋＝1表示雙曲線的一個充分不必要條件是(　　) A．－3＜m＜0 B．－1＜m＜3 C．－3＜m＜4 D．－2＜m＜3 (2)[一題多解]已知雙曲線過點

14、(2,3)，漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標準方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 (3)(2018·天津高考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (1)B　(2)C　(3)C　[(1)方程＋＝1表示雙曲線，則(m＋2)(m－3)＜0，解得－2＜m＜3.∵要求充分不必要條件，∴選項范圍是－2＜m＜3的真子集，只有選項B符合題意．故選B. (2

15、)法一：當其中的一條漸近線方程y＝x中的x＝2時，y＝2＞3，又點(2,3)在第一象限，所以雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的標準方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由題意得解得所以該雙曲線的標準方程為x2－＝1，故選C. 法二：因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即＝±x，所以可設雙曲線的方程是x2－＝λ(λ≠0)，將點(2,3)代入，得λ＝1，所以該雙曲線的標準方程為x2－＝1，故選C. (3)如圖，不妨設A在B的上方，則A，B. 其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3. 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝. ∴雙曲線的方程為－＝1. 故選C.]

16、　已知雙曲線的漸近線方程，用漸近線方程設出雙曲線方程，運算過程較為簡單． [教師備選例題] 設雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且與橢圓相交，其中一個交點的坐標為(，4)，則此雙曲線的標準方程是________． －＝1 　[法一：橢圓＋＝1的焦點坐標是(0，±3)，設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，根據雙曲線的定義知2a＝|－| ＝4，故a＝2. 又b2＝32－22＝5，故所求雙曲線的標準方程為－＝1. 　法二：橢圓＋＝1的焦點坐標是(0，±3)．設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝9， ① 又點(，4)在雙曲線上，所以－＝1， ② 聯立①②解得a2＝

17、4，b2＝5.故所求雙曲線的標準方程為－＝1. 　1.(2019·湘潭模擬)以雙曲線－＝1的焦點為頂點，且漸近線互相垂直的雙曲線的標準方程為(　　) A．x2－y2＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 D　[由題可知，所求雙曲線的頂點坐標為(±3,0)．又因為雙曲線的漸近線互相垂直，所以a＝b＝3，則該雙曲線的方程為－＝1.故選D.] 2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且雙曲線的焦距為2，則該雙曲線的標準方程為(　　) A.－y2＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 A　[由

18、題意可得 解得 則該雙曲線的標準方程為－y2＝1.] 3．經過點P(3,2)，Q(－6，7)的雙曲線的標準方程為________． －＝1　[設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 因為所求雙曲線經過點P(3,2)，Q(－6，7)， 所以解得 故所求雙曲線方程為－＝1.] ⊙考點3　雙曲線的幾何性質 　求雙曲線的離心率(或其范圍) 　求雙曲線的離心率或其范圍的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. (2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解． (1)(2019·全國卷Ⅱ)設F

19、為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. (2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A. B. C．(1,2] D. (1)A　(2)B　[(1)令雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點F的坐標為(c,0)，則c＝. 如圖所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設垂足為

20、M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝， 由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2， 得＋＝a2， ∴＝，即離心率e＝. 故選A. (2)由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由雙曲線上的點到焦點的最短距離為c－a，可得≥c－a，解得≤，即e≤，又雙曲線的離心率e＞1，故該雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.] 　本例T(2)利用雙曲線右支上的點到右焦點的距離不小于c－a建立不等式求解，同時應注意雙曲線的離心率e＞1. [教師備選例題] (2019·沈陽模擬)設F1，F2分別為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、

21、右焦點，P是雙曲線C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且△PF1F2的最小內角的正弦值為，則雙曲線C的離心率為(　　) A．2 B．3　　　　 C.　　　　 D. C　[不妨設P是雙曲線右支上的一點，由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.△PF1F2的最小內角的正弦值為，其余弦值為，因為|PF1|＞|PF2|，|F1F2|＞|PF2|，所以∠PF1F2為△PF1F2的最小內角．由余弦定理可得|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即a2＝4c2＋9a2－2×2c×3a

22、×，所以離心率e＝＝.故選C.] 　與漸近線有關的問題 　與漸近線有關的結論 (1)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x. (2)e2＝1＋?＝e2－1?＝. (1)(2019·武漢模擬)已知雙曲線C：－＝1(m＞0，n＞0)的離心率與橢圓＋＝1的離心率互為倒數，則雙曲線C的漸近線方程為(　　) A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0 C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0 (2)(2019·張掖模擬)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的頂點到其一條漸近線的距離為1，焦

23、點到其一條漸近線的距離為，則其一條漸近線的傾斜角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° (1)A　(2)B　[(1)由題意知，橢圓中a＝5，b＝4，∴橢圓的離心率e＝＝，∴雙曲線的離心率為＝，∴＝，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故選A. (2)設雙曲線－＝1的右頂點A(a,0)，右焦點F2(c,0)到漸近線y＝x的距離分別為1和，則有即＝. 則＝＝－1＝2－1＝1，即＝1. 設漸近線y＝x的傾斜角為θ，則tan θ＝＝1. 所以θ＝45°，故選B.] 　雙曲線中，焦點到一條漸近線的距離等于b是常用的結論． [教師備選例題]

24、 　(2019·衡水模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1作圓x2＋y2＝a2的切線，交雙曲線右支于點M.若∠F1MF2＝45°，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x A　[如圖，作OA⊥F1M于點A，F2B⊥F1M于點B.因為F1M與圓x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.又點M在雙曲線上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a，整理得b＝a.所以＝.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選A.]

25、 　1.已知雙曲線－＝1(m＞0)的一個焦點在直線x＋y＝5上，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x B　[由雙曲線－＝1(m＞0)的焦點在y軸上，且在直線x＋y＝5上，直線x＋y＝5與y軸的交點為(0,5)， 有c＝5，則m＋9＝25，得m＝16， 所以雙曲線的方程為－＝1， 故雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選B.] 2．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，點A(2，)在雙曲線C上，若AF2⊥F1F2，則雙曲線C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x A　[因為AF2⊥F1F2，A(2，)，所以F1(－2,0)，F2(2,0)，由雙曲線的定義可知2a＝|AF1|－|AF2|＝－＝2，即a＝，所以b＝＝，故雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，故選A.]