2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1 變化率與導(dǎo)數(shù) 1.1.1 變化率問題 1.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc

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1.1　變化率與導(dǎo)數(shù) 1.1.1　變化率問題 1.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率．(重點(diǎn))3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))4.理解函數(shù)的平均變化率，瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)的概念．(易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．函數(shù)的平均變化率 (1)函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率為＝，其中Δx＝x2－x1是相對(duì)于x1的一個(gè)“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相對(duì)于f(x1)的一個(gè)“增量”． (2)平均變化率的幾何意義 設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲線y＝f(x)上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)y＝f(x)的平均變化率＝＝為割線AB的斜率，如圖111所示． 圖111 思考：Δx，Δy的值一定是正值嗎？平均變化率是否一定為正值？ [提示] Δx，Δy可正可負(fù)，Δy也可以為零，但Δx不能為零．平均變化率可正、可負(fù)、可為零． 2．瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率 (1)物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度． (2)函數(shù)f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率在Δx→0時(shí)的極限即 ＝ . 3．導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，記作f′(x0)或y′| x＝x0，即f′(x0)＝ . [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx值的正、負(fù)無關(guān)．(　　) (2)瞬時(shí)變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量．(　　) (3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零．(　　) 提示：(1)由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)只與x0有關(guān)，故正確． (2)瞬時(shí)變化率是刻畫某一時(shí)刻變化快慢的物理量，故錯(cuò)誤． (3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δy可以為零，故錯(cuò)誤． [答案]　(1)√　(2)　(3) 2．函數(shù)y＝f(x)，自變量x由x0改變到x0＋Δx時(shí)，函數(shù)的改變量Δy為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062000】 A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) D　[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故選D.] 3．若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s＝8＋t2運(yùn)動(dòng)，則在一小段時(shí)間[2,2.1]內(nèi)的平均速度是 (　　) A．4　　　 B．4.1 C．0.41　　　 D．－1.1 B　[＝＝＝＝4.1，故選B.] 4．函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的瞬時(shí)變化率是________． [解析]　∵f(x)＝x2.∴在x＝1處的瞬時(shí)變化率是 ＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. [答案]　2 5．函數(shù)f(x)＝2在x＝6處的導(dǎo)數(shù)等于________． [解析]　f′(6)＝ ＝ ＝0. [答案]　0 [合 作 探 究攻 重 難] 求函數(shù)的平均變化率 　已知函數(shù)f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)從0.1到0.2的平均變化率； (2)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062001】 [解]　(1)因?yàn)閒(x)＝3x2＋5， 所以從0.1到0.2的平均變化率為 ＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5) ＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為＝6x0＋3Δx. [規(guī)律方法]　1.求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟 第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1； 第二步，求函數(shù)值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均變化率＝. 2.求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)求點(diǎn)x0附近的平均變化率，可用的形式. [跟蹤訓(xùn)練] 1．如圖112，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率等于(　　) 圖112 A．1　　　 B．－1 C．2 D．－2 B　[平均變化率為＝－1.故選B.] 2．已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2的圖象上點(diǎn)P(1,2)及鄰近點(diǎn)Q(1＋Δx,2＋Δy)，則的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062002】 A．4 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx D　[＝＝4＋2Δx.故選D.] 求瞬時(shí)速度 [探究問題] 1．物體的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是s(t)＝5t2，如何計(jì)算物體在[1,1＋Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度？ 提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt. 2．當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，探究1中的平均速度趨近于多少？怎樣理解這一速度？ 提示：當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，趨近于10，這時(shí)的平均速度即為當(dāng)t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度． 　某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度． [思路探究]　 ―→ [解]　∵＝ ＝＝3＋Δt， ∴ ＝ (3＋Δt)＝3. ∴物體在t＝1處的瞬時(shí)變化率為3. 即物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度為3 m/s. 母題探究：1.(變結(jié)論)在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度． [解]　求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度． ∵＝ ＝＝1＋Δt， ∴ (1＋Δt)＝1. ∴物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)變化率為1，即物體的初速度為1 m/s. 2．(變結(jié)論)在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9 m/s. [解]　設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9 m/s. 又＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. ＝ (2t0＋1＋Δt) ＝2t0＋1. 則2t0＋1＝9， ∴t0＝4. 則物體在4 s時(shí)的瞬時(shí)速度為9 m/s. [規(guī)律方法]　求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟 (1)求時(shí)間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (2)求平均速度＝. (3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，\f(Δs,Δt)無限趨近于常數(shù)v，即為瞬時(shí)速度. 求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 　(1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，且 ＝1，則f′(x0)等于(　　) A．1 B．－1 C．－ D． (2)求函數(shù)f(x)＝x－在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． [思路探究]　(1)類比f′(x0)＝ 求解． (2)―→―→ (1)C　[∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝1， ∴f′(x0)＝－，故選C.] (2)∵Δy＝(1＋Δx)－－ ＝Δx＋1－＝Δx＋， ∴＝＝1＋， ∴f′(1)＝ ＝ ＝2. [規(guī)律方法]　求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟 簡稱：一差、二比、三極限． [跟蹤訓(xùn)練] 3．已知f′(1)＝－2，則 ＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062003】 [解析]　∵f′(1)＝－2， ∴ ＝ ＝－2 ＝－2f′(1)＝－2(－2)＝4. [答案]　4 4．求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． [解]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx， ∴f′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是 (　　) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 B　[＝＝＝2.] 2．物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝＝＝9.8 m/s，那么下列說法中正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062004】 A．9.8 m/s是物體從0 s到1 s這段時(shí)間內(nèi)的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的速率 C．9.8 m/s是物體在t＝1 s這一時(shí)刻的速率 D．9.8 m/s是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速率 C　[結(jié)合平均變化率與瞬時(shí)變化率可知選項(xiàng)C正確．] 3．函數(shù)f(x)＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為________． [解析]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1， ∴＝＝， ∴f′(1)＝ ＝ ＝. [答案]　 4．設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，若 ＝A，則f′(x0)＝________. [解析]　 ＝3 ＝3f′(x0)＝A. 故f′(x0)＝A. [答案]　 5．在曲線y＝f(x)＝x2＋3上取一點(diǎn)P(1,4)及附近一點(diǎn)(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)；(2)f′(1). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062005】 [解]　(1)＝ ＝＝2＋Δx. (2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.