2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題4.7 正弦定理和余弦定理導(dǎo)學(xué)案 理.doc
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第七節(jié) 正弦定理和余弦定理 最新考綱 1.利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行恒等變換解決問題. 2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題． 知識(shí)梳理 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R.(R為△ABC外接圓半徑) a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 變形形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 3.三角形常用面積公式 (1)S＝aha(ha表示邊a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)． 4. 三角形中的常見結(jié)論 (1) A＋B＋C＝π，變形：＝－. (2) 在三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊：A>Ba>bsinA>sinB. (3) 任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊． (4)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B?A＝B或2A+2B=π ?三角形為等腰或直角三角形； （5）三角形中的三角函數(shù)關(guān)系： sin(A＋B)＝sin C； cos(A＋B)＝－cos C；sin＝cos ； cos＝sin . 典型例題 考點(diǎn)一 正弦定理解三角形 【例1】 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45.求角A、C和邊c. 【答案】當(dāng)A＝60時(shí)，C＝75，c＝；當(dāng)A＝120時(shí)，C＝15，c＝. 【解析】由正弦定理，得＝，即＝， ∴ sinA＝. ∵ a>b，∴ A＝60或A＝120. 當(dāng)A＝60時(shí)，C＝180－45－60＝75，c＝＝； 當(dāng)A＝120時(shí)，C＝180－45－120＝15，c＝＝. 規(guī)律方法 正弦定理是一個(gè)連比等式，在運(yùn)用此定理時(shí)，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達(dá)到解決問題的目的，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用. 【變式訓(xùn)練1】在△ABC中， (1) 若a＝4，B＝30，C＝105，則b＝________． (2) 若b＝3，c＝，C＝45，則a＝________． (3) 若AB＝，BC＝，C＝30，則∠A＝________． 【答案】(1) 2.(2) 無解．(3) ∠A＝45或135. 【解析】(1) 已知兩角和一邊只有一解，由∠B＝30，∠C＝105，得∠A＝45.由正弦定理，得b＝＝＝2. (2) 由正弦定理得sinB＝＝>1，∴ 無解． (3) 由正弦定理＝，得＝，∴ sinA＝. ∵ BC>AB，∴ A>C，∴ ∠A＝45或135. 考點(diǎn)二 余弦定理解三角形 【例2】 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且＝－. (1) 求角B的大小； (2) 若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積． 【答案】(1) B＝π.(2) S△ABC＝. 規(guī)律方法 (1)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用． (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角，求該三角形的其它邊角的問題時(shí)，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對(duì)大角”在判定中的應(yīng)用． 【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，已知c＝2，C＝. (1) 若△ABC的面積等于，求a、b； (2) 若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積． 【答案】(1) a＝2，b＝2. (2) S＝. 【解析】(1) 由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4. 因?yàn)椤鰽BC的面積等于，所以absinC＝，得ab＝4. 聯(lián)立方程組 解得a＝2，b＝2. (2) 由題意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，所以sinBcosA＝2sinAcosA. 當(dāng)cosA＝0時(shí)，A＝，所以B＝，所以a＝，b＝. 當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a， 聯(lián)立方程組 解得a＝，b＝. 所以△ABC的面積S＝absinC＝. 考點(diǎn)三 三角形形狀的判定 【例3】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 【答案】 B 【解析】 ∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC為直角三角形． 【題點(diǎn)發(fā)散1】 本例條件變?yōu)槿簦?，判斷△ABC的形狀． 【答案】△ABC為等腰三角形或直角三角形． 【解析】 由＝，得＝， ∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin2A＝sin2B. ∵A、B為△ABC的內(nèi)角，∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 【題點(diǎn)發(fā)散2】 本例條件變?yōu)槿鬭＝2bcosC，判斷△ABC的形狀． 【答案】三角形定是等腰三角形． 【解析】法一：因?yàn)閍＝2bcosC，所以由余弦定理得，a＝2b，整理得b2＝c2，則此三角形一定是等腰三角形． 法二：∵sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∵－π下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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