2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 坐標系 三 簡單曲線的極坐標方程 2 直線的極坐標方程講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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2．直線的極坐標方程 1．直線的極坐標方程 (1)若直線經(jīng)過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則直線l的極坐標方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． (2)當(dāng)直線l過極點，即ρ0＝0時，l的方程為 θ＝α. (3)當(dāng)直線l過點M(a,0)且垂直于極軸時，l的方程為ρcos_θ＝a. (4)當(dāng)直線l過點M且平行于極軸時，l的方程為. 2．圖形的對稱性 (1)若ρ(θ)＝ρ(－θ)，則相應(yīng)圖形關(guān)于極軸對稱． (2)若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，則圖形關(guān)于射線θ＝所在直線對稱． (3)若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，則圖形關(guān)于極點對稱． 求直線的極坐標方程 [例1]　求過點A(1,0)且傾斜角為的直線的極坐標方程． [思路點撥]　思路一：通過運用正弦定理解三角形建立動點M所滿足的等式，從而集中條件建立以ρ，θ為未知數(shù)的極坐標方程； 思路二：先求出直線的直角坐標方程，然后運用直角坐標向極坐標的轉(zhuǎn)化公式間接得解． [解]　法一：設(shè)M(ρ，θ)為直線上除點A以外的任意一點，易知∠xAM＝，則∠OAM＝，∠OMA＝－θ. 在△OAM中， 由正弦定理得＝， 即＝，∴ρsin＝， ∴ρ＝， 化簡得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 經(jīng)檢驗，點A(1,0)的極坐標適合此方程， ∴滿足條件的直線的極坐標方程為ρ(cos θ－sin θ)＝1. 法二：以極點O為直角坐標原點，極軸為x軸非負半軸，建立平面直角坐標系xOy， ∵直線的斜率k＝tan ＝1，∴直線方程為y＝x－1， 將y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴滿足條件的直線的極坐標方程為ρ(cos θ－sin θ)＝1. 求直線的極坐標方程，首先應(yīng)明確過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α的直線極坐標方程的求法．另外，還要注意過極點、與極軸垂直和平行的三種特殊情況的直線的極坐標方程． 1．求過A且垂直于極軸的直線l的方程． 解：如圖所示，在直線l上任意取點M(ρ，θ)，∵A， ∴|OH|＝2sin＝. 在Rt△OMH中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴＝ρcos θ，即ρcos θ＝， ∴過A且垂直于極軸的直線l的方程為ρcos θ＝. 2．設(shè)點A的極坐標為，直線l過點A且與極軸所成的角為，求直線l的極坐標方程． 解：設(shè)P(ρ，θ)為直線l上任意一點(如圖)． 則α＝－＝， β＝π－＝＋θ， 在△OPA中，有＝， 即ρsin＝1. 直線的極坐標方程的應(yīng)用 [例2]　在極坐標系中，直線l的方程是ρsin＝1，求點P到直線l的距離． [思路點撥]　將極坐標問題轉(zhuǎn)化為直角坐標問題． [解]　點P的直角坐標為(，－1)． 直線l：ρsin＝1可化為 ρsin θcos－ρcos θsin＝1， 即直線l的直角坐標方程為x－y＋2＝0. ∴點P(，－1)到直線x－y＋2＝0的距離為 d＝＝＋1. 故點P到直線l的距離為＋1. 對于研究極坐標方程下的距離及位置關(guān)系等問題，通常是將它們化為直角坐標方程，在直角坐標系下研究． 3．在極坐標系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線C1和C2的交點的直角坐標為________． 解析：由ρsin2θ＝cos θ?ρ2sin2θ＝ρcos θ?y2＝x，又由ρsin θ＝1?y＝1，聯(lián)立?故曲線C1和C2交點的直角坐標為(1,1)． 答案：(1,1) 4．已知直線的極坐標方程為ρsin＝，則點A到這條直線的距離是________． 解析：點A的直角坐標為(，－)． 直線ρsin＝， 即ρsin θcos＋ρcos θsin＝，其直角坐標方程為 x＋y＝，即x＋y＝1. ∴點A(，－)到直線x＋y－1＝0的距離為 d＝＝， 故點A到直線ρsin＝的距離為. 答案： 一、選擇題 1．極坐標方程cos θ＝(ρ≥0)表示的曲線是(　　) A．余弦曲線　　　　　　 B．兩條相交直線 C．一條射線 D．兩條射線 解析：選D　∵cos θ＝， ∴θ＝＋2kπ(k∈Z)． 又∵ρ≥0， ∴cos θ＝表示兩條射線． 2．已知點P的坐標為(2，π)，則過點P且垂直于極軸的直線方程是(　　) A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ C．ρ＝－ D．ρ＝ 解析：選C　由點P的坐標可知，過點P且垂直于極軸的直線的直角坐標方程為x＝－2，即ρcos θ＝－2.故選C. 3．如果直線ρ＝與直線l關(guān)于極軸對稱，那么直線l的極坐標方程是(　　) A．ρ＝ B．ρ＝ C．ρ＝ D．ρ＝ 解析：選A　由ρ＝知ρcos θ－2ρsin θ＝1，故ρcos θ＋2ρsin θ＝1，即ρ＝為所求． 4．在極坐標系中，點到曲線ρcos θ－ρsin θ－1＝0上的點的最小距離等于(　　) A. B. C. D．2 解析：選A　將極坐標化為直角坐標即為點(1,1)到直線x－y－1＝0的距離最小，即＝，故選A. 二、填空題 5．極坐標方程ρcos＝1的直角坐標方程是____________． 解析：將極坐標方程變?yōu)棣裞os θ－ρsin θ＝1，化為直角坐標方程為x－y＝1，即x－y－2＝0. 答案：x－y－2＝0 6．若直線ρsin＝與直線3x＋ky＝1垂直，則常數(shù)k＝________. 解析：直線的極坐標方程可化為ρsin θ－ρcos θ＝，即x－y＋1＝0，由題意知＝1，解得k＝3. 答案：3 7．在極坐標系中，點到直線ρsin θ＝2的距離為________． 解析：點對應(yīng)的直角坐標為(，1)，直線ρsin θ＝2對應(yīng)的直角坐標方程為y＝2，所以點到直線的距離為1. 答案：1 三、解答題 8．設(shè)M，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的動點，求M，N的最小距離． 解：因為M，N分別是曲線ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的動點，即M，N分別是圓x2＋y2＋2y＝0和直線x＋y－1＝0上的動點，要求M，N兩點間的最小距離，即在直線x＋y－1＝0上找一點到圓x2＋y2＋2y＝0的距離最小，即圓心(0，－1)到直線x＋y－1＝0的距離減去半徑，故最小值為－1＝－1. 故M，N的最小距離為－1. 9．求過點(－2,3)且斜率為2的直線的極坐標方程． 解：由題意知，直線的直角坐標方程為y－3＝2(x＋2)， 即2x－y＋7＝0. 設(shè)M(ρ，θ)為直線上任意一點， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐標方程 2x－y＋7＝0，得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0， 這就是所求的極坐標方程． 10．已知雙曲線的極坐標方程為ρ＝，過極點作直線與它交于A，B兩點，且|AB|＝6，求直線AB的極坐標方程． 解：設(shè)直線AB的極坐標方程為θ＝θ1. A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)， ρ1＝，ρ2＝＝. |AB|＝|ρ1＋ρ2| ＝＝， ∴＝1，∴cos θ1＝0或cos θ1＝ 故直線AB的極坐標方程為θ＝，θ＝或θ＝.