2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 第2講 不等式學(xué)案.docx
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第2講不等式 考向預(yù)測 1.利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點,主要以選擇題、填空題為主; 2.在解答題中,特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導(dǎo)數(shù)問題時常利用不等式進行求解,難度較大. 1.不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法. 一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0,Δ=b2-4ac>0),如果a與ax2+bx+c同號,則其解集在兩根之外;如果a與ax2+bx+c異號,則其解集在兩根之間. (2)簡單分式不等式的解法. ①>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0). ②≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式,可利用函數(shù)的單調(diào)性求解. 2.幾個不等式 (1)a2+b2≥2ab(取等號的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a=b). (2)(a,b∈R). (3)≥≥≥(a>0,b>0). (4)2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,當(dāng)a=b時等號成立). 3.利用基本不等式求最值 (1)如果x>0,y>0,xy=p(定值),當(dāng)x=y(tǒng)時,x+y有最小值2(簡記為:積定,和有最小值). (2)如果x>0,y>0,x+y=s(定值),當(dāng)x=y(tǒng)時,xy有最大值(簡記為:和定,積有最大值). 4.簡單的線性規(guī)劃問題 解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域,再根據(jù)目標函數(shù)表示的幾何意義,數(shù)形結(jié)合找到目標函數(shù)達到最值時可行域上的頂點(或邊界上的點),但要注意作圖一定要準確,整點問題要驗證解決. 熱點一 不等式的性質(zhì)及解法 【例1】(1)(2018武漢聯(lián)考)已知函數(shù)是上的減函數(shù),若,則實數(shù)a的取值范圍為____. (2)(2017江蘇卷)已知函數(shù)f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),若 f(a-1)+f(2a2)≤0,則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析 (1)因為是上的減函數(shù),若, 所以,解不等式組得, (2)f′(x)=3x2-2+ex+≥3x2-2+2=3x2≥0且f′(x)不恒為0,所以f(x)為單調(diào)遞增函數(shù). 又f(-x)=-x3+2x+e-x-ex=-(x3-2x+ex-)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù), 由f(a-1)+f(2a2)≤0,得f(2a2)≤f(1-a), ∴2a2≤1-a,解之得-1≤a≤, 故實數(shù)a的取值范圍是. 答案 (1)C (2) 探究提高 1.解一元二次不等式:先化為一般形式ax2+bx+c>0(a>0),再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集. 2.(1)對于和函數(shù)有關(guān)的不等式,可先利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化. (2)含參數(shù)的不等式的求解,要對參數(shù)進行分類討論. 【訓(xùn)練1】(1)(2018七寶中學(xué))若對任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_____ (2)已知不等式≥|a2-a|對于x∈[2,6]恒成立,則a的取值范圍是________. 解析 (1)由已知得不等式對任意恒成立,所以不等式對任意恒成立,即不等式對任意恒成立,當(dāng)時,則不等式對任意不恒成立,所以。所以,即,所以.解得. (2)設(shè)y=,, 故y=在x∈[2,6]上單調(diào)遞減,則ymin==, 故不等式≥|a2-a|對于x∈[2,6]恒成立等價于|a2-a|≤恒成立,化簡得 解得-1≤a≤2,故a的取值范圍是[-1,2]. 答案 (1)R (2)[-1,2] 熱點二 基本不等式 【例2】(1)(2018天津期末)已知,且,若恒成立,則實數(shù)的取值范圍是__________. (2)(2016江蘇卷改編)已知函數(shù)f(x)=2x+,若對于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,則實數(shù)m的最大值為________. 解析 (1)∵,,恒成立,且, , 因為恒成立,∴, ∴. 故答案為. (2)由條件知. ∵f(2x)≥mf(x)-6對于x∈R恒成立,且f(x)>0, ∴對于x∈R恒成立. 又=f(x)+≥2=4,且, ∴m≤4,故實數(shù)m的最大值為4. 答案 (1)8 (2)4 探究提高 1.利用基本不等式求最值,要注意“拆、拼、湊”等變形,變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件,即“和”或“積”為定值,等號能夠取得. 2.特別注意:(1)應(yīng)用基本不等式求最值時,若遇等號取不到的情況,則應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解. (2)若兩次連用基本不等式,要注意等號的取得條件的一致性,否則會出錯. 【訓(xùn)練2】 (1) (2018新泰一中)若直線過點,則的最小值為______. (2)若實數(shù)a,b滿足+=,則ab的最小值為( ) A. B.2 C.2 D.4 解析 (1)∵直線過點,∴, 故,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,結(jié)合可解得且,故答案為. (2)依題意知a>0,b>0,則+≥2=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時,“=”成立. ∵+=,∴≥,即ab≥2, ∴ab的最小值為2. 答案 (1)C (2)C 熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題 【例3】 (1) (2018張家口期中)已知,滿足,則的最大值為_____. (2) (2017池州模擬)已知x,y滿足約束條件目標函數(shù)z=2x-3y的最大值是2,則實數(shù)a=( ) A. B.1 C. D.4 解析 (1)根據(jù)題中所給的約束條件,畫出可行域,如圖所示: 由解得, 目標函數(shù)可看做斜率為3的動直線,其縱截距越小,越大, 由圖可知,當(dāng)動直線過點時,最大,最大值為, 故答案是6. (2)解析 作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示, ∵目標函數(shù)z=2x-3y的最大值是2, 由圖象知z=2x-3y經(jīng)過平面區(qū)域的A時目標函數(shù)取得最大值2. 由解得A(4,2), 同時A(4,2)也在直線ax+y-4=0上, ∴4a=2,則a=. 答案 (1)D (2)A 探究提高 1.線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一,準確無誤地作出可行域;二,畫目標函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯;三,一般情況下,目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得. 2.對于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題,需注意: (1)當(dāng)最值是已知時,目標函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān),解題時應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化. (2)當(dāng)目標函數(shù)與最值都是已知,且約束條件中含有參數(shù)時,因為平面區(qū)域是變動的,所以要抓住目標函數(shù)及最值已知這一突破口,先確定最優(yōu)解,然后變動參數(shù)范圍,使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可. 【訓(xùn)練3】 (1) (2019貴州聯(lián)考)設(shè)實數(shù),滿足不等式組,則的最小值是__________. (2)(2017新鄉(xiāng)模擬)若實數(shù)x,y滿足且z=mx-y(m<2)的最小值為-,則m等于( ) A. B.- C.1 D. 解析 (1)作出不等式組,表示的平面區(qū)域: 得到如圖的陰影部分,得, 設(shè),將直線進行平移, 當(dāng)經(jīng)過點時,目標函數(shù)達到最小值, ∴. 故答案為2. (2)作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示, z=mx-y(m<2)的最小值為-,可知目標函數(shù)的最優(yōu)解過點A,由解得A, ∴-=-3,解得m=1. 答案 (1)C (2)C 1.(2018全國I卷)若,滿足約束條件,則的最大值為_____________. 2.(2016山東卷)若變量x,y滿足則x2+y2的最大值是( ) A.4 B.9 C.10 D.12 3.(2018全國I卷)設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍是() A. B. C. D. 4.(2017天津卷)若a,b∈R,ab>0,則的最小值為________. 1.(2018南陽期中)已知正項等比數(shù)列的公比為2,若,則的最小值等于( ) A. B. C. D. 2.(2017全國Ⅲ卷)設(shè)x,y滿足約束條件則z=x-y的取值范圍是( ) A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 3.已知當(dāng)x<0時,2x2-mx+1>0恒成立,則m的取值范圍為( ) A.[2,+∞) B.(-∞,2] C.(-2,+∞) D.(-∞,-2) 4.已知函數(shù)那么不等式f(x)≥1的解集為________. 5.設(shè),,滿足約束條件:的可行域為. (1)求的最大值與的最小值; (2)若存在正實數(shù),使函數(shù)的圖象經(jīng)過區(qū)域中的點,求這時的取值范圍. 1.已知,滿足約束條件,記(其中)的最小值為,若,則實數(shù)的最小值為() A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2017北京卷)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,則x2+y2的取值范圍是________. 3.(2017長郡中學(xué)二模)曲線x=|y-1|與y=2x-5圍成封閉區(qū)域(含邊界)為Ω,直線y=3x+b與區(qū)域Ω有公共點,則b的最小值為________. 4.(2018莆田一中)已知函數(shù),對任意的,恒有. (1)證明:. (2)若對滿足題設(shè)條件的任意,,不等式恒成立,求的最小值. 5.(2018執(zhí)信中學(xué))私人辦學(xué)是教育發(fā)展的方向,某人準備投資1200萬元舉辦一所中學(xué),為了考慮社會效益和經(jīng)濟效益,對該地區(qū)教育市場進行調(diào)查,得出一組數(shù)據(jù),列表如下(以班級為單位): 市場調(diào)查表 班級學(xué)生數(shù) 配備教師數(shù) 硬件建設(shè)費(萬元) 教師年薪(萬元) 初中 高中 根據(jù)物價部門的有關(guān)文件,初中是義務(wù)教育階段,收費標準適當(dāng)控制,預(yù)計除書本費、辦公費,初中每生每年可收取元,高中每生每年可收取元.因生源和環(huán)境等條件限制,辦學(xué)規(guī)模以至個班為宜(含個與個).教師實行聘任制.初、高中的教育周期均為三年.請你合理地安排招生計劃,使年利潤最大,大約經(jīng)過多少年可以收回全部投資? 參考答案 1.【解題思路】首先根據(jù)題中所給的約束條件,畫出相應(yīng)的可行域,再將目標函數(shù)化成斜截式,之后在圖中畫出直線,在上下移動的過程中,結(jié)合的幾何意義,可以發(fā)現(xiàn)直線過B點時取得最大值,聯(lián)立方程組,求得點B的坐標代入目標函數(shù)解析式,求得最大值. 【答案】根據(jù)題中所給的約束條件,畫出其對應(yīng)的可行域,如圖所示: 由可得, 畫出直線,將其上下移動, 結(jié)合的幾何意義,可知當(dāng)直線過點B時,取得最大值, 由,解得, 此時,故答案為6. 2.【解題思路】x2+y2可看做點(x, y)到(0,0)的距離的平方. 【答案】 作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示: x2+y2表示區(qū)域內(nèi)點到原點距離的平方,由得A(3,-1). 由圖形知,(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故選C. 3.【解題思路】首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,將函數(shù)圖像畫出來,從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立,一定會有,從而求得結(jié)果. 【答案】 將函數(shù)f(x)的圖像畫出來,觀察圖像可知會有,解得, 所以滿足的的取值范圍是,故選D. 4.【解題思路】直接用兩次均值不等式,本題恰好能同時取等號. 【答案】 ∵a,b∈R,ab>0,∴≥=4ab+≥2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號.故填4. 1.【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出,由乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可. 【答案】正項等比數(shù)列的公比為2,若, 故,故,, 故. 當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”成立,故選A. 2.【解題思路】畫出可行域,確定取最小值和最大值時的點. 【答案】 畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示), 結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點A(0,3)處取得最小值z=0-3=-3,在點B(2,0)處取得最大值z=2-0=2.故選B. 3.【解題思路】利用分離參數(shù)法分離出m,轉(zhuǎn)化為求最值問題. 【答案】 由2x2-mx+1>0,得mx<2x2+1, 因為x<0,所以m>=2x+. 又2x+=-≤-2=-2. 當(dāng)且僅當(dāng)-2x=-,即x=-時取等號, 所以m>-2.故選C. 4.【解題思路】分類討論代入不同的函數(shù)解析式,進而求出x的范圍. 【答案】 當(dāng)x>0時,由可得x≥3,當(dāng)x≤0時,由≥1可得x≤0, ∴不等式f(x)≥1的解集為(-∞,0]∪[3,+∞).故填(-∞,0]∪[3,+∞). 5.【解題思路】(1)畫出可行域,將目標函數(shù)變形為,故最大值,直線縱截距最大,故將直線經(jīng)過可行域盡可能地向上平移到點時,此時最大,將點坐標帶入即可,表示可行域內(nèi)的點到原點距離的平方,觀察可行域內(nèi)的點并將與原點距離最小的點的坐標帶入目標函數(shù)即可;(2)函數(shù)解析式化為,由圖像得只需,解不等式得的取值范圍. 【答案】(1)由,得∴,由,得∴, 由,得,∴,可行域為如圖, ∵,又∵,∴,是軸的截距,, ∴過點時,,∵是表示區(qū)域M上的點到原點距離平方. 如圖使所求距離的平方最小,∴. (2)∵,過區(qū)域中的點,而區(qū)域中, 又∵,函數(shù)圖象過點,, 當(dāng)時,,, ∴滿足過區(qū)域M中的點,只須圖象與射線,有公共點. ∴只須時, ,∴,∴所求的取值范圍是. 1.【解題思路】畫出可行域,確定何時取最小值. 【答案】 由題畫出可行域如圖所示,可知目標函數(shù)過點時取得最小值, 由題,∴,選C. 2.【解題思路】x2+y2可看做點(x, y)到(0, 0)的距離的平方,也可利用均值不等式. 【答案】 法一 ∵x≥0,y≥0且x+y=1. ∴2≤x+y=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=時取等號,從而0≤xy≤, 因此x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy,所以≤x2+y2≤1. 法二 可轉(zhuǎn)化為線段AB上的點到原點距離平方的范圍,AB上的點到原點距離的范圍為,則x2+y2的取值范圍為. 故填 . 3.【解題思路】y=3x+b化為b=-3x+y即為目標函數(shù),畫出可行域,確定取最小值時的點. 【答案】 作x=|y-1|與y=2x-5圍成的平面區(qū)域如圖, 由解得A(6,7), 平移直線y=3x+b,則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點A時,直線y=3x+b在y軸上的截距最小,此時b最?。? ∴b=-3x+y的最小值為-18+7=-11. 故填-11. 4.【解題思路】(1)先求導(dǎo)數(shù),并化簡不等式得,再根據(jù)一元二次不等式恒成立得,最后利用基本不等式得結(jié)論.(2)先討論時,不等式恒成立,再討論時,利用變量分離法將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最值即得M的取值范圍,最后確定M的最小值. 【答案】?。?)易知.由題設(shè),對任意的,,即恒成立,所以,從而. 于是,且,因此. (2)由(1)知,.當(dāng)時,有. 令,則,.而函數(shù)的值域是. 因此,當(dāng)時,的取值集合為. 當(dāng)時,由(1)知,,. 此時或0,,從而恒成立. 綜上所述,的最小值為. 5.【解題思路】根據(jù)設(shè)初中編個班,高中編制為個班,得出二元一次方程組, 又設(shè)年利潤為萬元,那么,即, 根據(jù)線性規(guī)劃可得年利潤最大值, 利用可得大約經(jīng)過36年可以收回全部投資. 【答案】設(shè)初中編制為個班,高中編制為個班.則依題意有,(*) 又設(shè)年利潤為萬元,那么,即, 在直角坐標系中作出(*)所表示的可行域,如圖所示. 問題轉(zhuǎn)化為在如圖所示的陰影部分中,求直線在軸上的截距的最大值, 如圖,虛線所示的為一組斜率為的直線,顯然當(dāng)直線過圖中的點時,縱截距取最大值. 解聯(lián)立方程組得, 將,代入s中得,,. 設(shè)經(jīng)過年可收回投資,則 第年利潤為(萬元); 第2年利潤為(萬元), 以后每年的利潤均為萬元,故依題意應(yīng)有. 解得. 答:學(xué)校規(guī)模以初中個班、高中個班為宜,第一年初中招生個班約人,高中招生個班約,從第三年開始年利潤為萬元,約經(jīng)過年可以收回全部投資.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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