2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時作業(yè)39 數(shù)學(xué)歸納法 理.doc
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課時作業(yè)39 數(shù)學(xué)歸納法 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n+1,n的第一個取值應(yīng)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵n=1時,21=2,21+1=3,2n>2n+1不成立; n=2時,22=4,22+1=5,2n>2n+1不成立; n=3時,23=8,23+1=7,2n>2n+1成立. ∴n的第一個取值應(yīng)是3. 答案:C 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”的第二步是( ) A.假使n=2k+1時正確,再推n=2k+3時正確(其中k∈N*) B.假使n=2k-1時正確,再推n=2k+1時正確(其中k∈N*) C.假使n=k時正確,再推n=k+1時正確(其中k∈N*) D.假使n=k時正確,再推n=k+2時正確(其中k∈N*) 解析:因為n為正奇數(shù),根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟,第二步應(yīng)先假設(shè)第k個正奇數(shù)也成立,即假設(shè)n=2k-1時正確,再推第k+1個正奇數(shù),即n=2k+1時正確. 答案:B 3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1),n∈N*”時,從“n=k”變成“n=k+1”時,左邊應(yīng)增乘的因式是( ) A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 解析:當(dāng)n=k(k∈N*)時, 左式為(k+1)(k+2)…(k+k); 當(dāng)n=k+1時,左式為(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1), 則左式應(yīng)增乘的式子是=2(2k+1). 答案:B 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:首項是a1,公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn=na1+d時,假設(shè)當(dāng)n=k時,公式成立,則Sk=( ) A.a(chǎn)1+(k-1)d B. C.ka1+d D.(k+1)a1+d 解析:假設(shè)當(dāng)n=k時,公式成立,只需把公式中的n換成k即可,即Sk=ka1+d. 答案:C 5.凸n邊形有f(n)條對角線,則凸(n+1)邊形的對角線的角數(shù)f(n+1)為( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 解析:邊數(shù)增加1,頂點也相應(yīng)增加1個,它與和它不相鄰的n-2個頂點連接成對角線,原來的一條邊也成為對角線,因此,對角線增加n-1條. 答案:C 二、填空題 6.用數(shù)學(xué)歸納法證明++…+>(n>1且n∈N*)時,第一步要證明的不等式是________. 解析:∵n>1,∴第一步應(yīng)證明當(dāng)n=2時不等式成立,即+++>. 答案:+++> 7.用數(shù)學(xué)歸納法證明++…+>-.假設(shè)n=k時,不等式成立,則當(dāng)n=k+1時,應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________. 解析:觀察不等式左邊的分母可知,由n=k到n=k+1左邊多出了這一項. 答案:++…++>- 8.對任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,則最小的自然數(shù)a=________. 解析:當(dāng)n=1時,36+a3能被14整除的數(shù)為a=3或5;當(dāng)a=3且n=2時,310+35不能被14整除,故a=5. 答案:5 三、解答題 9.證明:1-+-+…+-=++…+(n∈N*). 證明:①當(dāng)n=1時,左邊=1-=,右邊=,等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且k≥1)時等式成立. 即1-+…+-=++…,則當(dāng)n=k+1時, 左邊=1-+…+-+- =++…++- =+…+++ =++…++, ∴當(dāng)n=k+1時等式也成立, 由①②知,對一切n∈N*等式都成立. 10.求證:++…+>(n≥2,n∈N*). 證明:(1)當(dāng)n=2時,左邊=+=>,不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時成立, 即++…+>. 則當(dāng)n=k+1時,++…++++->++- =+-=+>. ∴當(dāng)n=k+1時,不等式也成立. 由(1)(2)可知,對一切n≥2,n∈N*均成立,故原不等式成立. [能力挑戰(zhàn)] 11.已知數(shù)列{an}中,a1=5,Sn-1=an(n≥2且n∈N*). (1)求a2,a3,a4并由此猜想an的表達(dá)式. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項公式. 解析:(1)a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=20. 猜想:an=52n-2(n≥2,n∈N*) (2)①當(dāng)n=2時,a2=522-2=5成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立,即ak=52k-2(k≥2且k∈N*) 則n=k+1時, ak+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+5+10+…+52k-2=5+=52k-1. 故當(dāng)n=k+1時,猜想也成立. 由①②可知,對n≥2且n∈N*, 都有an=52n-2, 于是數(shù)列{an}的通項公式為 an=- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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