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1、
學業(yè)分層測評(三)
(建議用時:45分鐘)
[學業(yè)達標]
一、選擇題
1.極坐標方程ρ=1表示( )
A.直線 B.射線
C.圓 D.橢圓
【解析】 由ρ=1,得ρ2=1,即x2+y2=1,故選C.
【答案】 C
2.過極點且傾斜角為的直線的極坐標方程可以為( )
A.θ= B.θ=,ρ≥0
C.θ=,ρ≥0 D.θ=和θ=,ρ≥0
【解析】 以極點O為端點,所求直線上的點的極坐標分成兩條射線.
∵兩條射線的極坐標方程為θ=和θ=π,
∴直線的極坐標方程為θ=和θ=π(ρ≥0).
【答案】 D
3.在極坐標系中,圓ρ=-2sin θ
2、的圓心的極坐標是( )
A. B.
C.(1,0) D.(1,π)
【解析】 由ρ=-2sin θ得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐標方程為x2+y2=-2y,化成標準方程為x2+(y+1)2=1,圓心坐標為(0,-1),其對應的極坐標為.
【答案】 B
4.在極坐標系中,圓ρ=2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為( )
A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2
B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1
D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1
【解析】 由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,化為直角坐標方程為x2+y2
3、-2x=0,即(x-1)2+y2=1,其垂直于極軸的兩條切線方程為x=0和x=2,相應的極坐標方程為θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2.
【答案】 B
5.在極坐標系中與圓ρ=4sin θ相切的一條直線的方程為( )
【導學號:91060008】
A.ρcos θ= B.ρcos θ=2
C.ρ=4sin D.ρ=4sin
【解析】 極坐標方程ρ=4sin θ化為ρ2=4ρsin θ,即x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.
由所給的選項中ρcos θ=2知,x=2為其對應的直角坐標方程,該直線與圓相切.
【答案】 B
二、填空題
6.在極坐標系中,圓ρ=4被直線θ
4、=分成兩部分的面積之比是________.
【解析】 ∵直線θ=過圓ρ=4的圓心,
∴直線把圓分成兩部分的面積之比是1∶1.
【答案】 1∶1
7.(2016·惠州模擬)若直線l的極坐標方程為ρcosθ-=3,曲線C:ρ=1上的點到直線l的距離為d,則d的最大值為________.
【解析】 直線的直角坐標方程為x+y-6=0,曲線C的方程為x2+y2=1,為圓;d的最大值為圓心到直線的距離加半徑,即為dmax=+1=3+1.
【答案】 3+1
8.在極坐標系中,圓ρ=4sin θ的圓心到直線θ=(ρ∈R)的距離是________.
【解析】 極坐標系中的圓ρ=4sin θ轉化
5、為平面直角坐標系中的一般方程為:x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,其圓心為(0,2),直線θ=轉化為平面直角坐標系中的方程為y=x,即x-3y=0,
∴圓心(0,2)到直線x-3y=0的距離為=.
【答案】
三、解答題
9.(2016·銀川月考)在直角坐標系xOy中,以O為極點,x正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρcos=1,M,N分別為C與x軸,y軸的交點.
(1)寫出C的直角坐標方程,并求M,N的極坐標;
(2)設MN的中點為P,求直線OP的極坐標方程.
【解】 (1)由ρcos=1,
得ρ=1.
又x=ρcos θ,y=ρsin θ,
∴曲線
6、C的直角坐標方程為+y=1,
即x+y-2=0.
當θ=0時,ρ=2,∴點M(2,0).
當θ=時,ρ=,∴點N.
(2)由(1)知,M點的坐標(2,0),點N的坐標.
又P為MN的中點,
∴點P,則點P的極坐標為.
所以直線OP的極坐標方程為θ=(ρ∈R).
10.(2016·南通期中)在極坐標系下,已知圓O:ρ=cos θ+sin θ和直線l:ρsin=,
(1)求圓O和直線l的直角坐標方程;
(2)當θ∈(0,π)時,求直線l與圓O公共點的一個極坐標.
【解】 (1)由ρ=cos θ+sin θ,可得ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
又代入得⊙O:x2+y2-x
7、-y=0,
由l:ρsin=,得:ρsin θ-ρcos θ=,ρsin θ-ρcos θ=1,
又代入得:x-y+1=0.
(2)由解得
又得
又因為θ∈(0,π),則θ=,故為.
[能力提升]
1.在極坐標系中,曲線ρ=4sin關于( )
A.直線θ=對稱 B.直線θ=對稱
C.點對稱 D.極點對稱
【解析】 由方程ρ=4sin,
得ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ,
即x2+y2=2y-2x,
配方,得(x+)2+(y-1)2=4.
它表示圓心在(-,1)、半徑為2且過原點的圓,
所以在極坐標系中,它關于直線θ=成軸對稱.
【答案】 B
2.(20
8、16·湛江模擬)在極坐標方程中,曲線C的方程是ρ=4sin θ,過點作曲線C的切線,則切線長為( )
A.4 B.
C.2 D.2
【解析】 ρ=4sin θ化為直角坐標方程為x2+(y-2)2=4,點化為直角坐標為(2,2),切線長、圓心到定點的距離及半徑構成直角三角形,由勾股定理:切線長為=2.
【答案】 C
3.在極坐標系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲線ρ=2sin θ與ρcos θ=-1的交點的極坐標為________.
【解析】 由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,
其直角坐標方程為x2+y2=2y,
ρcos θ=-1的直角坐標方程為x=-1,
聯(lián)
9、立
解得點(-1,1)的極坐標為.
【答案】
4.在極坐標系中,O為極點,已知圓C的圓心為,半徑r=1,P在圓C上運動.
(1)求圓C的極坐標方程;
(2)在直角坐標系(與極坐標系取相同的長度單位,且以極點O為原點,以極軸為x軸正半軸)中,若Q為線段OP的中點,求點Q軌跡的直角坐標方程.
【解】 (1)設圓C上任一點坐標為(ρ,θ),由余弦定理得12=ρ2+22-2·2ρcos,
所以圓的極坐標方程為ρ2-4ρcos+3=0.
(2)設Q(x,y),則P(2x,2y),由于圓C的直角坐標方程為(x-1)2+(y-)2=1,P在圓C上,所以(2x-1)2+(2y-)2=1,則Q的直角坐標方程為+=.
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