2019年高中數學 第7章 數系的擴充與復數 7.4 復數的幾何表示講義(含解析)湘教版選修1 -2.doc
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7.4復數的幾何表示 [讀教材填要點] 1.復平面的定義 建立直角坐標系來表示復數的平面叫作復平面. x軸叫作實軸,y軸叫作虛軸,實軸上的點都表示實數;除原點外,虛軸上的點都表示純虛數. 2.復數的幾何意義 (1)復數z=a+bi(a,b∈R)一一對應復平面內的點P(a,b); (2)復數z=a+bi(a,b∈R)一一對應平面向量=(a,b). 3.復數的模 復數z=a+bi(a,b∈R)對應的向量為,則的模叫作復數z的模,記作|z|, 且|z|=. 4.共軛復數 (1)定義及記憶:對于任意復數z=a+bi(a,b∈R),將復數a-bi稱為原來的復數z的共軛復數,記作:. (2)性質:①=z; ②復平面上兩點P,Q關于x軸對稱?它們所代表的復數相互共軛. 5.復數加減法的幾何意義 如圖:設復數z1,z2對應向量分別為,,四邊形OPSQ為平行四邊形,則與z1+z2對應的向量是 ,與z1-z2對應的向量是. [小問題大思維] 1.平面向量能夠與復數一一對應的前提是什么? 提示:向量的起點在原點. 2.若復數(a-1)+ai(a∈R)在復平面內對應的點P在第二象限,則a的取值范圍是什么? 提示:由題意知即03. 答案:(3,+∞) 5.復數z=sin -icos ,則|z|=________. 解析:∵z=-i, ∴|z|= =. 答案: 6.在復平面上,復數i,1,4+2i的對應的點分別是A,B,C,求平行四邊形ABCD的D點所對應的復數. 解:法一:由已知A(0,1),B(1,0),C(4,2), 則AC的中點E, 由平行四邊形的性質知E也是BD的中點, 設D(x,y), 則∴ 即D(3,3), ∴D點對應的復數為3+3i. 法二:由已知:=(0,1),=(1,0),=(4,2). ∴=(-1,1),=(3,2). ∴=+=(2,3). ∴=+=(3,3). 即點D對應的復數為3+3i. 一、選擇題 1.若i為虛數單位,如圖中復平面內點Z表示復數z,則表示復數的點是( ) A.E B.F C.G D.H 解析:由題圖可得z=3+i,所以====2-i,則其在復平面上對應的點為H(2,-1). 答案:D 2.已知0<a<2,復數z=a+i(i是虛數單位),則|z|的取值范圍是( ) A.(1,) B.(1,) C.(1,3) D.(1,5) 解析:|z|=, ∵0<a<2, ∴1<a2+1<5,∴|z|∈(1,). 答案:B 3.設復數z滿足條件z+|z|=2+i,那么z等于( ) A.-+i B.-i C.--i D.+i 解析:法一:設z=x+yi(x,y∈R),則 x+yi+=2+i. ∴解得 ∴z=+i. 法二:∵|z|∈R,由復數相等的充要條件可知: 若等式z+|z|=2+i成立,則必有虛部為1, 故可設z=x+i(x∈R),代入原等式有: x+=2, 解得x=,所以z=+i. 答案:D 4.若x,y∈R,i為虛數單位,且x+y+(x-y)i=3-i,則復數x+yi在復平面內所對應的點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵x+y+(x-y)i=3-i, ∴解得 ∴復數1+2i所對應的點在第一象限. 答案:A 二、填空題 5.在復平面內表示復數z=(m-3)+2i的點在直線y=x上,則實數m的值為________. 解析:由表示復數z=(m-3)+2i的點在直線y=x上, 得m-3=2,解得m=9. 答案:9 6.若z+|z|=2,則復數z=________. 解析:設z=a+bi,則a+bi+=2, ∴b=0,a+|a|=2,∴a=1.∴z=1. 答案:1 7.復數z=1+cos α+isin α(π<α<2π)的模的取值范圍為________. 解析:|z|==, ∵π<α<2π, ∴-1- 配套講稿:
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