高中數(shù)學(xué)人教A版選修45學(xué)案：第2講 2 綜合法與分析法 Word版含解析

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1、 二　綜合法與分析法 1．了解綜合法與分析法證明不等式的思考過程與特點(diǎn)．(重點(diǎn)) 2．會用綜合法、分析法證明簡單的不等式．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　綜合法 閱讀教材P23～P23“例2”，完成下列問題． 一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法，又叫順推證法或由因?qū)Чǎ? 設(shè)a，b∈R＋，A＝＋，B＝，則A，B的大小關(guān)系是(　　) A．A≥B B．A≤B C．A＞B D.A＜B 【解析】　A2＝(＋)2＝a＋2＋b，B2＝a＋b， 所以A2＞B2.

2、 又A＞0，B＞0， 所以A＞B. 【答案】　C 教材整理2　分析法 閱讀教材P24～P25“習(xí)題”以上部分，完成下列問題． 證明命題時，我們還常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法． 設(shè)a＝，b＝－，c＝－，那么a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D.b＞c＞a 【解析】　由已知，可得出a＝，b＝，c＝， ∵＋＞＋＞2， ∴b＜c＜a. 【答案】

3、　B [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3

4、：　 解惑：　 [小組合作型] 用綜合法證明不等式 　已知a，b，c是正數(shù)，求證： ≥abc. 【精彩點(diǎn)撥】　由a，b，c是正數(shù)，聯(lián)想去分母，轉(zhuǎn)化證明b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可證．或?qū)⒃坏仁阶冃螢椋輆＋b＋c后，再進(jìn)行證明． 【自主解答】　法一　∵a，b，c是正數(shù)， ∴b2c2＋c2a2≥

5、2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc， ∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)， 即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)． 又a＋b＋c＞0， ∴≥abc. 法二　∵a，b，c是正數(shù)， ∴＋≥2＝2c. 同理＋≥2a，＋≥2b， ∴2≥2(a＋b＋c)． 又a＞0, b＞0，c＞0， ∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)． 故≥abc. 1．綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間、不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換

6、，恰當(dāng)選擇已知不等式(切入點(diǎn))，這是證明的關(guān)鍵． 2．綜合法證明不等式的主要依據(jù)：(1)不等式的基本性質(zhì)；(2)基本不等式及其變形；(3)三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式等． [再練一題] 1．已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝2. 求證：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8. 【證明】　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴1＋a≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時，取等號， 1＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時，取等號， 1＋c≥2，當(dāng)且僅當(dāng)c＝1時，取等號． ∵abc＝2， ∴a，b，c不能同時取1，∴“＝”不同時成立． ∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8＝8. 即(1＋a)(1＋b)(

7、1＋c)＞8. 綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 　設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求證：loga(ax＋by)＜＋loga2. 【精彩點(diǎn)撥】　要證的不等式為對數(shù)不等式，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，先用分析法探路，轉(zhuǎn)化為要證明一個簡單的結(jié)論，然后再利用綜合法證明． 【自主解答】　由于0＜a＜1，則t＝logax(x＞0)為減函數(shù)． 欲證loga(ax＋ay)＜＋loga2，只需證ax＋ay＞2a. ∵y＋x2＝0,0＜a＜1， ∴x＋y＝x－x2＝－＋≤. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時，(x＋y)max＝， ∴ax＋y≥a，≥a.① 又ax＋ay≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)取等號), ② ∴ax＋

8、ay≥2a.③ 由于①，②等號不能同時成立， ∴③式等號不成立，即ax＋ay＞2a成立． 故原不等式loga(ax＋ay)＜＋loga2成立． 1．通過等式或不等式運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明．體現(xiàn)了分析法與綜合法之間互為前提、互相滲透、相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系． 2．函數(shù)與不等式綜合交匯，應(yīng)注意函數(shù)性質(zhì)在解題中的運(yùn)用． [再練一題] 2．已知a，b，c都是正數(shù)，求證：2≤3－. 【證明】　法一　要證2≤3－，只需證a＋b－2≤a＋b＋c－3， 即－2≤c－3， 移項(xiàng)，得c＋2≥3. 由a，b，c都為正數(shù)，得c＋2＝c＋＋≥3，

9、∴原不等式成立． 法二　∵a，b，c都是正數(shù)， ∴c＋＋≥3＝3， 即c＋2≥3， 故－2≤c－3， ∴a＋b－2≤a＋b＋c－3， ∴2≤3. [探究共研型] 分析法證明不等式 探究1　如何理解分析法尋找的是充分條件？ 【提示】　用分析法證明，其敘述格式是：要證明A，只需證明B.即說明只要有B成立，就一定有A成立．因此分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件．分析法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“正難則反”的原則，也是思維中的逆向思維，逆求(不是逆推)結(jié)論成立的充分條件． 探究2　綜合法與分析法有何異同點(diǎn)？ 【提示】　綜合法與分析法的異同點(diǎn) 方法 證明的起始步驟 證

10、法過程前后邏輯關(guān)系 證題方向 綜合法 已知條件或已學(xué)過的定義、定理、性質(zhì)等 格式：A?B1?B2?…?Bn?B 由已知條件開始推導(dǎo)其成立的必要條件(結(jié)論) 由因?qū)Ч? 分析法 要證明的結(jié)論 格式：B?B1?B2?…?Bn?A 由結(jié)論開始探索其成立的充分條件(已知) 執(zhí)果索因 　已知a＞b＞0，求證：＜－＜. 【精彩點(diǎn)撥】　本題要證明的不等式顯得較為復(fù)雜，不易觀察出怎樣由a＞b＞0得到要證明的不等式，因而可以用分析法先變形要證明的不等式，從中找到證題的線索． 【自主解答】　要證原不等式成立， 只需證＜a＋b－2＜， 即證＜(－)2＜. 只需證＜－＜， 即＜1＜，

11、 即＜1＜. 只需證＜1＜. ∵a＞b＞0，∴＜1＜成立． ∴原不等式成立． 1．解答本題的關(guān)鍵是在不等式兩邊非負(fù)的條件下，利用不等式的開方性質(zhì)尋找結(jié)論成立的充分條件，采用分析法是常用方法．證明過程一要注意格式規(guī)范，二要注意邏輯關(guān)系嚴(yán)密、準(zhǔn)確． 2．當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時，可用分析法來尋找證明途徑．常常利用移項(xiàng)、去分母、平方、開方等方法進(jìn)行分析探路． [再練一題] 3．已知a＞0，求證： －≥a＋－2. 【證明】　因?yàn)閍＞0，要證原不等式成立，只需證 ＋2≥a＋＋， 即證a2＋＋4＋4 ≥＋2＋2，

12、 只需證·≥a＋， 即證2≥a2＋＋2， 只需證a2＋≥2. 由基本不等式知a2＋≥2顯然成立， 所以原不等式成立． [構(gòu)建·體系] 綜合法與分析法— 1．已知a＜0，－1＜b＜0，則(　　) A．a(chǎn)＞ab＞ab2 B．a(chǎn)b2＞ab＞a C．a(chǎn)b＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a 【解析】　∵－1＜b＜0， ∴1＞b2＞0＞b. 又a＜0，∴ab＞ab2＞a. 【答案】　D 2．下列三個不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a.其中能使＜成立的充分條件有(　　) A．①② B．①③ C．②③ D.①②③ 【解析】?、賏＜0＜b?＜；②b＜a＜

13、0?＜；③b＜0＜a?＞.故選A. 【答案】　A 3．已知a，b∈(0，＋∞)，Ρ＝，Q＝，則P，Q的大小關(guān)系是________. 【解析】　∵a＋b≥， ∴≥. 【答案】　P≤Q 4．若＜＜0，則下列不等式： ①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2. 其中正確的有________．(填序號) 【解析】　∵＜＜0，∴b＜a＜0， ∴ 故①正確，②③錯誤． ∵a，b同號且a≠b，∴，均為正， ∴＋＞2＝2.故④正確． 【答案】?、佗? 5．已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求證：c－＜a. 【證明】　要證c－＜a， 只需證明c＜a＋， 即證b－a

14、＜2， 當(dāng)b－a＜0時，顯然成立； 當(dāng)b－a≥0時，只需證明b2＋a2－2ab＜4c2－4ab， 即證(a＋b)2＜4c2， 由2c＞a＋b知上式成立． 所以原不等式成立． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　

15、 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評（七） (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是(　　) A.＜ B．a(chǎn)2＞b2 C.＞ D.a|c|＞b|c| 【解析】　∵a＞b，c2＋1＞0， ∴＞，故選C. 【答案】　C 2．設(shè)＜＜＜1，則(　　) A．a(chǎn)a＜ab＜ba B．a(chǎn)a＜ba＜ab C．a(chǎn)b＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa 【解析】　∵＜＜＜

16、1， ∴0＜a＜b＜1，∴＝aa－b＞1，∴ab＜aa， ＝.∵0＜＜1，a＞0， ∴＜1，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故選C. 【答案】　C 3．已知條件p：ab>0，q：＋≥2，則p與q的關(guān)系是(　　) A．p是q的充分而不必要條件 B．p是q的必要而不充分條件 C．p是q的充要條件 D．以上答案都不對 【解析】　當(dāng)ab>0時，>0，>0， ∴＋≥2 ＝2. 當(dāng)＋≥2時， ∴≥0，≥0， (a－b)2≥0，∴ab>0， 綜上，ab>0是＋≥2的充要條件． 【答案】　C 4．已知a，b∈R＋，那么下列不等式中不正確的是(　　) A.＋≥2 B.

17、＋≥a＋b C.＋≤ D.＋≥ 【解析】　A滿足基本不等式；B可等價變形為(a－b)2(a＋b)≥0，正確；C選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)是A選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確． 【答案】　C 5．已知a，b，c為三角形的三邊且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，則(　　) A．S≥2P B．P＜S＜2P C．S＞P D.P≤S＜2P 【解析】　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 即S≥P. 又三角形中|a－b|＜c，∴a2＋b2－2ab＜c

18、2， 同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2， ∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P. 【答案】　D 二、填空題 6．有以下四個不等式： ①(x＋1)(x＋3)＞(x＋2)2；②ab－b2＜a2；③＞0；④a2＋b2≥2|ab|. 其中恒成立的為________(寫出序號即可)． 【解析】　對于①，x2＋4x＋3＞x2＋4x＋4,3＞4不成立；對于②，當(dāng)a＝b＝0時， 0＜0不成立；③④顯然成立． 【答案】?、邰? 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c為斜邊，則的取值范圍是________． 【解析】　∵a2＋b2＝c2，∴(a＋b)2＝

19、a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，∴≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取等號．又∵a＋b>c，∴>1. 【答案】　(1，] 8．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中項(xiàng)，Q是a，b的正的等比中項(xiàng)，是，的等差中項(xiàng)，則P，Q，R按從大到小的排列順序?yàn)開_______． 【解析】　∵P＝，Q＝，＝＋， ∴R＝≤Q＝≤P＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號． 【答案】　P≥Q≥R 三、解答題 9．設(shè)a＞0，b＞0，c＞0.證明： (1)＋≥； (2)＋＋≥＋＋. 【證明】　(1)∵a＞0，b＞0， ∴(a＋b) ≥2·2＝4， ∴＋≥. (2)由(1)知＋≥， 同時＋≥，＋≥

20、，三式相加得： 2≥＋＋， ∴＋＋≥＋＋. 10．已知a≥1，求證：－＜－. 【證明】　要證原不等式成立， 只要證明＋＜2. 因?yàn)閍≥1，＋＞0,2＞0， 所以只要證明2a＋2＜4a， 即證 ＜a. 所以只要證明a2－1＜a2， 即證－1＜0即可． 而－1＜0顯然成立， 所以－＜－. [能力提升] 1．若xy＋yz＋zx＝1，則x2＋y2＋z2與1的關(guān)系是(　　) A．x2＋y2＋z2≥1 B．x2＋y2＋z2≤1 C．x2＋y2＋z2＝1 D.不確定 【解析】　x2＋y2＋z2＝(x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2)≥(2xy＋2yz＋2zx)＝1，當(dāng)

21、且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝時，取等號． 【答案】　A 2．設(shè)a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，若M＝··，則M的取值范圍是________． 【解析】　∵a＋b＋c＝1， ∴M＝·· ＝·· ＝·· ≥2·2·2＝8， 即M的取值范圍是[8，＋∞)． 【答案】　[8，＋∞) 3．已知|a|＜1，|b|＜1，求證：＜1. 【證明】　要證＜1，只需證|a＋b|＜|1＋ab|， 只需證a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2， 即證(1－a2)－b2(1－a2)＞0， 也就是(1－a2)(1－b2)＞0， ∵|a|＜1，|b|＜1，∴最后一個不等式顯然成立． 因此原不等式成立． 4．若不等式＋＋＞0在條件a＞b＞c時恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 【解】　不等式可化為＋＞. ∵a＞b＞c， ∴a－b＞0， b－c＞0，a－c＞0， ∴λ＜＋恒成立． ∵＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴λ≤4. 故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(－∞，4]． 最新精品資料