2019屆高考物理一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)題型 專題3.6 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的臨界極值問題（1）學(xué)案.doc

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專題3.6 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的臨界極值問題（1） 該類問題主要解決外界提供什么樣以及多大的磁場，使運(yùn)動(dòng)電荷在有限的空間內(nèi)完成規(guī)定偏轉(zhuǎn)程度的要求，一般求解磁場分布區(qū)域的最小面積，它在實(shí)際中的應(yīng)用就是磁約束。 1. 從關(guān)鍵詞找突破口：許多臨界問題，題干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件。 2. 常用方法 ①對稱法：如果磁場邊界是直線，那么粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度與邊界的夾角和射出磁場時(shí)速度和邊界的夾角相等。 ②旋轉(zhuǎn)平移法：當(dāng)帶電粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速率相同而方向不同時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓周半徑是相同的，所以可將圓周以入射點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)或平移，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)平移法”。 ③放縮法：粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速率的變化而變化，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮法”。 【典例1】(2016全國卷Ⅲ) 平面OM和平面ON之間的夾角為30，其橫截面(紙面)如圖所示，平面OM上方存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點(diǎn)向左上方射入磁場，速度與OM成30角。已知該粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場。不計(jì)重力。粒子離開磁場的出射點(diǎn)到兩平面交線O的距離為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 【答案】　D 【解析】　如圖所示， 粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R＝。設(shè)入射點(diǎn)為A，出射點(diǎn)為B，圓弧與ON的交點(diǎn)為P。由粒子運(yùn)動(dòng)的對稱性及粒子的入射方向知，AB＝R。 由幾何圖形知，AP＝R，則AO＝AP＝3R，所以O(shè)B＝4R＝。故選項(xiàng)D正確。 【典例2】如圖所示，成30角的直線OA、OB間(含OA、OB線上)有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，OA邊界上的S點(diǎn)有一電子源，在紙面內(nèi)向各個(gè)方向均勻發(fā)射速率相同的電子，電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑為r、周期為T。已知從OB邊界射出的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為，則下列說法正確的是(　　 ) A．沿某一方向發(fā)射的電子，可能從O點(diǎn)射出 B．沿某一方向發(fā)射的電子，可能沿垂直于OB的方向射出 C．從OA邊界射出的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為 D．從OB邊界射出的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為 【答案】BC　 【解析】當(dāng)出射點(diǎn)D與S點(diǎn)的連線垂直于OB時(shí)，弦SD最短，軌跡所對的圓心角最小，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，t＝T＝，則θ＝60，如圖1所示： 　 【典例3】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第四象限有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m＝5.010－8 kg、電量為q＝1.010－6 C的帶電粒子，從靜止開始經(jīng)U0＝10 V的電壓加速后，從P點(diǎn)沿圖示方向進(jìn)入磁場，已知OP＝30 cm，(粒子重力不計(jì)，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8)，求： (1)帶電粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)速度v的大??； (2)若磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝2.0 T，粒子從x軸上的Q點(diǎn)離開磁場，求OQ的距離； (3)若粒子不能進(jìn)入x軸上方，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′滿足的條件。 【答案】　(1)20 m/s　(2)0.90 m (3)B′>5.33 T(取“≥”也可) 【解析】　(1)對帶電粒子的加速過程， 由動(dòng)能定理qU0＝mv2 代入數(shù)據(jù)得：v＝20 m/s。 (2)帶電粒子僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有： qvB＝得R＝ 代入數(shù)據(jù)得：R＝0.50 m 而＝0.50 m 故粒子的軌跡圓心一定在x軸上，粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)速度方向垂直于x軸，軌跡如圖甲所示。 由幾何關(guān)系可知： OQ＝R＋Rsin 53 故OQ＝0.90 m。 (3)帶電粒子不從x軸射出(如圖乙)，由幾何關(guān)系得： OP>R′＋R′cos 53 R′＝ 由以上兩式并代入數(shù)據(jù)得： B′> T≈5.33 T(取“≥”也可)。 【典例4】(2018福州模擬)如圖所示，有一矩形區(qū)域abcd，水平邊長為s＝ m，豎直邊長為h＝1 m，當(dāng)該區(qū)域只存在大小為E＝10 N/C、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場時(shí)，一比荷為＝0.1 C/kg的正粒子由a點(diǎn)沿ab方向以速率v0進(jìn)入該區(qū)域，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡恰好通過該區(qū)域的幾何中心。當(dāng)該區(qū)域只存在勻強(qiáng)磁場時(shí)，另一個(gè)比荷也為＝0.1 C/kg的負(fù)粒子由c點(diǎn)沿cd方向以同樣的速率v0進(jìn)入該區(qū)域，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡也恰好通過該區(qū)域的幾何中心。不計(jì)粒子的重力，則(　　 ) A．正、負(fù)粒子離開矩形區(qū)域時(shí)的速率均為 m/s B．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 T，方向垂直紙面向外 C．正、負(fù)粒子各自通過矩形區(qū)域所用時(shí)間之比為 D．正、負(fù)粒子各自離開矩形區(qū)域時(shí)的動(dòng)能相等 【答案】C 邊射出時(shí)：h＝t′2，代入數(shù)據(jù)得t′＝ s，由上述分析，負(fù)粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)90后從ab邊射出，時(shí)間t″＝T＝＝ s，所以兩者的時(shí)間之比＝，所以選項(xiàng)C正確；由于正粒子在電場中是做勻加速曲線運(yùn)動(dòng)，所以速度將增加，而負(fù)粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，且兩種粒子的比荷雖然相等，但質(zhì)量大小情況不明，所以兩種粒子離開矩形區(qū)域時(shí)動(dòng)能不相等，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤。 【典例5】(2016全國卷Ⅱ)一圓筒處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向與筒的軸平行，筒的橫截面如圖所示。圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒繞其中心軸以角速度ω順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。在該截面內(nèi)，一帶電粒子從小孔M射入筒內(nèi)，射入時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向與MN成30角。當(dāng)筒轉(zhuǎn)過90時(shí)，該粒子恰好從小孔N飛出圓筒。不計(jì)重力。若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞，則帶電粒子的比荷為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 【答案】　A 【解析】　如圖所示， 粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓弧所對應(yīng)的圓心角由幾何知識知為30，則＝，即＝，選項(xiàng)A正確。 【跟蹤訓(xùn)練】 1.如圖所示，在x>0、y>0的空間有恒定的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于xOy平面向里，大小為B，現(xiàn)有四個(gè)質(zhì)量及電荷量均相同的帶電粒子，由x軸上的P點(diǎn)以不同的初速度平行于y軸射入此磁場，其出射方向如圖所示，不計(jì)重力的影響，則(　　) A．初速度最大的粒子是沿①方向射出的粒子 B．初速度最大的粒子是沿②方向射出的粒子 C．在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的是沿③方向射出的粒子 D．在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的是沿④方向射出的粒子 【答案】A　 2．如圖所示，在一擋板的上方，有磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里。為上的一個(gè)粒子發(fā)射源，它能連續(xù)垂直磁場方向發(fā)射速率為、質(zhì)量為、帶電量為的粒子，假設(shè)不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用，粒子打到擋板上時(shí)均被擋板吸收。則在垂直于磁場的平面內(nèi)，有粒子經(jīng)過的區(qū)域面積是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意可知粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑，所有粒子在磁場中半徑相同， 由圖可知，由O點(diǎn)射入水平向右的粒子恰好應(yīng)為最右端邊界；隨著粒子的速度方向偏轉(zhuǎn)，粒子轉(zhuǎn)動(dòng)的軌跡圓可認(rèn)為是以O(shè)點(diǎn)為圓心以2R為半徑轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，由幾何圖形可知，帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域的面積為：，故選C. 3. 如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)。一個(gè)帶正電的粒子僅在磁場力的作用下，從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0后剛好從c點(diǎn)射出磁場。現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是(　　) A．若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從cd邊射出磁場 B．若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從ad邊射出磁場 C．若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從bc邊射出磁場 D．若該帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從ab邊射出磁場 【答案】AC　 【解析】如圖所示， 4. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有一垂直紙面向里的圓形勻強(qiáng)磁場(未畫出)，其邊界過原點(diǎn)O和y軸上的點(diǎn)a(0，L)。一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從a點(diǎn)以初速度v0平行于x軸正方向射入磁場，并從x軸上的b點(diǎn)射出磁場，此時(shí)速度的方向與x軸正方向的夾角為60，下列說法正確的是(　　) A．電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 B．電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 C．磁場區(qū)域的圓心坐標(biāo)為 D．電子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心坐標(biāo)為(0，－2L) 【答案】BC　 【解析】 設(shè)電子的軌跡半徑為R，電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示， 由幾何知識，Rcos 60＝R－L，得R＝2L，電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝，而T＝，得：t＝，A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)磁場區(qū)域的圓心坐標(biāo)為(x，y)，其中x＝Rsin 60＝L，y＝，所以磁場圓心坐標(biāo)為，故C正確；由R＝2L，且入射點(diǎn)坐標(biāo)為(0，L)，所以電子的圓周運(yùn)動(dòng)的圓心坐標(biāo)為(0，－L)，故D錯(cuò)誤。 5．如圖所示，在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)方向相反且都垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場分布在以直徑A2A4為邊界的兩個(gè)半圓形區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4與A1A3的夾角為60。一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子以某一速度從Ⅰ區(qū)的邊緣點(diǎn)A1處沿與A1A3成30角的方向射入磁場，隨后該粒子沿垂直于A2A4的方向經(jīng)過圓心O進(jìn)入Ⅱ區(qū)，最后再從A4處射出磁場。已知該粒子從射入到射出磁場所用的時(shí)間為t，求： (1)畫出粒子在磁場Ⅰ和Ⅱ中的運(yùn)動(dòng)軌跡； (2)粒子在磁場Ⅰ和Ⅱ中的軌跡半徑R1和R2的比值； (3)Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小(忽略粒子重力)。 【答案】：(1)見解析　(2)2∶1　(3)　 【解析】(1)畫出粒子在磁場Ⅰ和Ⅱ中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。 (2)設(shè)粒子的入射速度為v，已知粒子帶正電，故它在磁場中先順時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，再逆時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，最后從A4點(diǎn)射出，用B1、B2，R1、R2，T1、T2分別表示在磁場Ⅰ、Ⅱ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度、軌跡半徑和周期。 設(shè)圓形區(qū)域的半徑為r，已知帶電粒子過圓心且垂直于A2A4進(jìn)入Ⅱ區(qū)磁場，連接A1A2，△A1OA2為等邊三角形，A2為帶電粒子在Ⅰ區(qū)磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心， 由幾何關(guān)系知，其半徑R1＝A1A2＝OA2＝r 粒子在Ⅱ區(qū)磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R2＝ 即＝2∶1。 圓心角∠A1A2O＝60，帶電粒子在Ⅰ區(qū)磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1＝T1 在Ⅱ區(qū)磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2＝T2 帶電粒子從射入到射出磁場所用的總時(shí)間t＝t1＋t2 由以上各式可得B1＝，B2＝。