新編高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I 學(xué)案9

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案9　冪函數(shù) 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象，了解它們的變化情況． 自主梳理 1．冪函數(shù)的概念 形如______的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中____是自變量，____是常數(shù)． 2．冪函數(shù)的性質(zhì) (1)五種常見冪函數(shù)的性質(zhì)，列表如下： 定義域 值域 奇偶性 單調(diào)性 過定點(diǎn) y＝x R R 奇 ↗ (1,1) y＝x2 R [0，＋∞) 偶 [0，＋∞)↗ (－∞，0]↙ y＝x3 R R 奇 ↗ y＝ [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非

2、偶 [0，＋∞)↗ y＝x－1 (－∞，0) ∪(0，＋∞) (－∞，0) ∪(0，＋∞) 奇 (－∞，0)↙ (0，＋∞)↙ (2)所有冪函數(shù)在________上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在第____象限無圖象． (3)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過點(diǎn)________________，并且在區(qū)間(0，＋∞)上是________，α<0時(shí)，冪函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，圖象________原點(diǎn)． 自我檢測 1．(2011·石家莊月考)如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，±四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為

3、 (　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ 2．已知函數(shù)：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝.則下列函數(shù)圖象(在第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號的正確對應(yīng)順序是 (　　) A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①② 3．(2011·滄州模擬)設(shè)α∈{－1,1，，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有α值為

4、 (　　) A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 4．與函數(shù)y＝的圖象形狀一樣的是 (　　) A．y＝2x B．y＝log2x C．y＝ D．y＝x＋1 5．已知點(diǎn)(，3)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式是 (　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x－3 C．f(x)＝ D．f(x)＝ 探究點(diǎn)一　冪函數(shù)的定義與圖象 例1　已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過點(diǎn)(2，)． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)求當(dāng)x為何值時(shí)：①f(x)

5、>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)

6、_． 探究點(diǎn)三　冪函數(shù)的綜合應(yīng)用 例3　(2011·葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)＝(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足<的a的范圍． 變式遷移3　已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈N*) (1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性； (2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍． 1．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)． 2．在(0,1)上，冪函數(shù)中

7、指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．右圖是函數(shù)y＝ (m，n∈N*，m、n互質(zhì))的圖象，則 (　　) A．m，n是奇數(shù)，且<1 B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且>1

8、C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且<1 D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且>1 2．(2010·陜西)下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對任意的x>0，y>0，函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是 (　　) A．冪函數(shù) B．對數(shù)函數(shù) C．指數(shù)函數(shù) D．余弦函數(shù) 3．下列函數(shù)圖象中，正確的是 (　　) 4．(2010·安徽)設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是 (　　) A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>c C．c>a>b D．b>c>a 5．下列命題中正確的是 (　

9、　) ①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)； ②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限； ③當(dāng)n＝0時(shí)，函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線； ④冪函數(shù)y＝xn當(dāng)n>0時(shí)是增函數(shù)； ⑤冪函數(shù)y＝xn當(dāng)n<0時(shí)在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減?。? A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2011·邯鄲模擬)若冪函數(shù)y＝的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為________． 7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，則a，b，c的大小

10、順序是________． 8．已知函數(shù)f(x)＝xα(0<α<1)，對于下列命題：①若x>1，則f(x)>1；②若00時(shí)，若f(x1)>f(x2)，則x1>x2；④若0

11、x)>f(x＋3)． 11．(14分)(2011·荊州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(k∈Z)滿足f(2)0，使函數(shù)g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區(qū)間[－1,2]上的值域?yàn)閇－4，]？若存在，求出q；若不存在，請說明理由． 答案 自主梳理 1．y＝xα　x　α　2.(2)(0，＋∞)　四　(3)(0,0)，(1,1)　增函數(shù)　不過 自我檢測 1．B　[方法一　由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，n<0時(shí)不過原點(diǎn)，故C3，C4對應(yīng)的n值均為負(fù)

12、，C1，C2對應(yīng)的n值均為正； 由增(減)快慢知n(C1)>n(C2)>n(C3)>n(C4)． 故C1，C2，C3，C4的n值依次為 2，，－，－2. 方法二　作直線x＝2分別交C1，C2，C3，C4于點(diǎn)A1，A2，A3，A4，則其對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)顯然為22,，，2－2，故n值分別為2，，－，－2.] 2．D　[第一個(gè)圖象過點(diǎn)(0,0)，與④對應(yīng)；第二個(gè)圖象為反比例函數(shù)圖象，表達(dá)式為y＝，③y＝x－1恰好符合， ∴第二個(gè)圖象對應(yīng)③； 第三個(gè)圖象為指數(shù)函數(shù)圖象，表達(dá)式為y＝ax，且a>1，①y＝2x恰好符合，∴第三個(gè)圖象對應(yīng)①； 第四個(gè)圖象為對數(shù)函數(shù)圖象，表達(dá)式為y＝logax，

13、且a>1，②y＝log2x恰好符合，∴第四個(gè)圖象對應(yīng)②. ∴四個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)序號的對應(yīng)順序?yàn)棰堍邰佗?] 3．A　4.C　5.B 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解　(1)設(shè)f(x)＝xα， ∵圖象過點(diǎn)(，2)，故2＝()α， 解得α＝2，∴f(x)＝x2. 設(shè)g(x)＝xβ，∵圖象過點(diǎn)(2，)， ∴＝2β，解得β＝－2. ∴g(x)＝x－2. (2)在同一坐標(biāo)系下作出f(x)＝x2與g(x)＝x－2的圖象，如圖所示． 由圖象可知，f(x)，g(x)的圖象均過點(diǎn)(－1，1)和(1,1)． ∴①當(dāng)x>1，或x<－1時(shí)，f(x)>g(x)； ②當(dāng)x＝1，或x＝－1時(shí)，f(x)

14、＝g(x)； ③當(dāng)－130.7. (2)函數(shù)y＝x3是增函數(shù)，

15、∴0.213<0.233. (3)∵， ∴. (4)＝1；0<＝1； <0，∴. 變式遷移2　(1)①0 解析　根據(jù)冪函數(shù)y＝x1.3的圖象， 當(dāng)01時(shí)，y>1，∴1.30.7>1. 于是有0.71.3<1.30.7. 對于冪函數(shù)y＝xm，由(0.71.3)m<(1.30.7)m知，當(dāng)x>0時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)值也增大，∴m>0. 例3　解　∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞減， ∴m2－2m－3<0，解得－1

16、數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱， ∴m2－2m－3是偶數(shù)， 而22－2×2－3＝－3為奇數(shù)， 12－2×1－3＝－4為偶數(shù)， ∴m＝1. 而y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)， ∴<等價(jià)于a＋1>3－2a>0， 或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a， 解得a<－1或

17、∴m2＋m＝2. 解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1. 由f(2－a)>f(a－1)得 解得1≤a<. ∴a的取值范圍為[1，)． 課后練習(xí)區(qū) 1．C　[由圖象知，函數(shù)為偶函數(shù)， ∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù)． 又函數(shù)圖象在第一限內(nèi)上凸，∴<1.] 2．C　[∵(x＋y)α≠xα·yα， ∴冪函數(shù)f(x)＝xα不具有此性質(zhì)． ∵loga(x＋y)≠logax·logay， ∴對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax不具有此性質(zhì)． ∵ax＋y＝ax·ay，∴指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax具有此性質(zhì)． ∵cos(x＋y)≠cos x·cos y， ∴余弦函數(shù)y＝cos x不具有此性

18、質(zhì)．] 3．C　[對A、B，由y＝x＋a知a>1，可知A、B圖象不正確； D中由y＝x＋a知0c， ∵y＝()x在x∈(－∞，＋∞)遞減， ∴，即c>b， ∴a>c>b.] 5．D 6．1或2 解析　由解得m＝1或2. 經(jīng)檢驗(yàn)m＝1或2都適合． 7．cα>. 又∵x∈(0,1)，∴

19、原點(diǎn)連線的斜率， 當(dāng)0，故④錯(cuò)． 9．解　設(shè)在[－1,1)中，f(x)＝xn， 由點(diǎn)(，)在函數(shù)圖象上，求得n＝3.……………………………………………………(4分) 令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)， ∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(8分) 又f(x)周期為2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3. 即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………………………………………………………(12分) 10．解　由條件知>0， －n2＋2n＋3>0，解得－1

20、…………………………………………(4分) 又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2. 當(dāng)n＝0,2時(shí)，f(x)＝x， ∴f(x)在R上單調(diào)遞增．…………………………………………………………………(8分) ∴f(x2－x)>f(x＋3)轉(zhuǎn)化為x2－x>x＋3. 解得x<－1或x>3. ∴原不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分) 11．解　(1)∵f(2)0，解得－1

21、……………………………………………………………………………(6分) (2)假設(shè)存在q>0滿足題設(shè)，由(1)知 g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]． ∵g(2)＝－1，∴兩個(gè)最值點(diǎn)只能在端點(diǎn)(－1，g(－1))和頂點(diǎn)(，)處取得． ……………………………………………………………………………………………(8分) 而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0， ∴g(x)max＝＝，…………………………………………………………………(12分) g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4. 解得q＝2.∴存在q＝2滿足題意．……………………………………………………(14分)