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第64練 橢圓的幾何性質(zhì)
訓(xùn)練目標
熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)并會應(yīng)用．
訓(xùn)練題型
(1)求離心率的值或范圍；(2)應(yīng)用幾何性質(zhì)求參數(shù)值或范圍；(3)橢圓方程與幾何性質(zhì)綜合應(yīng)用．
解題策略
(1)利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a找等量關(guān)系；(2)利用a2＝b2＋c2及離心率e＝找等量關(guān)系；(3)利用焦點三角形的特殊性找等量關(guān)系.
一、選擇題
1．設(shè)橢圓C：＋＝
3、1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
2．(20xx·衡水調(diào)研)已知橢圓C的中心為O，兩焦點為F1，F(xiàn)2，M是橢圓C上的一點，且滿足||＝2||＝2||，則橢圓C的離心率e等于( )
A. B.
C. D.
3．橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，B是短軸的一個端點，若3＝＋2，則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
4．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的短軸的兩個端點分別為A，B，點C為橢圓上異于A，B的一點，直線AC與直線
4、BC的斜率之積為－，則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
5．(20xx·濰坊模擬)設(shè)F是橢圓＋y2＝1的右焦點，橢圓上的點與點F的最大距離為M，最小距離是m，則橢圓上與點F的距離等于(M＋m)的點的坐標是( )
A．(0，±2) B．(0，±1)
C. D.
6．(20xx·濟南模擬)在橢圓＋＝1內(nèi)，過點M(1，1)且被該點平分的弦所在的直線方程為( )
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
7．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右焦點，離心率為，M是橢圓上一點且MF
5、2與x軸垂直，則直線MF1的斜率為( )
A．± B．±
C．± D．±
8．(20xx·北京海淀區(qū)期末)若橢圓C1：＋＝1(a1>b1>0)和橢圓C2：＋＝1(a2>b2>0)的焦點相同且a1>a2.給出如下四個結(jié)論：
①橢圓C1和橢圓C2一定沒有公共點；
②>；
③a－a＝b－b；
④a1－a2b>0)的左焦點為F，橢圓C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則橢圓C
6、的離心率e＝________.
10．(20xx·廣州聯(lián)考)已知點F為橢圓C：＋y2＝1的左焦點，點P為橢圓C上任意一點，點Q的坐標為(4,3)，則|PQ|＋|PF|取最大值時，點P的坐標為________．
11．(20xx·黑龍江哈六中上學(xué)期期末)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點P使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為____________．
12．橢圓C：＋＝1的左、右頂點分別為A1、A2，點P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是________.
答案精析
1．
7、D [根據(jù)橢圓的定義以及三角知識求解．
由題意知sin 30°＝＝，∴|PF1|＝2|PF2|.
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝.
∴tan 30°＝＝＝.
∴＝，故選D.]
2．D [不妨設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)．由橢圓定義，得||＋||＝2a，再結(jié)合條件可知||＝||＝.如圖，過M作MN⊥OF2于N，
則||＝，||2＝||2－.
設(shè)||＝x，則||＝2x.
在Rt△MF1N中，4x2＝c2＋x2－，
即3x2＝2c2，而x2＝，
所以a2＝2c2，即e2＝＝，
所以e＝，故選D.]
3．D [不妨設(shè)B(0，b)，則＝(－c，－b)
8、，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，
由條件可得－3c＝－a＋2c，∴a＝5c，故e＝.]
4．A [設(shè)C(x0，y0)，A(0，b)，B(0，－b)，則＋＝1.故x＝a2×(1－)＝a2×，
又kAC·kBC＝×＝＝－，故a2＝4b2，c2＝a2－b2＝3b2，
因此e＝＝＝，故選A.]
5．B [由題意可知橢圓上的點到右焦點F的最大距離為橢圓長軸的左端點到F的距離．
故M＝a＋c＝2＋，最小距離為橢圓長軸的右端點到F的距離，即m＝a－c＝2－.
故(M＋m)＝·(2＋＋2－)＝2.易知點(0，±1)滿足要求，故選B.]
6．C [設(shè)弦的兩個端點的坐標分別是(x1，y1)，(
9、x2，y2)，則有＋＝1，＋＝1，兩式相減得＋＝0.又x1＋x2＝y(tǒng)1＋y2＝2，
因此＋＝0，即＝－，所求直線的斜率是－，
弦所在的直線方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故選C.]
7．C [由離心率為可得＝，可得＝，即b＝a，因為MF2與x軸垂直，故點M的橫坐標為c，故＋＝1，解得y＝±＝±a，則M(c，±a)，直線MF1的斜率為
＝±＝±×2＝±，故選C.]
8．B [由已知條件可得a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，而a1>a2，可知兩橢圓無公共點，即①正確；由a－b＝a－b，可得a＋b＝b＋a，則a1b2，a2b1的大小關(guān)系不確定，>不正確，即②不正確；
10、又由a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，即③正確；∵a1>b1>0，a2>b2>0，∴a1＋a2>b1＋b2>0，而又由(a1＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a2
11、PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2.
當P為線段QE的延長線與橢圓的交點時，|PQ|＋|PF|取最大值，
此時，直線PQ的方程為y＝x－1，QE的延長線與橢圓交于點(0，－1)，
即點P的坐標為(0，－1)．
11．(－1,1)
解析 由＝，得＝.
又由正弦定理得＝，所以＝，
即|PF1|＝|PF2|.
又由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因為|PF2|是△PF1F2的一邊，
所以有2c－<<2c＋，
即c2＋2ac－a2>0，
所以e2＋2e－1>0(0
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