2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 拋物線及其標準方程學案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

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2．3.1　拋物線及其標準方程 學習目標　1.掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念.2.掌握拋物線的標準方程的求法.3.明確拋物線標準方程中p的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標準方程問題． 知識點一　拋物線的定義 平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線． 知識點二　拋物線的標準方程 圖形 標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 焦點坐標 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 1．在平面內(nèi)，點P到點F和到直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(　　) 2．拋物線其實就是雙曲線的一支．(　　) 3．拋物線的標準方程只需焦點到準線的距離p就可以確定．(　　) 題型一　求拋物線的標準方程 例1　分別求符合下列條件的拋物線的標準方程． (1)經(jīng)過點(－3，－1)； (2)焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標軸的交點． 考點　拋物線的標準方程 題點　求拋物線的方程 解　(1)因為點(－3，－1)在第三象限， 所以設(shè)所求拋物線的標準方程為 y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 若拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)， 則由(－1)2＝－2p(－3)，解得p＝； 若拋物線的標準方程為x2＝－2py(p>0)， 則由(－3)2＝－2p(－1)，解得p＝. 故所求拋物線的標準方程為y2＝－x或x2＝－9y. (2)對于直線方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以拋物線的焦點為(0，－3)或(4,0)． 當焦點為(0，－3)時，＝3，所以p＝6， 此時拋物線的標準方程為x2＝－12y； 當焦點為(4,0)時，＝4，所以p＝8， 此時拋物線的標準方程為y2＝16x. 故所求拋物線的標準方程為x2＝－12y或y2＝16x. 反思感悟　求拋物線的標準方程的方法 定義法 根據(jù)定義求p，最后寫標準方程 待定系數(shù)法 設(shè)標準方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù) 直接法 建立恰當?shù)淖鴺讼?，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出對應(yīng)方程，化簡方程 注意　當拋物線的焦點位置不確定時，應(yīng)分類討論，也可以設(shè)y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡化討論過程． 跟蹤訓練1　根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標準方程： (1)準線方程為y＝； (2)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5. 考點　拋物線的標準方程 題點　求拋物線的方程 解　(1)易知拋物線的準線交y軸于正半軸，且＝，則p＝，故所求拋物線的標準方程為x2＝－y. (2)已知拋物線的焦點在y軸上，可設(shè)方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，m＝5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y和x2＝－10y. 題型二　拋物線定義的應(yīng)用 命題角度1　利用拋物線定義求軌跡(方程) 例2　若位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點M的軌跡方程． 考點　 題點　 解　由于位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動點M到F的距離與它到直線l：x＝－的距離相等．由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線(不包含原點)，其方程應(yīng)為y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故點M的軌跡方程為y2＝2x(x≠0)． 反思感悟　解決軌跡為拋物線問題的方法 拋物線的軌跡問題，既可以用軌跡法直接求解，也可以先將條件轉(zhuǎn)化，再利用拋物線的定義求解．后者的關(guān)鍵是找到滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離且定點不在定直線上的條件，有時需要依據(jù)已知條件進行轉(zhuǎn)化才能得到滿足拋物線定義的條件． 跟蹤訓練2　已知動圓M經(jīng)過點A(3,0)，且與直線l：x＝－3相切，求動圓圓心M的軌跡方程． 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的直接應(yīng)用 解　設(shè)動點M(x，y)，⊙M與直線l：x＝－3的切點為N， 則|MA|＝|MN|， 即動點M到定點A和定直線l：x＝－3的距離相等， ∴點M的軌跡是拋物線，且以A(3,0)為焦點，以直線l：x＝－3為準線， ∴＝3，∴p＝6， 故動圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x. 命題角度2　利用拋物線定義求最值或點的坐標 例3　如圖，已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P(x0，y0)是拋物線上一點． (1)若|PF|＝x0，求x0； (2)已知點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時P點坐標． 考點　求拋物線的最值問題 題點　根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值 解　(1)由題意知拋物線的準線為x＝－，根據(jù)拋物線的定義可得，x0＋＝|PF|＝x0，解得x0＝2. (2)如圖，作PQ⊥l于Q，由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準線l的距離d，由圖可知，求|PA|＋|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|＋d的最小值的問題． 將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝. ∵>2，∴A在拋物線內(nèi)部． 由圖可知，當PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為. 即|PA|＋|PF|的最小值為， 此時P點縱坐標為2，代入y2＝2x，得x0＝2. ∴點P坐標為(2,2)． 引申探究 若將本例中的點A(3,2)改為點(0,2)，求點P到點(0,2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值． 解　由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離． 由圖可知，P點，(0,2)點和拋物線的焦點F三點共線時距離之和最小，所以最小距離d＝＝. 反思感悟　拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離進行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應(yīng)用，如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點與直線上點的連線垂線段最短等． 跟蹤訓練3　拋物線y2＝－2px(p>0)上有一點M的橫坐標為－9，它到焦點的距離為10，求此拋物線方程和M點的坐標． 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的直接應(yīng)用 解　設(shè)焦點為F，M點到準線的距離為d， 則d＝|MF|＝10， 即9＋＝10，∴p＝2， ∴拋物線方程為y2＝－4x. 將M(－9，y)代入拋物線的方程，得y＝6. ∴M點坐標為(－9,6)或(－9，－6)． 拋物線的實際應(yīng)用問題 典例　河上有一拋物線形拱橋，當水面距拱橋頂5m時，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時，小船開始不能通航？ 考點　拋物線的標準方程 題點　拋物線方程的應(yīng)用 解　如圖，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標系． 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 由題意可知，點B(4，－5)在拋物線上， 故p＝，得x2＝－y. 當船面兩側(cè)和拋物線接觸時，船開始不能通航， 設(shè)此時船面寬為AA′，則A(2，yA)， 由22＝－yA，得yA＝－. 又知船面露出水面上的部分高為0.75m， 所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)． 所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時，小船開始不能通航． [素養(yǎng)評析]　首先確定與實際問題相匹配的數(shù)學模型．此問題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關(guān)知識解決此問題，操作步驟為： (1)建系：建立適當?shù)淖鴺讼担? (2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標準方程． (3)計算：通過計算求出拋物線的標準方程． (4)求解：求出需要求出的量． (5)還原：還原到實際問題中，從而解決實際問題. 1．拋物線y＝x2的準線方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 答案　A 解析　由y＝x2，得x2＝4y，則拋物線的焦點在y軸正半軸上，且2p＝4，即p＝2，因此準線方程為y＝－＝－1. 2．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在雙曲線－＝1上，則拋物線方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝8x 答案　D 解析　由題意知拋物線的焦點為雙曲線－＝1的頂點，即為(－2,0)或(2,0)，所以拋物線的方程為y2＝8x或y2＝－8x. 3．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0等于(　　) A．4B．2C．1D．8 答案　C 解析　如圖，F(xiàn)， 過A作AA′⊥準線l， ∴|AF|＝|AA′|， ∴x0＝x0＋＝x0＋， ∴x0＝1. 4．若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離少1，則動點P的軌跡方程是________． 考點　拋物線的定義 題點　由拋物線定義確定軌跡及軌跡方程 答案　y2＝16x 解析　∵點P到點F(4,0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離少1， ∴點P到直線x＝－4的距離和它到點(4,0)的距離相等． 根據(jù)拋物線的定義可得點P的軌跡是以點(4,0)為焦點，以直線x＝－4為準線的拋物線，設(shè)拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)， ∴＝4，∴動點P的軌跡方程為y2＝16x. 5．設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點，求點P到點A(－1，1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值． 解　如圖，易知拋物線的焦點為F(1，0)，準線是x＝－1， 由拋物線的定義知點P到直線x＝－1的距離等于點P到F的距離． 于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P， 使點P到點A(－1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小， 顯然，連接AF與拋物線相交的點即為滿足題意的點， 此時最小值為＝. 1．焦點在x軸上的拋物線，其標準方程可以統(tǒng)設(shè)為y2＝mx(m≠0)，此時焦點為F，準線方程為x＝－；焦點在y軸上的拋物線，其標準方程可以統(tǒng)設(shè)為x2＝my(m≠0)，此時焦點為F，準線方程為y＝－. 2．設(shè)M是拋物線上一點，焦點為F，則線段MF叫做拋物線的焦半徑．若M(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p>0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑|MF|＝x0＋. 3．對于拋物線上的點，利用定義可以把其到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，也可以把其到準線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，因此可以解決有關(guān)距離的最值問題． 一、選擇題 1．拋物線y2＝－8x的焦點坐標是(　　) A．(2,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0) 答案　B 解析　∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦點坐標為(－2,0)． 2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準線經(jīng)過點(－1,1)，則該拋物線焦點坐標為(　　) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) 答案　B 解析　拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－.由題設(shè)知－＝－1，即p＝2，故焦點坐標為.故選B. 3．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為(　　) A.B．1C．2D．4 答案　C 解析　拋物線y2＝2px的準線方程為x＝－，它與圓相切，所以必有3－＝4，p＝2. 4．設(shè)拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是(　　) A．4B．6C．8D．12 答案　B 解析　由拋物線的定義可知，點P到拋物線焦點的距離是4＋2＝6. 5．過點F(0,3)，且和直線y＋3＝0相切的動圓圓心的軌跡方程為(　　) A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y 答案　C 解析　由題意，知動圓圓心到點F(0,3)的距離等于到定直線y＝－3的距離，故動圓圓心的軌跡是以F為焦點，直線y＝－3為準線的拋物線，軌跡方程為x2＝12y. 6．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－B．－1C．－D．－ 答案　C 解析　因為拋物線C：y2＝2px的準線方程為x＝－，且點A(－2,3)在準線上，故＝－2，解得p＝4.所以拋物線方程為y2＝8x，焦點F的坐標為(2,0)，這時直線AF的斜率kAF＝＝－. 7．O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 答案　C 解析　拋物線C的準線方程為x＝－，焦點F(，0)，由|PF|＝4及拋物線的定義知，P點的橫坐標xP＝3，從而縱坐標yP＝2. ∴S△POF＝|OF||yP|＝2＝2. 二、填空題 8．若拋物線y＝ax2的準線方程是y＝2，則a＝________. 答案?。? 解析　y＝ax2可化為x2＝y(tǒng). ∵準線方程為y＝2，∴a<0且－＝2， ∴a＝－. 9．若橢圓＋＝1(p>0)的左焦點在拋物線y2＝2px的準線上，則p為________． 答案　 解析　由題意知，左焦點為，則c＝. ∵a2＝3，b2＝， ∴3＝＋，得p＝. 10．拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是__________． 答案　 解析　拋物線方程化為x2＝y(tǒng)，準線為y＝－.由于點M到焦點的距離為1，所以點M到準線的距離也為1，所以點M的縱坐標等于1－＝. 11．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是________． 考點　求拋物線的最值問題 題點　根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值 答案　2 解析　如圖所示，動點P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為到點F的距離，由圖可知，距離和的最小值，即F到直線l1的距離d＝＝2. 三、解答題 12．已知拋物線的方程如下，求其焦點坐標和準線方程． (1)y2＝－6x； (2)3x2＋5y＝0； (3)y2＝a2x(a≠0)． 考點　拋物線的幾何性質(zhì) 題點　與準線、焦點有關(guān)的簡單幾何性質(zhì) 解　(1)由方程y2＝－6x，知拋物線開口向左， 2p＝6，p＝3，＝， 所以焦點坐標為，準線方程為x＝. (2)將3x2＋5y＝0變形為x2＝－y， 知拋物線開口向下， 2p＝，p＝，＝， 所以焦點坐標為，準線方程為y＝. (3)由方程y2＝a2x(a≠0)知拋物線開口向右， 2p＝a2，p＝，＝， 所以焦點坐標為，準線方程為x＝－. 13．已知拋物線的頂點在原點，它的準線過－＝1的一個焦點，且與x軸垂直．又拋物線與此雙曲線交于點，求拋物線和雙曲線的方程． 考點　拋物線的幾何性質(zhì) 題點　拋物線與其他曲線結(jié)合的有關(guān)問題 解　因為交點在第一象限，拋物線的頂點在原點，其準線垂直于x軸，所以可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)．將點代入方程，得p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x.準線方程為x＝－1.由此知雙曲線方程中c＝1，焦點為(－1,0)，(1,0)，點到兩焦點距離之差2a＝1， 所以雙曲線的標準方程為－＝1. 14．(2018濰坊聯(lián)考)已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線的距離之和的最小值是________． 考點　 題點　 答案?。? 解析　拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心為C(0,4)，半徑r＝1，根據(jù)拋物線的定義可知點P到準線的距離等于點P到焦點F的距離，進而推斷出當P，Q，F(xiàn)三點共線時，點P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點的距離之和最小，為|FC|－r＝－1. 15．已知曲線C上的任意一點到定點F(1,0)的距離與到定直線x＝－1的距離相等． (1)求曲線C的方程； (2)若曲線C上有兩個定點A，B分別在其對稱軸的上、下兩側(cè)，且|FA|＝2，|FB|＝5，求原點O到直線AB的距離． 解　(1)因為曲線C上任意一點到點F(1,0)的距離與到直線x＝－1的距離相等， 所以曲線C的軌跡是以F(1,0)為焦點的拋物線， 且＝1，所以曲線C的方程為y2＝4x. (2)由拋物線的定義結(jié)合|FA|＝2可得，A到準線 x＝－1的距離為2， 即A的橫坐標為1，代入拋物線方程可得y＝2， 即A(1,2)， 同理可得B(4，－4)，故直線AB的斜率k＝＝－2， 故AB的方程為y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0， 由點到直線的距離公式，得原點O到直線AB的距離為＝.