2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)(選修2-2)2.2《直接證明與間接證明》word教案2篇.doc
《2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)(選修2-2)2.2《直接證明與間接證明》word教案2篇.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)(選修2-2)2.2《直接證明與間接證明》word教案2篇.doc(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)(選修2-2)2.2《直接證明與間接證明》word教案2篇 分析法和綜合法是兩種常用的解題方法,但有時候我們常常把這兩種方法結(jié)合起來使用效果更好. 一、用分析法尋找思路,用綜合法表述過程 例1 已知,求證:. 分析:本題用綜合法不容易找到證題思路,因此用分析法探路. 要證原不等式成立, 由,得,,, 因此移項,只需證. 通分,得, 即證. 只需證成立.思路找到. 證明:∵, ∴,, ∴. ∴, 即, ∴. 點評:分析法解題方向較為明確,有利于尋找解題思路;綜合法條理清晰,宜于表述.因此,在實際解題時,通常以分析法為主尋求解題思路,再用綜合法有條理地表述過程. 二、分析法與綜合法聯(lián)合使用 對于那些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題,不論是從“已知”推向“未知”,或者是由“未知”靠攏“已知”,都有一個比較長的思考過程,單靠分析法或綜合法顯得較為困難.為保證探索方向準(zhǔn)確及過程快捷,人們常常把分析法與綜合法兩者并列起來使用,即常采取同時從已知和結(jié)論出發(fā),尋找問題的一個中間目標(biāo).從已知到中間目標(biāo)運用綜合法思索,而由結(jié)論到中間目標(biāo)運用分析法思索,以中間目標(biāo)為橋梁溝通已知與結(jié)論,構(gòu)建出證明的有效路徑.上面所言的思維模式可概括為如下圖所示 綜合法與分析法是邏輯推理的思維方法,它對于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性極為有用.把分析法與綜合法并列起來進行思考,尋求問題的解答途徑,就是人們通常所說的分析、綜合法. 例2 若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證: . 證明:要證, 只需證, 只需證. 又,,. 且上述三式中的等號不全成立,所以 c. 因此. 注:這個證明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是綜合法. 點撥反證法 反證法是一種重要的間接證明方法,下面加以系統(tǒng)歸納,供參考 1.宜用反證法證明的題型 ①易導(dǎo)出與已知矛盾的命題;②否定性命題;③惟一性命題;④至少至多型命題;⑤一些基本定理;⑥必然性命題等 2.步驟 ①假設(shè)命題結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立(反設(shè));②從這個假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾(歸謬);③由矛盾判斷假設(shè)不成立,從而肯定命題的結(jié)論成立(結(jié)論). 3.典例分析 例 求證:a、b、c為正實數(shù)的充要條件是,且和. 分析:由a、b、c為正實數(shù),顯然易得,,.即“必要性”的證明用直接證法易于完成,并不需要用反證法.證明“充分性”時,要綜合三個不等式推出a、b、c是正實數(shù),有些難度,于是,試試反證法. 證明:(1)證必要性.(略) (2)證充分性.假設(shè)a、b、c不全為正實數(shù)(原結(jié)論是a、b、c都是正實數(shù)),由于,則它們只能是二負(fù)一正. 不妨設(shè)且且, 又由于, ∵,∴.① 又∵,∴.② 而, ∴,與的假設(shè)矛盾. ∴假設(shè)不成立,原結(jié)論成立,即a、b、c均為正實數(shù). 說明:如果從①處開始,如下進行推理: ∵,即,又,∴. 則,與①式矛盾. 這樣,矛盾的焦點就發(fā)生在兩部分推理的結(jié)論上了,即自相矛盾;還可以讓矛盾的焦點發(fā)生在已知條件上,從②處開始,于是,與已知矛盾,這個途徑最簡捷. 評注:反證法矛盾的焦點,可以是和“已知條件”或“定義”、“公理”、“定理”、“反面假設(shè)”矛盾,也可以自相矛盾(即兩部分推理的結(jié)果矛盾).其本質(zhì)是,先利用的和剩余者之間的矛盾.究竟先利用哪些好,應(yīng)根據(jù)題目的具體情況決定.順其自然,因勢利導(dǎo),不必拘泥于一格. 直接證明與間接證明精析 在數(shù)學(xué)中,證明是引用一些真實的命題來確定某命題真實性的思維形式.?dāng)?shù)學(xué)常用的證明方法有直接證明與間接證明. 1.直接證明 直接從原命題的條件逐步推得命題成立的,這種證明通常稱為直接證明.常用的直接證明方法有綜合法與分析法. ?。?)綜合法與分析法要點解析表 (2)對分析法證題的說明 “若A成立,則B成立”,此命題用分析法證明的步驟如下:要證明(或為了證明)B成立,只需證明成立(是B成立的充分條件),要證成立,只需證明成立(是成立的充分條件),…,要證明成立,只需證明A成立(A是成立的充分條件),∵A成立,∴B成立. 注:①每一步都是尋求充分不必要條件或充要條件,但絕不能是必要不充分條件; ②在尋求充分條件時,起調(diào)控方向作用的是本題條件.即在一系列可以證明結(jié)論的條件中,與本題條件較為接近的條件,才是我們所需要的; ?、邸爸恍枳C明”、“為了證明”、“∵A成立,∴B成立”類似這些語言必須有,而且要用它們把每一步連結(jié)起來. ?。?)綜合法和分析法的優(yōu)缺點 分析法容易探路,且探路與表述合一,缺點是表述繁瑣,且容易出錯. 綜合法條理清晰,宜于表述,缺點是探路艱難,易生枝節(jié). 因此,在實際解題時,常把二者交互使用,互補優(yōu)缺,形成了分析綜合法.先以分析法為主尋求解題思路,再用綜合法有條理地表述過程.對于較復(fù)雜的問題,可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論,然后通過綜合法由條件證明這個中間結(jié)論,則原命題得證. 2.間接證明 不是從正面論證命題的真實性,而是考慮證明它的等價命題,間接地達到目的.常見的間接證明方法是反證法. 反證法是一種常用的間接證明方法.用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用以下框圖表示: 應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般有下面三個步驟: ?。?)反設(shè)———假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假定原結(jié)論的反面為真; (2)歸謬———從反設(shè)和已知條件出發(fā),經(jīng)過一系列正確的邏輯推理,得出矛盾結(jié)果; ?。?)存真———由矛盾結(jié)果,斷定反設(shè)不真,從而肯定原結(jié)論成立. 注:①反設(shè)要準(zhǔn)確,即取結(jié)論的否定形式時要準(zhǔn)確,有些否定形式需注意全稱量詞與特稱量詞的相互轉(zhuǎn)換. ?、谒f的矛盾結(jié)果,通常是指推出的結(jié)果與公理、定義、定理、條件矛盾或與臨時假定矛盾,以及自相矛盾等各種情況. 反證法往往用于解決正面解決較為困難的問題(正難則反)或需分多種情況討論的問題(如至多、至少等問題)等. 反證法中的“特殊化” 反證法是一種重要的證明方法.反證法的難點在于提出與結(jié)論相反的假設(shè)后,如何合理地展開思路,以便盡快凸現(xiàn)矛盾.筆者認(rèn)為,“特殊化”有時是反證法得以成功的一個重要突破口. 一、特殊值 巧合的數(shù)目,特殊的數(shù)字,個性化的特征,看似純屬偶然,但往往蘊含著正確解法的必然. 例1 設(shè)、是定義上的函數(shù).證明:存在、,使得. 分析:要找出具體的、,難以下手,不妨考慮用反證法 證明:假設(shè)這樣的、不存在.取特殊值,,得. 同理,,, 故, 這是不可能的. 因此,原命題成立. 注:本題反復(fù)利用與這兩個特殊值,并進行湊配,從而推得矛盾“”. 二、特殊運算 某些相對獨立的對象各有各的特點,不足以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),而當(dāng)通過特殊運算使之形成一個整體時,矛盾便暴露無遺了. 1.求和 例2 今有有限個砝碼,它們的總重量是,將它們分別編號為.證明:從這有限個砝碼中必可找出一個編號為的砝碼,它的重量大于. 證明:假設(shè)不存在這樣一個編號,使得相應(yīng)的砝碼重量. 設(shè)共有個砝碼,. 從而,有,,, 累加求和,得,矛盾 . 因此,原命題成立 2.求積 例3 證明:任何三個實數(shù)都不可能同時滿足下列三個不等式:,,. 分析:本題要證明所有的對象都具有同一性質(zhì),無法從正面考慮,宜用反證法. 證明:假設(shè)存在三個實數(shù)同時滿足題設(shè)的三個不等式.將它們的兩端都同時平方,然后分別移項、分解因式得 , ① , ?、? ?。? ③ ?、佗冖鄣?,這顯然是不可能的. 因此,原命題成立. 注:本題所得到的三個不等式,單獨看哪一個都看不出有什么毛病,而一旦把它們求積,矛盾便凸現(xiàn)在眼前了- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請點此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
9.9 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標(biāo),表示該PPT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計者僅對作品中獨創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 直接證明與間接證明 2019 2020 年蘇教版 高中數(shù)學(xué) 選修 2.2 直接 證明 間接 word 教案
鏈接地址:http://zhongcaozhi.com.cn/p-6219268.html