新版高三數(shù)學 第29練 正弦定理、余弦定理練習

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2、 1 第29練 正弦定理、余弦定理 訓練目標 (1)正弦定理、余弦定理；(2)解三角形． 訓練題型 (1)正弦定理、余弦定理及其應用；(2)三角形面積；(3)三角形形狀判斷；(4)解三角形的綜合應用． 解題策略 (1)解三角形時可利用正弦、余弦定理列方程(組)；(2)對已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時要根據圖形和“大邊對大角”判斷解的情況；(3)判斷三角形形狀可通過三

3、角變換或因式分解尋求邊角關系. 一、選擇題 1．(20xx·隆化期中)在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cosC等于(　　) A. B．－ C．－ D．－ 2．北京第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上，已知國歌長度為50秒，升旗手勻速升旗的速度為(　　) A.(米/秒) B.(米/秒) C.(米/秒) D.(米/秒) 3．(20xx·安慶檢測)在△ABC中，內角A、B、C

4、的對邊分別是a、b、c.若a2－c2＝bc，sin B＝2sin C，則A等于(　　) A.π B.π C. D. 4．(20xx·武漢調研)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，則角C等于(　　) A. B. C. D.或 5．(20xx·衡水中學第二學期調研)設銳角△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝1，B＝2A，則b的取值范圍為(　　) A．(，) B．(1，) C．(，2) D．(0,2) 6．(20xx·東營期中)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S表示△ABC的面積，若acos

5、B＋bcosA＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，則B等于(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 7．(20xx·山西大學附中期中)已知三個向量m＝，n＝，p＝共線，其中a、b、c、A、B、C分別是△ABC的三條邊及相對三個角，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．已知點O是△ABC的外接圓圓心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零實數(shù)x，y，使得＝x＋y，且x＋2y＝1，則cos∠BAC的值為(　　) A. B. C. D. 二、填空題 9．△ABC中，A、B、C是其內角，若sin 2

6、A＋sin(A－C)－sin B＝0，則△ABC的形狀是__________________． 10．(20xx·惠州二調)在△ABC中，設角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且∠C＝60°，c＝，則＝________. 11．(20xx·佛山期中)如圖，一艘船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到達B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為________ km. 12．(20xx·吉安期中)在△ABC中，D為BC邊上一點，若△ABD是等邊三角形，且AC＝4，則△ADC的面積的最大值為________. 

7、答案精析 1．D　[由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝2∶3∶4，可設a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)，由余弦定理可得cosC＝＝＝－.] 2．A　[由條件得△ABD中，∠DAB＝45°，∠ABD＝105°，∠ADB＝30°，AB＝10，由正弦定理得BD＝·AB＝20，則在Rt△BCD中，CD＝20×sin 60°＝30，所以速度v＝＝(米/秒)，故選A.] 3．D　[已知sin B＝2sin C，利用正弦定理化簡得b＝2c，代入a2－c2＝bc， 得a2－c2＝6c2，即a＝c，∴cosA＝＝＝. ∵A為三角形內角，∴A＝，故選D.] 4．B

8、　[在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝，即＝，所以b2＋c2－a2＝bc，又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝bc，所以c＝(－1)b

9、sin BcosA＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C＝2Rsin C·sinC，∴sin C＝1，C＝90°.∴S＝ab＝(b2＋c2－a2)，解得a＝b，因此B＝45°. 故選C.] 7．B　[∵m＝與n＝共線，∴acos＝bcos， 由正弦定理，得sin Acos＝sin Bcos， ∵sin A＝2sin cos，sin B＝2sin cos， ∴2sin coscos＝2sin coscos， 化簡，得sin ＝sin . 又0<<，0<<， ∴＝，可得A＝B. 同理，由n＝與p＝共線得到B＝C， ∴A＝B＝C，可得△ABC是等邊三角形．] 8．A　[設線段A

10、C的中點為點D，則直線OD⊥AC. 因為＝x＋y，所以＝x＋2y. 又x＋2y＝1，所以點O、B、D三點共線， 即點B在線段AC的中垂線上，則AB＝BC＝3. 在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝.故選A.] 9．等腰或直角三角形 解析　因為sin 2A＋sin(A－C)－sin B ＝sin 2A＋sin(A－C)－sin(A＋C) ＝2sin AcosA－2sin CcosA ＝2cos A(sin A－sin C)＝0， 所以cosA＝0或sin A＝sin C， 所以A＝或A＝C. 故△ABC為等腰或直角三角形． 10．4 解析　由正弦定理知＝＝2，所以a＝2sin A， 代入得原式＝＝4·＝4. 11．30 解析　依題意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°， 在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30. 12．4 解析　在△ACD中，cos∠ADC＝＝＝－， 整理得AD2＋DC2＝48－AD·DC≥2AD·DC， ∴AD·DC≤16，當且僅當AD＝CD時等號成立， ∴△ADC的面積S＝AD·DC· sin∠ADC＝AD·DC≤4.