新編高三數(shù)學(xué) 第38練 數(shù)列的通項練習(xí)

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1、 第38練 數(shù)列的通項 訓(xùn)練目標 (1)求數(shù)列通項的常用方法；(2)等差、等比數(shù)列知識的深化應(yīng)用． 訓(xùn)練題型 (1)由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項； (2)由數(shù)列的前n項和求通項． 解題策略 求數(shù)列通項的常用方法：(1)公式法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)構(gòu)造法. 一、選擇題 1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則an等于(　　) A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn 2．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n

2、B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋1 3．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，則數(shù)列{an}的通項公式an等于(　　) A．(－2)n－1＋1 B．2n－1＋1 C．(－2)n－1 D．(－2)n＋1－1 4．已知各項均不為零的數(shù)列{an}，定義向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命題中真命題是(　　) A．若?n∈N*總有cn∥bn成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列 B．若?n∈N*總有cn∥bn成立，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列 C．若?n∈N*總有cn⊥bn成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列 D．若?n∈N*總有cn⊥

3、bn成立，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列 5．(20xx·寶雞二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，則數(shù)列{an}的通項公式an等于(　　) A．(n＋1)3 B．(2n＋1)2 C．8n2 D．(2n＋1)2－1 二、填空題 6．數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，則a2 015＝________. 7．定義：稱為n個正數(shù)x1，x2，…，xn的“平均倒數(shù)”，若正項數(shù)列{cn}的前n項的“平均倒數(shù)”為，則數(shù)列{cn}的通項公式cn＝________. n為偶數(shù), n為奇數(shù), 8．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＝

4、 n＝2,3,4，…，設(shè)bn＝a＋1，n＝1,2,3，…，則數(shù)列{bn}的通項公式是________． 9．數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋3n＋4(n∈N*，n≥2)，若存在實數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列，則λ＝________. 三、解答題 10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*. (1)若{an}是遞增數(shù)列，且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，求p的值； (2)若p＝，且{a2n－1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式．  答案精析 1．A　[因為an＋1＝an＋ln， 所

5、以an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－lnn. 又a1＝2，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn－ln 1＝2＋lnn．] 2．B　[由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＝2n＋1－1，當n＝1時，a1＝S1＝3；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝故選B.] 3．A　[an＋1＝－2an＋3， 即為an＋1－1＝－2(an－1)，又a1－1＝1， 所以數(shù)列{an－1}是首項為1，

6、公比為－2的等比數(shù)列， 故an－1＝(－2)n－1， 即an＝(－2)n－1＋1.故選A.] 4．A　[若cn∥bn，可得(n＋1)an＝nan＋1，＝. 即···…··＝···…··.所以an＝na1， 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．易判斷當cn⊥bn時，數(shù)列{an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故選A.] 5．A　[當n＝1時，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，當n≥2時，由4(Sn＋1)＝，得4(Sn－1＋1)＝，兩式相減，得4an＝－， 即＝，所以an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3， 經(jīng)驗證n＝1時也符合，所以an＝(n＋1)3.]

7、 6．－ 解析　由an＋1＝， 得a2＝＝－， a3＝＝＝， a4＝＝＝0， 所以數(shù)列{an}的循環(huán)周期為3. 故a2 015＝a3×671＋2＝a2＝－. 7．4n－1 解析　由已知可得，數(shù)列{cn}的前n項和Sn＝n(2n＋1)，所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，首項c1＝S1＝3，c2＝S2－S1＝10－3＝7，故公差d＝c2－c1＝7－3＝4，得數(shù)列的通項公式為cn＝c1＋(n－1)×4＝4n－1. 8．bn＝2n 解析　由題意得，對于任意的正整數(shù)n，bn＝a＋1， 所以bn＋1＝a＋1， 又a＋1＝2(a＋1)＝2bn， 所以bn＋1＝2bn，又b1＝a1＋1＝2

8、， 所以{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以bn＝2n. 9．2 解析　設(shè)bn＝，得an＝3nbn－λ，代入已知得3nbn－λ＝3(3n－1bn－1－λ)＋3n＋4，變形為3n(bn－bn－1－1)＝－2λ＋4，這個式子對大于1的所有正整數(shù)n都成立．由于{bn}是等差數(shù)列，bn－bn－1是常數(shù)，所以bn－bn－1－1＝0，即－2λ＋4＝0，可得λ＝2. 10．解　(1)因為{an}是遞增數(shù)列， 所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn. 而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1. 又a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，所以4a2＝a1＋3a3， 因而3p2－p＝

9、0，解得p＝或p＝0. 當p＝0時，an＋1＝an， 這與{an}是遞增數(shù)列矛盾，故p＝. (2)由于{a2n－1}是遞增數(shù)列，因而a2n＋1－a2n－1>0， 于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.① 因為<，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.② 由①②知，a2n－a2n－1>0， 因此a2n－a2n－1＝()2n－1＝.③ 因為{a2n}是遞減數(shù)列， 同理可得，a2n＋1－a2n<0， 故a2n＋1－a2n＝－()2n＝.④ 由③④可知，an＋1－an＝. 于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋－＋…＋ ＝1＋· ＝＋·. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝＋·.