三角函數(shù)-三角函數(shù)公式表

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1、常見三角函數(shù) 在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為θ，設OP=r，P點的坐標為(x,y)。 　　在這個直角三角形中，y是θ的對邊，x是θ的鄰邊，r是斜邊，那么可定義以下六種運算方法： 根本函數(shù) 英文 表達式 語言描述 正弦函數(shù) Sine sin θ=y/r 角α的對邊比斜邊 余弦函數(shù) Cosine cos θ=x/r 角α的鄰邊比斜邊 正切函數(shù) Tangent tan θ=y/x 角α的對邊比鄰邊 余切函數(shù) Cotangent cot θ=x/y 角α的鄰邊比對邊 正割函數(shù) Secant sec θ=r/x 角α

2、的斜邊比鄰邊 余割函數(shù) Cosecant csc θ=r/y 角α的斜邊比對邊 　　注：tan、cot曾被寫作tg、ctg，現(xiàn)已不用這種寫法。 非常見三角函數(shù) 　　除了上述六個常見的函數(shù)，還有一些不常見的三角函數(shù)，這些運算已趨于淘汰： 函數(shù)名 與常見函數(shù)轉化關系 正矢函數(shù) versin θ=1-cos θ 余矢函數(shù) covers θ=1-sin θ 半正矢函數(shù) havers θ=(1-cos θ)/2 半余矢函數(shù) hacovers θ=(1-sin θ)/2 外正割函數(shù) exsec θ=sec θ-1 外余割函數(shù) excsc θ=csc θ-1

3、單位圓定義 　　六個三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為1中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義確實允許三角函數(shù)對所有正數(shù)和負數(shù)輻角都有定義，而不只是對于在 0 和 π/2 弧度之間的角。它也提供了一個圖像，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理， 三角函數(shù) 單位圓的方程是：x^2+y^2=1 　　圖像中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 x 軸正半局部得到一個角 θ，并與單位圓相交。這個交點的 x 和 y 坐標分別等于 cos θ 和 sin θ。圖像

4、中的三角形確保了這個公式；半徑等于斜邊且長度為1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等于 1的一種查看無限個三角形的方式。 　　對于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接繼續(xù)繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦和余弦變成了周期為 2π的周期函數(shù)：對于任何角度 θ 和任何整數(shù)k。 　　周期函數(shù)的最小正周期叫做這個函數(shù)的“根本周期〞。正弦、余弦、正割或余割的根本周期是全圓，也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的根本周期是半圓，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用單位圓定義的，其他四個

5、三角函數(shù)的定義如下圖。 其他四個三角函數(shù)的定義 在正切函數(shù)的圖像中，在角 kπ 附近變化緩慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的時候變化迅速。正切函數(shù)的圖像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直漸近線。這是因為在 θ 從左側接進 (k + 1/2)π 的時候函數(shù)接近正無窮，而從右側接近 (k + 1/2)π 的時候函數(shù)接近負無窮。 　　另一方面，所有根本三角函數(shù)都可依據(jù)中心為 O 的單位圓來定義，類似于歷史上使用的幾何定義。特別 三角函數(shù) 是，對于這個圓的弦AB，這里的 θ 是對向角的一半，sin θ 是 AC〔半弦〕，這是印度的阿耶波多介入的定義。cos θ 是水平距離

6、OC，versin θ = 1-cos θ 是 CD。tan θ 是通過 A 的切線的線段 AE 的長度，所以這個函數(shù)才叫正切。cot θ 是另一個切線段 AF。 sec θ = OE 和 cscθ = OF 是割線〔與圓相交于兩點〕的線段，所以可以看作 OA 沿著 A 的切線分別向水平和垂直軸的投影。DE 是 exsec θ = sec θ -1〔正割在圓外的局部〕。通過這些構造，容易看出正割和正切函數(shù)在 θ 接近 π/2的時候發(fā)散，而余割和余切在 θ 接近零的時候發(fā)散。 三角函數(shù)線 　　依據(jù)單位圓定義， 三角函數(shù)線 我們可以做三個有向線段〔向量〕來表示正弦、余弦、正切的值。

7、 　　如下圖，圓O是一個單位圓，P是α的終邊與單位圓上的交點，M點是P在x軸的投影，S(1,0)是圓O與x軸正半軸的交點，過S點做圓O的切線l。 　　那么向量MP對應的就是α的正弦值，向量OM對應的就是余弦值。OP的延長線〔或反向延長線〕與l的交點為T，那么向量ST對應的就是正切值。向量的起止點不能顛倒，因為其方向是有意義的。 借助線三角函數(shù)線，我們可以觀察到第二象限角α的正弦值為正，余弦值為負，正切值為負 特殊角的三角函數(shù) 角度 sin cos tan cot 0° 0 1 0 無意義 30° 1/2 √3/2 √3/3 √3 45° √2/2

8、√2/2 1 1 60° √3/2 1/2 √3 √3/3 90° 1 0 無意義 0 180° 0 -1 0 無意義 270° -1 0 無意義 0 同角三角函數(shù)關系式 平方關系 sin^2(α)+cos^2(α)=1 　　cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=1- 2sin^2(a)=2cos^2(a)-1 　　sin(2a)=2sin(a)cos(a) 　　tan^2(α)+1=1/cos^2(α) 　　2sin^2(a)=1-cos(2a) 　　cot^2(α)+1=1/sin^2(a) 積的關系

9、 　sinα=tanα×cosα 　　cosα=cotα×sinα 　　tanα=sinα×secα 　　cotα=cosα×cscα 　　secα=tanα×cscα 　　cscα=secα×cotα 倒數(shù)關系 　tanα ·cotα＝1 　　sinα ·cscα＝1 　　cosα ·secα＝1 商的關系 　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα 　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 三角函數(shù) 直角三角 三角函數(shù) 形ABC中, 　　角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊, 　　余弦等于角A的鄰邊比斜邊 　　正

10、切等于對邊比鄰邊, 　　·對稱性 　　180度-α的終邊和α的終邊關于y軸對稱。 　　-α的終邊和α的終邊關于x軸對稱。 　　180度+α的終邊和α的終邊關于原點對稱。 　　90度-α的終邊和α的終邊關于y=x對稱。 誘導公式 公式一： 　　設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等 　　k是整數(shù) 　sin〔2kπ＋α〕＝sinα 　　cos〔2kπ＋α〕＝cosα 　　tan〔2kπ＋α〕＝tanα 　　cot〔2kπ＋α〕＝cotα 公式二： 　　設α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關系 　sin〔π＋α〕＝

11、－sinα 　　cos〔π＋α〕＝－cosα 　　tan〔π＋α〕＝tanα 　　cot〔π＋α〕＝cotα 公式三： 　　任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關系 　sin〔－α〕＝－sinα 　　cos〔－α〕＝cosα 　　tan〔－α〕＝－tanα 　　cot〔－α〕＝－cotα 公式四： 　　利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系 　sin〔π－α〕＝sinα 　　cos〔π－α〕＝－cosα 　　tan〔π－α〕＝－tanα 　　cot〔π－α〕＝－cotα 公式五： 　　利用公式一和公式三可以得到2

12、π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系 　sin〔2π－α〕＝－sinα 　　cos〔2π－α〕＝cosα 　　tan〔2π－α〕＝－tanα 　　cot〔2π－α〕＝－cotα 公式六： 　　π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關系 　sin〔π/2＋α〕＝cosα 　　cos〔π/2＋α〕＝－sinα 　　tan〔π/2＋α〕＝－cotα 　　cot〔π/2＋α〕＝－tanα 　　sin〔π/2－α〕＝cosα 　　cos〔π/2－α〕＝sinα 　　tan〔π/2－α〕＝cotα 　　cot〔π/2－α〕＝tanα 　　sin〔3

13、π/2＋α〕＝－cosα 　　cos〔3π/2＋α〕＝sinα 　　tan〔3π/2＋α〕＝－cotα 　　cot〔3π/2＋α〕＝－tanα 　　sin〔3π/2－α〕＝－cosα 　　cos〔3π/2－α〕＝－sinα 　　tan〔3π/2－α〕＝cotα 　　cot〔3π/2－α〕＝tanα 誘導公式的表格以及推導方法〔定名法那么和定號法那么〕 sinβ cosβ 　tanβ cotβ secβ cscβ 360°k+α sinα cosα tanα cotα secα cscα 90°-α cosα sinα cot

14、α tanα cscα secα 90°+α cosα -sinα -cotα -tanα -cscα secα 180°-α sinα -cosα -tanα -cotα -secα cscα 180°+α -sinα -cosα tanα cotα -secα -cscα 270°-α -cosα -sinα cotα tanα -cscα -secα 270°+α -cosα sinα -cotα -tanα cscα -secα 360°-α -sinα cosα -tanα -cotα secα

15、 -cscα ﹣α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα 　　定名法那么 　　90°的奇數(shù)倍+α的三角函數(shù)，其絕對值與α三角函數(shù)的絕對值互為余函數(shù)。90°的偶數(shù)倍+α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)絕對值相同。也就是“奇余偶同，奇變偶不變〞 　　定號法那么 　　將α看做銳角〔注意是“看做〞〕，按所得的角的象限，取三角函數(shù)的符號。也就是“象限定號，符號看象限〞.〔或為“奇變偶不變，符號看象限〞　 　　2在Kπ/中如果K為奇數(shù)時函數(shù)名不變，假設為偶數(shù)時函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名。正負號看原函數(shù)中α所在象限的正負號。關于正負號有可口訣；一全二正弦，三

16、切四余弦，即第一象限全部為正，第二象限角正弦為正，第三為正切、余切為正，第四象限余弦為正?！? 　　比方:90°+α。定名：90°是90°的奇數(shù)倍，所以應取余函數(shù)；定號：將α看做銳角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦為正，余弦為負。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 這個非常神奇，屢試不爽~ 　　還有一個口訣“縱變橫不變，符號看象限〞，例如：sin(90°+α)，90°的終邊在縱軸上，所以函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名，即cos，將α看做銳角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦為正，所以sin(90°+α)=cosα 兩角和與差的三

17、角函數(shù) 　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ 　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ 　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ 　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) 　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化積公式 　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(

18、α-β)/2] 　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 積化和差公式 　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 倍角公式 　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) 　　cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1

19、-2(sinα)^2　 　　tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) 　　cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα) 　　sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α) 　　csc(2α)=1/2*secα·cscα 三倍角公式 　　sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) 　　cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) 　　tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(

20、π/3+α)tan(π/3-α) 　　cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1) n倍角公式 　　sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-… 　　cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-… 半角公式 　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) 　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) 　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1

21、+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 　　cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) 　　sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) 　　csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) 輔助角公式 　　Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ〕〔tanφ=B/A〕 　　Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ〕〔tanφ=A/B〕 萬能公式 　　sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2

22、(a/2)) 　　cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) 　　tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 降冪公式 　　sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 　　cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 　　tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 三角和的三角函數(shù) 　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ 　　cos(α+

23、β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ 　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 其它公式 　　1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 　　csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) 　　cos30=sin60 　　sin30=cos60 推導公式 　　tanα

24、+cotα=2/sin2α 　　tanα-cotα=-2cot2α 　　1+cos2α=2cos^2α 　　1-cos2α=2sin^2α 　　1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2 其他及證明 　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 　　以及 　　sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(

25、α+2π/3)=3/2 　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 　　cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx 證明： 　　左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx 　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx 〔積化和差〕 　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊 　　等式得證 　　si

26、nx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx 證明: 　　左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx) 　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) 　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊 　　等式得證 三倍角公式推導 　　sin3a 　　=sin(2a+a) 　　=sin2acosa+cos2asina 　　=2sina

27、(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina 　　=3sina-4sin^3a 　　cos3a 　　=cos(2a+a) 　　=cos2acosa-sin2asina 　　=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa 　　=4cos^3a-3cosa 　　sin3a=3sina-4sin^3a 　　=4sina(3/4-sin^2a) 　　=4sina[(√3/2)^2-sin^2a] 　　=4sina(sin^260°-sin^2a) 　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 　　=4sina*

28、2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2] 　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 　　cos3a=4cos^3a-3cosa 　　=4cosa(cos^2a-3/4) 　　=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] 　　=4cosa(cos^2a-cos^230°) 　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/

29、2]} 　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 　　上述兩式相比可得 　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 三角形與三角函數(shù) 　　1、正弦定理：在三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R為外接圓的半徑) 　　2、第一余弦定理：三角形中任意一邊等于其

30、他兩邊以及對應角余弦的交叉乘積的和，即a=c cosB + b cosC 　　3、第二余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方之和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA 　　4、正切定理(napier比較)：三角形中任意兩邊差和的比值等于對應角半角差和的正切比值，即〔a-b〕/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2) 　　5、三角形中的恒等式： 　　對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 　　證明:

31、 　　(A+B)=(π-C) 　　所以tan(A+B)=tan(π-C) 　　那么(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 　　整理可得 　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 　　類似地,我們同樣也可以求證:當α+β+γ=nπ(n∈Z)時，總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ 三角函數(shù)圖像 三角函數(shù)圖像： 定義域和值域 　　sin(x),cos(x)的定義域為R,值域為〔-1,1〕 　　tan(x)的定義域為x不等于π/2+kπ,值域為R 　　cot(

32、x)的定義域為x不等于kπ,值域為R 　　y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域為 [ c-√(a^2+b^2) , c+√(a^2+b^2〕] 初等三角函數(shù)導數(shù) 　　y=sinx---y'=cosx 　　y=cosx---y'=-sinx 　　y=tanx---y'=1/cos^2x =sec^2x 　　y=cotx---y'= -1/sin^2x = - csc^2x 　　y=secx---y'=secxtanx 　　y=cscx---y'=-cscxcotx 　　y=arcsinx---y'=1/√(1-x^2) 　　y=arccosx-

33、--y'= -1/√(1-x^2) 　　y=arctanx---y'=1/(1+x^2) 　　y=arccotx---y'= -1/(1+x^2) 倍半角規(guī)律 　　如果角a的余弦值為1/2，那么a/2的余弦值為√3/2 反三角函數(shù) 　　三角函數(shù)的反函數(shù)，是多值函數(shù)。它們是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將反正弦函數(shù)的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數(shù)的主值，記為y=arcsin x；相應地，反余弦函數(shù)y=arcc

34、os x的主值限在0≤y≤π；反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-π/2

35、(x)，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，圖象用綠色線條； 　　sinarcsin(x)=x,定義域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】 　　證明方法如下：設arcsin(x)=y,那么sin(y)=x ,將這兩個式子代如上式即可得 　　其他幾個用類似方法可得。 三角函數(shù)公式表 同角三角函數(shù)的根本關系式 倒數(shù)關系 商的關系 平方關系 誘導公式 (其中k∈Z) 兩角和與差的三角函數(shù)公式 萬能公式 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函數(shù)的降冪公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 三角函數(shù)的和差化積公式 三角函數(shù)的積化和差公式 ? 化asinα ±bcosα為一個角的一個三角函數(shù)的形式〔輔助角的三角函數(shù)的公式〕 其中角所在的象限由、的符號確定，角的值由確定 六邊形記憶法：圖形結構“上弦中切下割，左正右余中間1”；記憶方法“對角線上兩個函數(shù)的積為1；陰影三角形上兩頂點的三角函數(shù)值的平方和等于下頂點的三角函數(shù)值的平方；任意一頂點的三角函數(shù)值等于相鄰兩個頂點的三角函數(shù)值的乘積。〞