新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9篇 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例學(xué)案 理

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1、 第六十三課時 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系. 2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程（線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶）. 3.了解回歸的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用. 4.了解獨立性檢驗的思想、方法及其初步應(yīng)用. 基礎(chǔ)知識梳理 1．相關(guān)關(guān)系的判斷 (1)散點圖直觀反映了兩變量的成對觀測值之間存在的某種關(guān)系，利用散點圖可以初步判斷兩個變量之間是否線性相關(guān)．如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線的附近，我們說變量x和y具有 相關(guān)關(guān)系

2、． (2)相關(guān)系數(shù)r＝， 當(dāng)r>0時，兩變量 相關(guān)，當(dāng)r<0時，兩變量 相關(guān)，當(dāng)|r|≤1且|r|越接近于1，相關(guān)程度 ，當(dāng)|r|≤1且|r|越接近于0，相關(guān)程度 ． 2．最小二乘法求回歸直線方程 (1)設(shè)線性回歸方程為＝x＋， (2)回歸直線一定經(jīng)過樣本的中心點 ，據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計算問題． 3．獨立性檢驗 (1)獨立性檢驗的有關(guān)概念 ①分類變量 可用變量的不同“值”表示個體所屬的 的變量稱為分類變量． ②2×2列聯(lián)表 假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，

3、其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為： y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (2)獨立性檢驗 利用隨機變量K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來判斷“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗． 步驟如下： ①計算隨機變量K2的觀測值k，查下表確定臨界值k0： P(K2≥k0) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.

4、841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”． 預(yù)習(xí)自測 1．下列兩個變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是(　　)． A．正方體的棱長與體積 B．單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時，土地面積與總產(chǎn)量 C．日照時間與水稻的畝產(chǎn)量 D．電壓一定時，電流與電阻 2．對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)．由

5、這兩個散點圖可以判斷(　　)． A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) 3．(20xx·湖南)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(　　)． A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點的中心(，) C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學(xué)某女生身高為170

6、cm，則可斷定其體重必為58.79 kg 4．為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過計算K2≈0.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是(　　)． A．有99%的人認(rèn)為該欄目優(yōu)秀 B．有99%的人認(rèn)為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 C．有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D．沒有理由認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 5．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的線性回歸方程：＝0.254x＋0.321.由線性回歸方程可知，

7、家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 課堂探究案 典型例題 考點1 線性相關(guān)關(guān)系的判斷 【典例1】下表是某小賣部6天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表. 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯數(shù)y 20 24 34 38 50 64 (1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點圖； (2)你能依據(jù)散點圖指出氣溫與熱茶杯數(shù)的關(guān)系嗎？ (3)如果氣溫與賣出熱茶杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系的話，請畫出一條直線來近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系． 【變式1】 5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚? 學(xué)生 學(xué)科　　 A B C D E 數(shù)

8、學(xué) 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫出散點圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系． 考點2 線性回歸方程及其應(yīng)用 【典例2】(20xx·福建)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程＝x＋，其中＝－20，＝－ ； (2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價

9、應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本) 【變式2】 (20xx·南昌模擬)以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù). 房屋面積x/m2 115 110 80 135 105 銷售價格y/萬元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)求線性回歸方程； (2)據(jù)(1)的結(jié)果估計當(dāng)房屋面積為150 m2時的銷售價格． 考點3 獨立性檢驗的基本思想及應(yīng)用 【典例3】在調(diào)查男女乘客是否暈機的事件中，已知男乘客暈機的為28人，不暈機的也是28人，而女乘客暈機的為28人，不暈機的為56人． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表；

10、 (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為暈機與性別有關(guān)系？ (可能用到的公式：K2＝，可能用到的數(shù)據(jù)：P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥5.024)＝0.025) 【變式3】某學(xué)生對其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主) (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 50歲以上 合計 (2)能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)

11、？ 當(dāng)堂檢測 1．(20xx·新課標(biāo)全國)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　)． A．－1 B．0 C. D．1 2．(20xx·長春調(diào)研)已知x，y取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 從所得的散點圖分析可知：y與x線性相關(guān)，且＝0.95x＋a，則a＝(　　)． A．1.30 B．1

12、.45 C．1.65 D．1.80 3.(20xx·陜西)設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論正確的是 (　　)． A．直線l過點(，) B．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 C．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 D．當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 4．(20xx·山東)某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元

13、) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為 (　　)． A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 課后拓展案 A組全員必做題 1．為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下： 父親身高x/cm 174 176 176 176 178 兒子身高y/cm 175 175 176 177 177 則y對x的線性回歸方程為 (　　)． A．y

14、＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176 2．(20xx·福州模擬)下列說法： ①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變； ②設(shè)有一個回歸方程＝3－5x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位； ③線性回歸方程＝x＋必過(，)； ④在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得K2的觀測值k＝13.079，則在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為這兩個變量間有關(guān)系． 其中錯誤的個數(shù)是 (　　)． A．0 B．1 C．2 D．3

15、 3．已知施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的試驗數(shù)據(jù)如下表，則變量x與變量y是________相關(guān)(填“正”或“負(fù)”). 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 4．(20xx·唐山統(tǒng)一考試)考古學(xué)家通過始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn)：其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為＝1.197x－3.660，由此估計，當(dāng)股骨長度為50 cm時，肱骨長度的估計值為________ cm. 5.為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：

16、 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2＝≈4.844. 則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為________． B組提高選做題 1.某班主任對全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查．?dāng)?shù)據(jù)如下表： 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 不喜歡玩游戲 8 15 合計 (1)請完善上表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù)； (2)試通過計算說明在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系？ 附：

17、P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝ 2.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生

18、產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考數(shù)值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1．【答案】C 【解析】A，B，D中兩個變量間的關(guān)系都是確定的，所以是函數(shù)關(guān)系；C中的兩個變量間是相關(guān)關(guān)系，對于日照時間一定的水稻，仍可以有不同的畝產(chǎn)量，故選C. 2．【答案】C 【解析】由圖(1)可知，各點整體呈遞減趨勢，x與y負(fù)相關(guān)；由圖(2)可知，各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關(guān)． 3．【答案】D 【解析】根據(jù)線性回歸方程中各系數(shù)的意義求解．由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0.85，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確．又線性回歸方程必過樣本中心點(

19、，)，因此B正確．由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，x每增加1 cm，其體重約增加0.85 kg，故C正確．當(dāng)某女生的身高為170 cm時，其體重估計值是58.79 kg，而不是具體值，因此D不正確． 4．【答案】D 【解析】只有K2≥6.635才能有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系，而即使K2≥6.635也只是對“電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”這個論斷成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有99%的人等無關(guān)．故D正確． 5．【答案】0.254 【解析】由題意，知其回歸系數(shù)為0.254，故家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.254萬元． 典型例題 【典例1】【解析】(1)

20、畫出的散點圖如圖． (2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)氣溫和熱茶杯數(shù)具有相關(guān)關(guān)系，氣溫和熱茶杯數(shù)成負(fù)相關(guān)，圖中的各點大致分布在一條直線的附近，因此氣溫和杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系． (3)根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出不同的直線來近似表示這種線性相關(guān)關(guān)系，如讓畫出的直線上方的點和下方的點數(shù)目相等．如圖． 【變式1】【解析】把數(shù)學(xué)成績作為橫坐標(biāo)，把相應(yīng)的物理成績作為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(xi，yi)(i＝1,2，…，5)，作出散點圖如圖． 從圖中可以直觀地看出數(shù)學(xué)成績和物理成績具有相關(guān)關(guān)系，且當(dāng)數(shù)學(xué)成績增大時，物理成績也在由小變大，即它們正相關(guān)． 【典例2】【解析】(1)由于＝(8＋8.

21、2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又＝－20， 所以＝－ ＝80＋20×8.5＝250， 從而回歸直線方程為＝－20x＋250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000 ＝－202＋361.25. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時，L取得最大值． 故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤． 【變式2】【解析】(1)＝×(115＋110＋80＋135＋105)＝109， ＝×(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.

22、 設(shè)所求回歸直線方程為＝x＋，則 ＝＝≈0.196 2， ∴＝－ ＝23.2－109×≈1.816 6. ∴所求回歸直線方程為＝0.196 2x＋1.816 6. (2)由第(1)問可知，當(dāng)x＝150 m2時，銷售價格的估計值為 ＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(萬元)． 【典例3】【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下： 暈機 不暈機 合計 男乘客 28 28 56 女乘客 28 56 84 合計 56 84 140 (2)假設(shè)是否暈機與性別無關(guān)，則K2的觀測值k＝＝≈3.889，P(K2≥3.841)＝0.05. 所以可以

23、在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為暈機與性別有關(guān)系． 【變式3】【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 4 8 12 50歲以上 16 2 18 合計 20 10 30 (2)因為K2＝＝10>6.635， 所以有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)． 當(dāng)堂檢測 1．【答案】D 【解析】樣本點都在直線上時，其數(shù)據(jù)的估計值與真實值是相等的，故其相關(guān)系數(shù)為1. 2．【答案】B 【解析】依題意得，＝×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，＝×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直線＝0

24、.95x＋a必過樣本中心點(，)，即點(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a，由此解得a＝1.45，選B. 3.【答案】A 【解析】由樣本的中心(，)落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關(guān)系數(shù)表示為x與y之間的線性相關(guān)程度，不表示直線l的斜率，故B錯；x和y的相關(guān)系數(shù)應(yīng)在－1到1之間，故C錯；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點的個數(shù)并不絕對平均，無論樣本點個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故D錯． 4．【答案】B 【解析】＝＝3.5(萬元)， ＝＝42(萬元)， ∴＝－＝42－9.4×3.5＝9.1， ∴回歸方程為＝9.4x＋9.1， ∴當(dāng)x＝6(萬元)時，＝9.4×6＋9.1＝65.5

25、(萬元)． A組全員必做題 1．【答案】C 【解析】由題意得＝＝176(cm)， ＝＝176(cm)，由于(，)一定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗證知選C. 2．【答案】B 【解析】只有②錯誤，應(yīng)該是y平均減少5個單位． 3．【答案】正 【解析】因為散點圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系，所以畫出散點圖如圖所示： 通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關(guān)． 4．【答案】56.19 【解析】根據(jù)線性回歸方程＝1.197x－3.660，將x＝50代入得y＝56.19，則肱骨長度的估計值為56.19 cm. 5.【答案】5% 【解析】∵K2≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生

26、．根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%. B組提高選做題 1.解：(1) 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 27 不喜歡玩游戲 8 15 23 合計 26 24 50 (2)將表中的數(shù)據(jù)代入公式K2＝得到K2的觀測值k＝≈5.059>5.024， 查表知P(K2≥5.024)＝0.025，即說明在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系． 2.【解析】(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖所示． (2)由對照數(shù)據(jù)，計算得：＝86， ＝＝4.5(噸)，＝＝3.5(噸)． 已知iyi＝66.5， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為： ＝＝＝0.7， ＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)．