2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.1 拋物線的標準方程學案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

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2.4.1　拋物線的標準方程 學習目標　1.掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念.2.掌握拋物線的標準方程及其推導.3.明確拋物線標準方程中p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標準方程問題． 知識點一　拋物線的定義 1．平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線． 2．定義的實質(zhì)可歸納為“一動三定”：一個動點，設為M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準線)；一個定值(即點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1∶1)． 知識點二　拋物線的標準方程 由于拋物線焦點位置不同，方程也就不同，故拋物線的標準方程有以下幾種形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)． 現(xiàn)將這四種拋物線對應的圖形、標準方程、焦點坐標及準線方程列表如下： 圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 1．到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線．(　　) 2．拋物線標準方程中的p表示焦點到準線的距離．(　√　) 3．拋物線的方程都是二次函數(shù)．(　　) 4．拋物線的開口方向由一次項確定．(　√　) 題型一　求拋物線的標準方程 例1　分別求符合下列條件的拋物線的標準方程． (1)經(jīng)過點(－3，－1)； (2)焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標軸的交點． 考點　拋物線的標準方程 題點　求拋物線的方程 解　(1)因為點(－3，－1)在第三象限， 所以設所求拋物線的標準方程為 y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 若拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)， 則由(－1)2＝－2p(－3)，解得p＝； 若拋物線的標準方程為x2＝－2py(p>0)， 則由(－3)2＝－2p(－1)，解得p＝. 故所求拋物線的標準方程為y2＝－x或x2＝－9y. (2)對于直線方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以拋物線的焦點為(0，－3)或(4,0)． 當焦點為(0，－3)時，＝3，所以p＝6， 此時拋物線的標準方程為x2＝－12y； 當焦點為(4,0)時，＝4，所以p＝8， 此時拋物線的標準方程為y2＝16x. 故所求拋物線的標準方程為x2＝－12y或y2＝16x. 反思感悟　用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟 注意：當拋物線的類型沒有確定時，可設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論情況的個數(shù)． 跟蹤訓練1　根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標準方程： (1)準線方程為y＝； (2)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5. 考點　拋物線的標準方程 題點　求拋物線的方程 解　(1)易知拋物線的準線交y軸于正半軸，且＝，則p＝，故所求拋物線的標準方程為x2＝－y. (2)已知拋物線的焦點在y軸上，可設方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，m＝5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y和x2＝－10y. 題型二　拋物線定義的應用 命題角度1　利用拋物線定義求軌跡(方程) 例2　已知動圓M與直線y＝2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求動圓圓心M的軌跡方程． 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的直接應用 解　設動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等． 由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C(0，－3)為焦點，以y＝3為準線的一條拋物線，其方程為x2＝－12y. 反思感悟　解決軌跡為拋物線問題的方法 拋物線的軌跡問題，既可以用軌跡法直接求解，也可以先將條件轉(zhuǎn)化，再利用拋物線的定義求解．后者的關(guān)鍵是找到滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離且定點不在定直線上的條件，有時需要依據(jù)已知條件進行轉(zhuǎn)化才能得到滿足拋物線定義的條件． 跟蹤訓練2　已知動圓M經(jīng)過點A(3,0)，且與直線l：x＝－3相切，求動圓圓心M的軌跡方程． 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的直接應用 解　設動點M(x，y)，⊙M與直線l：x＝－3的切點為N， 則|MA|＝|MN|， 即動點M到定點A(3,0)和定直線l：x＝－3的距離相等， ∴點M的軌跡是拋物線，且以A(3,0)為焦點，以直線l：x＝－3為準線， ∴＝3，∴p＝6， 故動圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x. 命題角度2　利用拋物線定義求最值 例3　如圖，已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時P點坐標． 考點　求拋物線的最值問題 題點　根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值 解　將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝. ∵>2，∴A在拋物線內(nèi)部． 設拋物線上點P到準線l：x＝－的距離為d， 由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 由圖可知，當PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為. 即|PA|＋|PF|的最小值為， 此時P點縱坐標為2，代入y2＝2x，得x＝2. ∴點P坐標為(2,2)． 引申探究 若將本例中的點A(3,2)改為點(0,2)，求點P到點A的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值． 解　由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離． 由圖可知，P點，A點和拋物線的焦點F三點共線時距離之和最小， 所以最小距離d＝＝. 反思感悟　拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離進行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應用，如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點與直線上點的連線垂線段最短等． 跟蹤訓練3　已知P是拋物線y2＝4x上一動點，則點P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是(　　) A.B.C．2D.－1 考點　求拋物線的最值問題 題點　根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)換求最值 答案　D 解析　由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)． 設點P到直線l的距離為d， 由拋物線的定義可知，點P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1， 所以點P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1. 易知d＋|PF|的最小值為點F到直線l的距離， 故d＋|PF|的最小值為＝， 所以d＋|PF|－1的最小值為－1. 拋物線的實際應用問題 典例　河上有一拋物線形拱橋，當水面距拱橋頂5m時，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時，小船開始不能通航？ 考點　拋物線的標準方程 題點　拋物線方程的應用 解　如圖，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標系． 設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 由題意可知，點B(4，－5)在拋物線上， 故p＝，得x2＝－y. 當船面兩側(cè)和拋物線接觸時，船開始不能通航， 設此時船面寬為AA′，則A(2，yA)， 由22＝－yA，得yA＝－. 又知船面露出水面上的部分高為0.75m， 所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)． 所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時，小船開始不能通航． [素養(yǎng)評析]　首先確定與實際問題相匹配的數(shù)學模型．此問題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關(guān)知識解決此問題，操作步驟為： (1)建系：建立適當?shù)淖鴺讼担? (2)假設：設出合適的拋物線標準方程． (3)計算：通過計算求出拋物線的標準方程． (4)求解：求出需要求出的量． (5)還原：還原到實際問題中，從而解決實際問題． 1．拋物線y2＝x的準線方程為(　　) A．x＝B．x＝－C．y＝D．y＝－ 答案　B 解析　拋物線y2＝x的開口向右，且p＝，所以準線方程為x＝－. 2．已知拋物線y＝2px2過點(1,4)，則拋物線的焦點坐標為(　　) A．(1,0) B.C.D．(0,1) 考點　求拋物線的焦點坐標及準線方程 題點　求拋物線的焦點坐標 答案　C 解析　由拋物線y＝2px2過點(1,4)，可得p＝2， ∴拋物線的標準方程為x2＝y(tǒng)， 則焦點坐標為，故選C. 3．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，－2)到焦點的距離為4，則m的值為(　　) A．4B．－2C．4或－4D．12或－2 答案　C 解析　由題意可設拋物線的標準方程為x2＝－2py(p>0)，由定義知點P到準線的距離為4，故＋2＝4， ∴p＝4，∴x2＝－8y.將點P的坐標代入x2＝－8y， 得m＝4. 4．若拋物線y2＝2px(p>0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，則p＝________. 答案　2 解析　因為拋物線上的動點到焦點的距離為動點到準線的距離，所以拋物線上的動點到焦點的最短距離為頂點到準線的距離，即＝1，p＝2. 5．若拋物線y2＝2px(p>0)的準線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個焦點，則p＝________. 答案　2 解析　拋物線y2＝2px(p>0)的準線方程是x＝－， 因為拋物線y2＝2px(p>0)的準線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個焦點F1(－，0)， 所以－＝－，解得p＝2. 1．焦點在x軸上的拋物線，其標準方程可以統(tǒng)設為y2＝mx(m≠0)，此時焦點為F，準線方程為x＝－；焦點在y軸上的拋物線，其標準方程可以統(tǒng)設為x2＝my(m≠0)，此時焦點為F，準線方程為y＝－. 2．設M是拋物線上一點，焦點為F，則線段MF叫做拋物線的焦半徑．若M(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p>0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑|MF|＝x0＋. 一、選擇題 1．關(guān)于拋物線x＝4y2，下列描述正確的是(　　) A．開口向上，焦點坐標為(0,1) B．開口向上，焦點坐標為 C．開口向右，焦點坐標為(1,0) D．開口向右，焦點坐標為 答案　D 解析　由x＝4y2得y2＝x，∴開口向右，焦點坐標為. 2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線經(jīng)過點(－1,1)，則該拋物線的焦點坐標為(　　) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) 答案　B 解析　拋物線y2＝2px(p>0)的準線方程為x＝－，由題設知－＝－1，即p＝2，故焦點坐標為. 3．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為(　　) A.B．1C．2D．4 答案　C 解析　拋物線y2＝2px的準線方程為x＝－，它與圓相切，所以必有3－＝4，p＝2. 4．若動點P與定點F(1,1)和直線l：3x＋y－4＝0的距離相等，則動點P的軌跡是(　　) A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．直線 答案　D 解析　方法一　設動點P的坐標為(x，y)． 則＝. 整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0， 即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0. 所以動點P的軌跡為直線． 方法二　顯然定點F(1,1)在直線l：3x＋y－4＝0上，則與定點F和直線l距離相等的動點P的軌跡是過F點且與直線l垂直的一條直線． 5．若點P在拋物線y2＝x上，點Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值是(　　) A.－1B.－1C．2D.－1 答案　D 解析　設圓(x－3)2＋y2＝1的圓心為O′(3,0)， 要求|PQ|的最小值，只需求|PO′|的最小值． 設點P坐標為(y，y0)， 則|PO′|＝＝ ＝， ∴|PO′|的最小值為， 從而|PQ|的最小值為－1. 6．拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是(　　) A.B.C.D．0 答案　B 解析　拋物線方程化為x2＝y(tǒng)，準線為y＝－，由于點M到焦點的距離為1，所以M到準線的距離也為1，所以M點的縱坐標等于1－＝. 7．已知直線l與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，且l經(jīng)過拋物線的焦點F，A點的坐標為(8,8)，則線段AB的中點到準線的距離是(　　) A.B.C.D．25 答案　A 解析　拋物線的焦點F的坐標為(2,0)，直線l的方程為y＝(x－2)． 由得B點的坐標為. ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝. ∴AB的中點到準線的距離為. 8．已知點P是拋物線x2＝4y上的動點，點P在x軸上的射影是點Q，點A的坐標是(8,7)，則|PA|＋|PQ|的最小值為(　　) A．7B．8C．9D．10 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義與其它知識結(jié)合的應用 答案　C 解析　拋物線的焦點為F(0,1)，準線方程為y＝－1，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1. ∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9. 當且僅當A，P，F(xiàn)三點共線時，等號成立，則|PA|＋|PQ|的最小值為9. 二、填空題 9．已知拋物線y2＝2x上一點P(m,2)，則m＝________，點P到拋物線的焦點F的距離為________． 答案　2　 解析　將(m,2)代入拋物線中得4＝2m， 得m＝2， 由拋物線的定義可知點P到拋物線的焦點F的距離為 2＋＝. 10．設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0,2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則點B到該拋物線準線的距離為________． 答案　 解析　如圖所示，由已知，得點B的縱坐標為1，橫坐標為，即B.將其代入y2＝2px，得1＝2p，解得p＝，故點B到準線的距離為＋＝p＝. 11．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝________. 答案　8 解析　如圖所示，直線AF的方程為y＝－(x－2)，與準線方程x＝－2聯(lián)立得A(－2,4)． 設P(x,4)，代入拋物線方程y2＝8x，得8x＝48，∴x＝6， ∴|PF|＝x＋2＝8. 三、解答題 12．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，－3)到焦點的距離為5，求m的值，拋物線方程和準線方程． 解　設所求拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 則焦點為F. ∵M(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5， ∴解得 ∴m＝2， 拋物線方程為x2＝－8y，準線方程為y＝2. 13．平面上動點P到定點F(1,0)的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大1，求動點P的軌跡方程． 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的直接應用 解　方法一　由題意，動點P到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1， 由于點F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1， 故當x<0時，直線y＝0上的點適合條件； 當x≥0時，原命題等價于點P到點F(1,0)與到直線x＝－1的距離相等， 故點P的軌跡是以F為焦點，x＝－1為準線的拋物線， 方程為y2＝4x. 故所求動點P的軌跡方程為y2＝ 方法二　設點P的坐標為(x，y)， 則有＝|x|＋1， 兩邊平方并化簡得y2＝2x＋2|x|. ∴y2＝ 即點P的軌跡方程為y2＝ 14．如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點，它們的橫坐標依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　) A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20 答案　A 解析　由拋物線的方程y2＝4x可知其焦點為(1,0)，準線為x＝－1，由拋物線的定義可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10. 15.如圖所示，拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點F在y軸上，準線l與圓x2＋y2＝1相切． (1)求拋物線C的方程； (2)若點A，B都在拋物線C上，且＝2，求點A的坐標． 考點　拋物線的標準方程 題點　求拋物線的方程 解　(1)依題意，可設拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，其準線l的方程為y＝－. ∵準線l與圓x2＋y2＝1相切， ∴圓心(0,0)到準線l的距離d＝0－＝1， 解得p＝2.故拋物線C的方程為x2＝4y. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 由題意得F(0,1)， ∴＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)， ∵＝2， ∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)， 即代入②得4x＝8y1＋4， 即x＝2y1＋1， 又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1， 解得y1＝，x1＝， 即點A的坐標為或.