2019屆高考數(shù)學(xué) 專題十八 離心率精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理.doc

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培優(yōu)點(diǎn)十八 離心率 1．離心率的值 例1：設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上，若，則橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本題存在焦點(diǎn)三角形，由線段的中點(diǎn)在軸上，為中點(diǎn)可得軸， 從而，又因?yàn)?，則直角三角形中，， 且，，所以，故選A． 2．離心率的取值范圍 例2：已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】從圖中可觀察到若為銳角三角形，只需要為銳角．由對(duì)稱性可得只需即可．且，均可用，，表示，是通徑的一半，得：，， 所以，即，故選B． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】雙曲線的漸近線過(guò)點(diǎn)，代入，可得：， 即，，故選D． 2．傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)直線的參數(shù)方程為，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得， 所以，，由于，即，代入上述韋達(dá)定理， 化簡(jiǎn)得，即，．故選A． 3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用， 還提出了一元二次方程的解法問(wèn)題．直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”．設(shè)、分別是雙曲線 ，的左、右焦點(diǎn)，是該雙曲線右支上的一點(diǎn)，若，分別是的“勾”“股”，且，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由雙曲線的定義得，所以， 即，由題意得，所以， 又，所以，解得，從而離心率，故選D． 4．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，它們交于，兩點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得：，， 則，，即，， 又：，， 據(jù)此有：，即， 則雙曲線的離心率：．本題選擇C選項(xiàng)． 5．已知點(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為，所以圓的方程 為：， 與橢圓方程聯(lián)立得：，此方程在區(qū)間上有解， 由于為此方程的一個(gè)根，且另一根在此區(qū)間內(nèi)，所以對(duì)稱軸要介于與之間， 所以，結(jié)合，解得， 根據(jù)離心率公式可得．故選C． 6．已知橢圓，點(diǎn)，是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)為橢圓短軸一端點(diǎn)，則由題意得，即， 因?yàn)?，所以，，，，，，故選C． 7．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且， 則此雙曲線的離心率的最大值為（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由雙曲線的定義知 ①；又， ② 聯(lián)立①②解得，， 在中，由余弦定理，得， 要求的最大值，即求的最小值， 當(dāng)時(shí)，解得，即的最大值為，故選B． 解法二：由雙曲線的定義知 ①，又， ②，聯(lián)立①②解得，，因?yàn)辄c(diǎn)在右支所以，即故，即的最大值為，故選B． 8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)， 若，且，則該橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由橢圓的定義可得，， 又，可得，即為橢圓的短軸的端點(diǎn)， ，且，即有，即為，．故選D． 9．若直線與雙曲線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】雙曲線的漸近線方程為， 由雙曲線與直線有交點(diǎn)，則有，即有， 則雙曲線的離心率的取值范圍為，故選D． 10．我們把焦點(diǎn)相同且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知，是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，，分別是橢圓和雙曲線的離心率，若P為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，，則雙曲線的離心率（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】設(shè)，，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為， 可得，，可得，， 由余弦定理可得， 即有， 由離心率公式可得，，即有，解得，故選C． 11．又到了大家最喜（tao）愛(ài)（yan）的圓錐曲線了．已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與圓交于、兩點(diǎn)．若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直線，即， 直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)圓的圓心， ，，的圓心為、兩點(diǎn)中點(diǎn)， 設(shè)，，， 上下相減可得：， 化簡(jiǎn)可得，， ，，故選C． 12．已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線的定義得，， ，，， 由題意得，故， 故，又，所以，雙曲線的離心率取值范圍是，故選D． 二、填空題 13．已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____． 【答案】 【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的另外一個(gè)焦點(diǎn)為， 由于的斜率為，所以，且，所以是等邊三角形， 所以，所以，， 所以， 所以，由雙曲線的定義可知，所以雙曲線的離心率為． 14．已知雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別為，，若是該雙曲線右支上一點(diǎn)， 滿足，則離心率的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵，在雙曲線右支上，根據(jù)雙曲線的第二定義， 可得，， ，，，，，，故答案為． 15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與橢圓交于，的兩點(diǎn)，且軸，若為橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)且，則該橢圓的離心率為_(kāi)______． 【答案】 【解析】根據(jù)題意，因?yàn)檩S且，假設(shè)在第一象限，則， 過(guò)作軸于，則易知， 由得，所以，， 所以，代入橢圓方程得，即， 又，所以，所以橢圓離心率為． 故答案為． 16．在平面直角坐標(biāo)系中，記橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，若該橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是____________． 【答案】 【解析】橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，6個(gè)不同的點(diǎn)有兩個(gè)為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，另外四個(gè)分別在第一、二、三、四象限，且上下對(duì)稱左右對(duì)稱， 設(shè)在第一象限，，當(dāng)時(shí)，， 即，解得， 又因?yàn)?，所以? 當(dāng)時(shí)，， 即且，解得：， 綜上或． 三、解答題 17．已知雙曲線的的離心率為，則 （1）求雙曲線的漸進(jìn)線方程． （2）當(dāng)時(shí)，已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，且線段的中點(diǎn)在圓上，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題意，得，， ∴，即， ∴所求雙曲線的漸進(jìn)線方程． （2）由（1）得當(dāng)時(shí)，雙曲線的方程為． 設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，線段的中點(diǎn)為， 由，得（判別式）， ∴，， ∵點(diǎn)在圓上，∴，∴． 18．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)． ①若直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且滿足，．求證：為定值； ②若，求面積的取值范圍． 【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析，②． 【解析】（1）由題設(shè)知，，，所以，，， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）①由題設(shè)知直線斜率存在，設(shè)直線方程為，則． 設(shè)，，直線代入橢圓得， 所以，，由，知 ，， ． ②當(dāng)直線，分別與坐標(biāo)軸重合時(shí)，易知． 當(dāng)直線，斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，， 設(shè)，，直線代入橢圓得到， 所以，，同理， ， 令，則， 因?yàn)?，所以，故，綜上．