新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和學案 理 北師大版

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1、 1

2、 1 第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用等差數(shù)列的有關知識解決相應的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系． (對應學生用書第82頁) [基礎知識填充] 1．等差數(shù)列的有關概念 (1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項

3、的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列．用符號表示為an＋1－an＝d(n∈N＋，d為常數(shù))． (2)等差中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項，即A＝. 2．等差數(shù)列的有關公式 (1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d. (2)前n項和公式：Sn＝na1＋＝. 3．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n

4、}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差為md的等差數(shù)列． 4．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系 Sn＝n2＋n. 5．等差數(shù)列的前n項和的最值 在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值． [知識拓展]　{an}為等差數(shù)列，Sn是{an}前n項和 (1)若an＝m，am＝n，則am＋n＝0， (2)若Sm＝n，Sn＝m，則Sm＋n＝－(m＋n)， (3)若Sm＝Sk

5、(m≠k)，則Sm＋k＝0. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．(　　) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．(　　) (5)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．等差數(shù)列{an

6、}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝0，則公差d等于(　　) A．－1　　　　　　　 B．1 C．2 D．－2 D　[依題意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故選D．] 3．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 B　[由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，選B．] 4．(20xx·全國卷Ⅱ)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]

7、5．(教材改編)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________. 180　[由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.] (對應學生用書第82頁) 等差數(shù)列的基本運算 　(1)(20xx·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8 (2)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________. 【導學

8、號：79140171】 (1)C　(2)－72　[(1)設{an}的公差為d，則 由 得解得d＝4. 故選C． (2)設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 由已知，得解得 所以S16＝16×3＋×(－1)＝－72.] [規(guī)律方法]　解決等差數(shù)列運算問題的思想方法 (1)方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可“知三求二”. (2)整體思想：當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解. (3)利用性質(zhì)：運用等差

9、數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程. [跟蹤訓練]　(1)(20xx·云南省二次統(tǒng)一檢測)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．15 (2)《張邱建算經(jīng)》卷上第22題為：今有女善織，日益功疾(注：從第2天起每天比前一天多織相同量的布)，第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計)，共織390尺布，則第2天織布的尺數(shù)為(　　) A． B． C． D． (1)B　(2)A　[(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意解得 ∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10. (2)由條件知該女

10、子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}，且a1＝5，S30＝390，設公差為d，則30×5＋×d＝390，解得d＝，則a2＝a1＋d＝，故選A．] 等差數(shù)列的判定與證明 　(20xx·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項公式； (2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列． [解]　(1)設{an}的公比為q.由題設可得 解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通項公式為an＝(－2)n. (2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn，

11、 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列． 規(guī)律方法]　等差數(shù)列的四種判斷方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.可用來判定與證明. (2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差數(shù)列.可用來判定與證明. (3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. [跟蹤訓練]　(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N＋)，則該數(shù)列的通項為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ (2)已知數(shù)列{an

12、}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N＋)． ①求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． ②求數(shù)列{an}中的通項公式an. (1)A　[由已知式＝＋可得 －＝－，知是首項為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝.] (2)①證明：因為an＝2－(n≥2，n∈N＋)， bn＝. 所以n≥2時，bn－bn－1＝－ ＝－＝－＝1. 又b1＝＝－， 所以數(shù)列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數(shù)列． ②由(1)知，bn＝n－， 則an＝1＋＝1＋. 等差數(shù)列的性質(zhì)及最值 　(1)(20xx·東北三省三校二聯(lián))等差數(shù)

13、列{an}中，a1＋a3＋a5＝39，a5＋a7＋a9＝27，則數(shù)列{an}的前9項的和S9等于(　　) A．66 B．99 C．144 D．297 (2)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，前n項和為Sn，若S9＝S12，則Sn取得最大值時，n＝________，Sn的最大值為________. 【導學號：79140172】 (1)B　(2)10或11　55　[(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a1＋a3＋a5＝3a3＝39，可得a3＝13.由a5＋a7＋a9＝3a7＝27，可得a7＝9，故S9＝＝＝99，故選B． (2)法一：因為a1＝10，S9＝S12， 所以9×10＋d＝12

14、×10＋d， 所以d＝－1. 所以an＝－n＋11. 所以a11＝0，即當n≤10時，an＞0， 當n≥12時，an＜0， 所以當n＝10或11時，Sn取得最大值，且最大值為S10＝S11＝10×10＋×(－1)＝55. 法二：同法一求得d＝－1. 所以Sn＝10n＋·(－1)＝－n2＋n ＝－＋. 因為n∈N＋，所以當n＝10或11時，Sn有最大值，且最大值為S10＝S11＝55. 法三：同法一求得d＝－1. 又由S9＝S12得a10＋a11＋a12＝0. 所以3a11＝0，即a11＝0. 所以當n＝10或11時，Sn有最大值． 且最大值為S10＝S11＝55.]

15、 [規(guī)律方法]　1.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)項的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差. (2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1). ②S2n－1＝(2n－1)an. 2.求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法 (1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解. (2)鄰項變號法. ①當a1>0，d<0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm.

16、 ②當a1<0，d>0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. 易錯警示：易忽視n∈N＋. [跟蹤訓練]　(1)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若＝，則＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D． (2)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，S10＝16，S100－S90＝24，則S100＝________. (1)A　(2)200　[＝＝＝×＝1. (2)依題意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差數(shù)列，設該等差數(shù)列的公差為d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.]