新編高三數學 第8練 函數的奇偶性和周期性練習

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1、 第8練 函數的奇偶性和周期性 訓練目標 (1)函數奇偶性的概念；(2)函數周期性． 訓練題型 (1)判定函數的奇偶性；(2)函數奇偶性的應用(求函數值，求參數)；(3)函數周期性的應用． 解題策略 (1)判斷函數的奇偶性首先要考慮函數定義域是否關于原點對稱；(2)根據奇偶性求參數，可先用特殊值法求出參數，然后驗證；(3)理解并應用關于周期函數的重要結論：如f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)的周期T＝2|a|. 一、選擇題 1．(20xx·江西贛州于都實驗中學大考三)若奇函數f(x)＝3sin x＋c的定義域是[a，b]， 則a＋b＋c等于(　　

2、) A．3 B．－3 C．0 D．無法計算 2．設f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數，如圖表示該函數在區(qū)間(－2,1]上的圖象，則f(2 014)＋f(2 015)等于(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 3．函數f(x)是周期為4的偶函數，當x∈[0,2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為(　　) A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 4．若定義在R上的偶函數f(x)和奇函數g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)等于(　　) A．ex－

3、e－x B.(ex＋e－x) C.(e－x－ex) D.(ex－e－x) 5．定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且當x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋，則f(log220)等于(　　) A．－1 B . C．1 D．－ 6．(20xx·開封二模)已知函數f(x)定義在R上，對任意實數x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函數y＝f(x)的圖象關于y軸對稱，f(－1)＝2，則f(2 015)等于(　　) A．－2＋2 B．2＋2 C．2－2 D．2 7．已知函數f(x)＝則該函數是(　　) A．偶函數且單調遞增 B．偶函數

4、且單調遞減 C．奇函數且單調遞增 D．奇函數且單調遞減 8．對任意實數a、b，定義兩種運算：a?b＝，a?b＝，則函數f(x)＝(　　) A．是奇函數，但不是偶函數 B．是偶函數，但不是奇函數 C．既是奇函數，又是偶函數 D．既不是奇函數，又不是偶函數 二、填空題 9．(20xx·課標全國Ⅰ)若函數f(x)＝xln(x＋)為偶函數，則a＝________. 10．已知定義在R上的函數f(x)滿足f(1)＝1，f(x＋2)＝對任意x∈R恒成立，則f(2 015)＝________. 11．若函數f(x)＝是奇函數，則實數a的值為________． 12．(20xx·山東乳山

5、一中月考)定義在(－∞，＋∞)上的偶函數f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在 [－1,0]上是增函數，下面是關于f(x)的判斷： ①f(x)的圖象關于點P對稱；②f(x)的圖象關于直線x＝1對稱；③f(x)在[0,1]上是增函數；④f(2)＝f(0)． 其中正確的是________．(把你認為正確的判斷序號都填上)  答案精析 1．C　[因為函數f(x)＝3sin x＋c的定義域是[a，b]，并且是奇函數，所以f(0)＝0， 即3sin 0＋c＝0，得c＝0，而奇函數的定義域關于原點對稱，所以a＋b＝0， 所以a＋b＋c＝0.故選C.] 2．A　[因為f(x)是定

6、義在R上的周期為3的周期函數，所以f(2 014)＋f(2 015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由圖象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1＋2＝3.] 3．C　[f(x)的圖象如圖． 當x∈(－1,0)時，xf(x)>0； 當x∈(0,1)時，xf(x)<0； 當x∈(1,3)時，xf(x)>0. 所以x∈(－1,0)∪(1,3)．] 4．D　[由f(x)是偶函數，g(x)是奇函數， 得f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 因為f(x)＋g(x)＝ex， 所以f(－x)＋g(－x)

7、＝e－x， 即f(x)－g(x)＝e－x， 所以g(x)＝(ex－e－x)．故選D.] 5．A　[因為f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數． 當x∈(0,1)時，－x∈(－1,0)， 則f(x)＝－f(－x)＝－2－x－. 因為f(x－2)＝f(x＋2)， 所以f(x)＝f(x＋4)， 所以f(x)是周期為4的周期函數． 而4

8、＝8×251＋7，因此f(2 015)＝f(7)＝f(－1)＝2，故選D.] 7．C　[當x>0時，f(x)＝1－2－x，這時－x<0，所以f(－x)＝2－x－1， 于是f(－x)＝－f(x)； 當x<0時，f(x)＝2x－1，這時－x>0， 所以f(－x)＝1－2x，于是也有f(－x)＝－f(x)． 又f(0)＝0，故函數f(x)是一個奇函數． 又因為當x>0時，f(x)＝1－2－x單調遞增， 當x<0時，f(x)＝2x－1也單調遞增， 所以f(x)單調遞增．故選C.] 8．A　[由題意可得 f(x)＝＝， 則 ??－2≤x≤2且x≠0. 即此函數的定義域為[－2,

9、0)∪(0,2]． 所以－4≤x－2<－2或－2

10、1. 11．－2 解析　因為f(x)是奇函數， 所以f(0)＝0， 當x>0時，－x<0， 由f(－x)＝－f(x)， 得－(－x)2＋a(－x)＝－(x2－2x)， 則a＝－2； 當x<0時，－x>0， 由f(－x)＝－f(x)， 得(－x)2－2(－x)＝－(－x2＋ax)， 得x2＋2x＝x2－ax，則a＝－2. 所以a＝－2. 12．①②④ 解析　根據題意有f＝－f，結合偶函數的條件，可知f＝－f，所以函數圖象關于點對稱，故①正確；式子還可以變形為f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，故②正確；根據對稱性，可知函數在[0,1]上是減函數，故③錯；由②可知f(2)＝f(0)，故④正確．所以答案為①②④.