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【導(dǎo)與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第7篇 第3節(jié) 空間點、直線、平面的位置關(guān)系課時訓(xùn)練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
平面的基本性質(zhì)
1、4、5、11、14
點、線、面的位置關(guān)系
2、3、6、8、9、15
異面直線所成的角
7、10、12、13
基礎(chǔ)過關(guān)
一、選擇題
1.(20x
3、x威海模擬)設(shè)A、B、C、D是空間中四個不同的點,下列命題中,不正確的是( C )
(A)若AC與BD共面,則AD與BC共面
(B)若AC與BD是異面直線,則AD與BC是異面直線
(C)若AB=AC,DB=DC,則AD=BC
(D)若AB=AC,DB=DC,則AD⊥BC
解析:若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC,C不正確.
2.(20xx黑龍江大慶高三月考)下列說法正確的是( D )
(A)若a?α,b?β,則a與b是異面直線
(B)若a與b異面,b與c異面,則a與c異面
(C)若a,b不同在平面α內(nèi),則a與b異面
(D)若a,b不同在任何一個平面內(nèi),則a與b異面
4、
解析:由異面直線的定義可知選D.
3.(20xx銀川模擬)若直線a⊥b,且直線a∥平面α,則直線b與平面α的位置關(guān)系是( D )
(A)b?α
(B)b∥α
(C)b?α或b∥α
(D)b與α相交或b?α或b∥α
解析:b與α相交或b?α或b∥α都可以.故選D.
4.(20xx?？谀M)已知正方體ABCDA1B1C1D1中,O是BD1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結(jié)論錯誤的是( D )
(A)A1、M、O三點共線
(B)M、O、A1、A四點共面
(C)A、O、C、M四點共面
(D)B、B1、O、M四點共面
解析:由正方體的性質(zhì)知,O也是A1C的中點
5、,因此A1、M、O三點共線,又直線與直線外一點確定一個平面,所以B、C正確.由BB1與A1C異面知D錯誤.故選D.
5.給出下列命題,其中正確命題的個數(shù)是( B )
①如果線段AB在平面α內(nèi),那么直線AB在平面α內(nèi);
②兩個不同的平面可以相交于不在同一直線上的三個點A、B、C;③若三條直線a,b,c互相平行且分別交直線l于A,B,C三點,則這四條直線共面;④若三條直線兩兩相交,則這三條直線共面;⑤兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:顯然①③正確.若兩平面有三個不共線的公共點,則這兩平面重合,故②不正確.三條直線兩兩相交于同一點時,三條直線
6、不一定共面,故④不正確;兩組對邊相等的四邊形可能是空間四邊形,⑤不正確.故選B.
6.(20xx武漢模擬)如果兩條異面直線稱為“一對”,那么在正方體的十二條棱中共有異面直線( B )
(A)12對 (B)24對 (C)36對 (D)48對
解析:如圖所示,與AB異面的直線有B1C1,CC1,A1D1,DD1四條,因為各棱具有相同的位置且正方體共有12條棱,共有異面直線12×42=24(對).故選B.
二、填空題
7.如圖,在正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點,G,H分別為DE,AF的中點,將△ABC沿DE,EF,DF折成正四面體PDEF,則四面體中異面直線PG與DH所成
7、的角的余弦值為 . ?
解析:折成的正四面體,如圖,連接HE,取HE的中點K,連接GK,PK.
則GK∥DH,故∠PGK(或其補角)即為所求的異面直線所成的角.
設(shè)這個正四面體的棱長為2,
在△PGK中,PG=3,GK=32,
PK=12+(32)?2=72,
故cos∠PGK=PG2+GK2-PK22·PG·GK
=(3)2+(32)?2-(72)?22×3×32
=23.
即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是23.
答案:23
8.(20xx云南師大附中模擬)如圖是某個正方體的展開圖,l1,l2是兩條側(cè)面對角線,則在正方體中,對于l1與l2的下面四個結(jié)
8、論中,正確的是 .?
①互相平行;②異面且互相垂直;③異面且夾角為π3;④相交且夾角為π3.
解析:將展開圖還原成正方體如圖所示,則B,C兩點重合,故l1與l2相交,連接AD,則△ABD為正三角形,所以l1與l2的夾角為π3.
答案:④
9.(20xx云南昆明模擬)設(shè)a,b,c是空間的三條直線,下面給出四個命題:
①若a⊥b,b⊥c,則a∥c;
②若a,b是異面直線,b,c是異面直線,則a,c也是異面直線;
③若a和b相交,b和c相交,則a和c也相交.
④若a和b共面,b和c共面,則a和c也共面.
其中真命題的個數(shù)是 .?
解析:∵a⊥b,b⊥c,
∴
9、a與c可以相交、平行、異面,故①錯.
∵a,b異面,b,c異面,則a,c可能異面、相交、平行,故②錯.
由a,b相交,b,c相交,則a,c可以異面、相交、平行,故③錯.
同理④錯,故真命題的個數(shù)為0.
答案:0
三、解答題
10.(20xx河北衡水模擬)A是△BCD所在平面外的一點,E,F分別是BC,AD的中點.
(1)求證:直線EF與BD是異面直線;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF與BD所成的角.
(1)證明:假設(shè)EF與BD不是異面直線,則EF與BD共面,從而DF與BE共面,即AD與BC共面,所以A,B,C,D在同一平面內(nèi),這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾,故
10、直線EF與BD是異面直線.
(2)解:取CD的中點G,連接EG,FG,則EG∥BD,
所以相交直線EF與EG所成的角,即為異面直線EF與BD所成的角.
在Rt△EGF中,由EG=FG=12AC,求得∠FEG=45°,
即異面直線EF與BD所成的角為45°.
11.如圖所示 ,在四面體ABCD中,E、G分別為BC、AB的中點,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求證:EF、GH、BD交于一點.
證明:連接GE,FH.
因為E、G分別為BC、AB的中點,
所以GE∥AC,且GE=12AC,
又因為DF∶FC=DH∶HA=2∶3,
所以FH∥A
11、C,且FH=25AC.
所以FH∥GE,且GE≠FH.
所以E、F、H、G四點共面,
且四邊形EFHG是一個梯形.
設(shè)GH和EF交于一點O.
因為O在平面ABD內(nèi),
又在平面BCD內(nèi),
所以O(shè)在這兩個平面的交線上.
因為這兩個平面的交線是BD,且交線只有這一條,
所以點O在直線BD上.
這就證明了GH和EF的交點也在BD上,
所以EF、GH、BD交于一點.
能力提升
12.(20xx三亞模擬)如圖,正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分別是線段AE,BC的中點,則AD與GF所成的角的余弦值為( A )
12、
(A)36
(B)66
(C)-36
(D)-66
解析:延長CD至H,使DH=1,
連接HG、HF,則HF∥AD.
HF=DA=8,
GF=6,HG=10,
∴cos∠HFG=8+6-102×6×8=36.故選A.
13.(20xx臨沂模擬)過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A作直線l,使l與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,這樣的直線l可以作 條.?
解析:如圖,連接體對角線AC1,顯然AC1與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都為2.聯(lián)想正方體的其他體對角線,如連接BD1,則BD1與棱BC,BA,BB1所成的角都相等,
∵
13、BB1∥AA1,BC∥AD,
∴體對角線BD1與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,體對角線A1C,DB1也與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,過A點分別作BD1,A1C,DB1的平行線都滿足題意,故這樣的直線l可以作4條.
答案:4
14.(20xx南京模擬)如圖,已知:E,F,G,H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中點,證明:EF,HG,DC三線共點.
證明:連接C1B,HE,GF,
如圖所示.由題意知HC1EB,
∴四邊形HC1BE是平行四邊形,
∴HE∥C1B.
又C1G=GC,CF=BF,
故
14、GF12C1B,
∴GF∥HE,且GF
15、Q=12時,S為等腰梯形;
③當CQ=34時,S與C1D1的交點R滿足C1R=13;
④當34
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