2018高中數(shù)學 第1章 解三角形 1.1 正弦定理學案 蘇教版必修5.doc

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正弦定理 一、考點突破 知識點 課標要求 題型 說明 正弦定理 1. 通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理。 2. 能運用正弦定理解三角形。 填空題 解答題 高考常考 既可以單獨考查正弦定理，也可以與其它知識（如向量、三角函數(shù)）綜合進行考查。 二、重難點提示 重點：正弦定理的運用（解三角形，判定三角形的形狀，解決實際生活中的問題）。 難點：判定三角形解的情況。 1. 正弦定理的發(fā)現(xiàn)及證明正弦定理時體現(xiàn)的數(shù)學思想方法 正弦定理的證明方法較多，但都離不開化斜三角形為直角三角形這一基本思想，同時需要分類討論。 2. 正弦定理的內容及其常見變形 內容：（三角形的各邊和它所對角的正弦之比相等）。 變形：（1）； （2）； （3）其它變形。 3. 正弦定理解斜三角形的兩種類型 （1）AAS、ASA； （2）SSA。 4. 已知兩邊和其中一邊的對角，判定三角形的解的情況 試一試：分別滿足如下條件，試判定解的情況。 （1）已知； （2），，； （3）已知。 小結：已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它邊和角時，怎樣判斷解的個數(shù)? （1）求小邊所對的角時，有一個解。 （2）求大邊所對的角時，若所求的正弦值等于1時，有一個解；若所求的正弦值小于1時，有兩個解；若所求的正弦值大于1時，沒有解。 此外，三角形的解的情況也可以結合圖形進行思考。 例題1 （天津高考）在中，A，B，C所對的邊分別是，已知8b=5c，C=2B，則cosC= 。 思路分析：兩個已知條件需要統(tǒng)一化為邊（或角）的關系，一種是均化為邊，需要對C=2B兩邊同時進行正弦變形，再運用正弦定理求解；另一種思路是均化為角，即8b=5c直接運用正弦定理化為，再進行求解。 答案： 解：因為，所以。 根據(jù)正弦定理有，又8b=5c，所以。 得，則。 另解：8b=5c，由正弦定理得： ，得，從而。 例題2 （江蘇高考）在中，已知。 （1）求證：；（2）若求A的值。 思路分析：本題一個題設兩個小問，而且第1問的結論對于第2問顯然成立。首先將向量的數(shù)量積表示為三角形的邊角關系，運用正弦定理將邊化為角，第一問可以證出。第2問的求解，必須解決兩個角度的問題，一是角C與角A、B的關系，二是余弦與正切的關系，進而嘗試求特殊角A的值。 解：（1）證明：因為，所以，即，由正弦定理得，知同正，故得。 （2）解：由得，則，結合第（1）問的結論，解關于的方程組消掉tanB，得， 因為，故。 技巧點撥：本題要體會在三角函數(shù)求值時取正切的優(yōu)越性，考慮答案的取舍及推理的規(guī)范，善于發(fā)現(xiàn)兩小問的聯(lián)系，并能進行三角與向量的綜合。 【方法提煉】 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，且c=－3bcosA，tanC=。 （1）求tanB的值； （2）若，求△ABC的面積。 思路分析： 1. 正弦定理可以靈活實現(xiàn)邊角的互化，本題顯然是化邊為角。 2. 在三角形中，求解三角函數(shù)的值通常需要消掉一個角（消“元”），消哪一個角既要有全局意識，有時還需要反復嘗試。本題先消C有利于變形。 3. 第2小問實質上是一個廣義的解三角形問題，即已知三個等量關系求解三角形。解題時要充分重視第一問的提示功能。 答案： 解：（1）由正弦定理，得，即。 展開得，所以。 因為，所以。 又，由（1）知，，解得。 （2）由（1），得 ，，，由正弦定理，得 ，所以△ABC的面積為。 技巧點撥：兩角和、差的三角函數(shù)問題，正切的運算量通常要小于正弦或余弦。 【易錯警示】 在銳角中，則的取值范圍是 。 錯解：本題容易想到化邊為角，結合正弦定理得，由得AC的范圍是（0，2）。 錯因分析：第一種錯誤是沒有想到運用三角函數(shù)的有界性，對此可適當加強解題方法的總結；第二種錯誤是求角A的范圍時，漏掉了B、C都是銳角的條件，掉到題目設計的陷阱中。 正解：根據(jù)三個角都是銳角，列出三個不等式組，由B=2A，消元得A的范圍，故AC的范圍是。