2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題40 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 理.doc

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專題40 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 一、考綱要求： 1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性. 2.會(huì)用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本. 3.了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法. 4.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法解決一些簡單的實(shí)際問題． 5.了解分布的意義與作用，能根據(jù)概率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn). 6.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差. 7.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋. 8.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征．理解用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn) (1)抽取的個(gè)體數(shù)較少.(2)逐個(gè)抽取.(3)不放回抽取.(4)等可能抽取.只有四個(gè)特點(diǎn)都滿足的抽樣才是簡單隨機(jī)抽樣. 2.抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況 (1）)抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況. (2）)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)： 一是制簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法. 3.從總體數(shù)N中抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本 (1）)在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是. (2）)在一次抽取中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是. 4.系統(tǒng)抽樣的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1）)若不改變抽樣規(guī)則，則所抽取的號碼構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為第一組所抽取的號碼，公差為樣本間隔.故問題可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題解決. (2）)抽樣規(guī)則改變，應(yīng)注意每組抽取一個(gè)個(gè)體這一特征不變. (3）)如果總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣. 5.系統(tǒng)抽樣有一個(gè)抽樣距其步驟為剔除，編號，均分，抽樣. 6頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法 (1）)組距＝頻率. (2）)＝頻率，＝樣本容量，樣本容量頻率＝頻數(shù). 易錯(cuò)警示：繪制頻率分布直方圖時(shí)的3個(gè)注意點(diǎn) (1）)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗(yàn)該表是否正確； (2）)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率. (3）)注意中值估算法. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國卷II） 如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖． 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t． （1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； （2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由． 【答案】見解析 （2）模型②得到的預(yù)測值更可靠； 因?yàn)閺目傮w數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額是逐年上升的， 而從2000年到2009年間遞增的幅度較小些， 從2010年到2016年間遞增的幅度較大些， 所以，利用模型②的預(yù)測值更可靠些． 例2.（2018全國卷III）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖： （1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； （2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 （3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：K2=， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】見解析 由此填寫列聯(lián)表如下； 超過m 不超過m 總計(jì) 第一種生產(chǎn)方式 15 5 20 第二種生產(chǎn)方式 5 15 20 總計(jì) 20 20 40 （3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，計(jì)算 K2===10＞6.635， ∴能有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 例10(2017山東高考)為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)其回歸直線方程為＝x＋.已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為(　　) A．160 B．163 C．166 D．170 【答案】C　 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例練習(xí)題 一、選擇題 1．下面的抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的為(　　) A．在某年明信片銷售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬張為一個(gè)開獎(jiǎng)組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎(jiǎng) B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格 C．某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見 D．用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn) 【答案】D　 【解析】：A，B選項(xiàng)中為系統(tǒng)抽樣，C為分層抽樣． 2．重慶市2016年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(　　) A．19　　　　　 B．20 C．21.5 D．23 【答案】B 3．下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(，) B．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1 C．對分類變量X與Y，隨機(jī)變量K2的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小 D．在回歸直線方程＝0.2x＋0.8中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加0.2個(gè)單位 【答案】C　 【解析】：根據(jù)相關(guān)定義分析知A，B，D正確；C中對分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說，k越大，判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大，故C錯(cuò)誤，故選C． 4．福利彩票“雙色球”中紅色球的編號有33個(gè)，分別為01,02，…，33，某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6組數(shù)作為6個(gè)紅色球的編號，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第6個(gè)紅色球的編號為(　　) 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 　A．23 B．09 C．02 D．17 【答案】C　 【解析】：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的6個(gè)紅色球的編號依次為21,32,09,16,17,02，故選出的第6個(gè)紅色球的編號為02. 5．某班一次測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖可見部分(如圖)，根據(jù)圖中的信息可確定被抽測的人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)分別為(　　) A．20,2 B．24,4 C．25,2 D．25,4 【答案】C 6.某公司在2017年上半年的月收入x(單位：萬元)與月支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)資料如表所示： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6 支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則(　　) A．月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系 B．月收入的中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系 C．月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系 D．月收入的中位數(shù)是16，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系 【答案】C　 【解析】：月收入的中位數(shù)是＝16，收入增加，支出增加，故x與y有正線性相關(guān)關(guān)系． 7．從編號為001,002，…，500的500個(gè)產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，已知樣本中編號最小的兩個(gè)編號分別為007,032，則樣本中最大的編號應(yīng)該為(　　) A．480 B．481 C．482 D．483 【答案】C　 8．下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系 B．在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，變量間的相關(guān)性越強(qiáng) C．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高 D．在回歸分析中，R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好 【答案】B　 【解析】：根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念知A正確；當(dāng)r＞0時(shí)，r越大，相關(guān)性越強(qiáng)，當(dāng)r＜0時(shí)，r越大，相關(guān)性越弱，故B不正確；對于一組數(shù)據(jù)擬合程度好壞的評價(jià)，一是殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越窄，擬合效果越好；二是R2越大，擬合效果越好，所以R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好，C，D正確，故選B． 9． 2017年2月20日，摩拜單車在濟(jì)南推出“做文明騎士，周一摩拜單車免費(fèi)騎”活動(dòng)．為了解單車使用情況，記者隨機(jī)抽取了五個(gè)投放區(qū)域，統(tǒng)計(jì)了半小時(shí)內(nèi)被騎走的單車數(shù)量，繪制了如圖所示的莖葉圖，則該組數(shù)據(jù)的方差為(　　) A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】：　由莖葉圖得該組數(shù)據(jù)的平均值為(87＋89＋90＋91＋93)＝90，所以該組數(shù)據(jù)的方差為[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4，故選B． 10．某工廠的三個(gè)車間在12月份共生產(chǎn)了3 600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從第一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為(　　) A．800 B．1 000 C．1 200 D．1 500 【答案】C　 11．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(　　) A．8　 B．15 C．16　　　 D．32 【答案】C　 【解析】：已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s＝8，則s2＝64，數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝2264，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為＝28＝16. 12．為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖9317所示的莖葉圖． 考慮以下結(jié)論： ①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫； ②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫； ③甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差； ④甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差． 其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號為(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】：　由莖葉圖中的數(shù)據(jù)通過計(jì)算求得甲＝29，乙＝30，s甲＝，s乙＝，∴甲＜乙，s甲＞s乙，故①④正確．故選B． 絡(luò)購物者2014年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示． (1)直方圖中的a＝________； (2)在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________. 【答案】 (1)3　(2)6 000　 三、解答題 17．某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)技工加工的合格零件數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，已知兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件的平均數(shù)都為10. (1)求出m，n的值； (2)求出甲、乙兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件的方差s和s，并由此分析兩組技工的加工水平． 【答案】(1) m＝3，n＝8)； (2)見解析 【解析】：　(1)根據(jù)題意可知：甲＝(7＋8＋10＋12＋10＋m)＝10，乙＝(9＋n＋10＋11＋12)＝10， ∴m＝3，n＝8. (2)s＝[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2， s＝[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2， ∵甲＝乙，s＞s， ∴甲、乙兩組的平均水平相當(dāng)，乙組更穩(wěn)定一些． 18．一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值x，得到如下的頻率分布表： x [11,13) [13,15) [15,17) [17,19) [19,21) [21,23] 頻數(shù) 2 12 34 38 10 4 (1)作出樣本的頻率分布直方圖，并估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值x的平均數(shù)和眾數(shù)； (2)若x＜13或x≥21，則該產(chǎn)品不合格．現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有一件的概率． 【答案】見解析 【解析】：　(1)頻率分布直方圖為 19．某醫(yī)院對治療支氣管肺炎的兩種方案A，B進(jìn)行比較研究，將志愿者分為兩組，分別采用方案A和方案B進(jìn)行治療，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 有效 無效 總計(jì) 使用方案A組 96 120 使用方案B組 72 總計(jì) 32 (1)完成上述列聯(lián)表，并比較兩種治療方案有效的頻率； (2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為治療是否有效與方案選擇有關(guān)？ 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【答案】見解析 20．下表數(shù)據(jù)為某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位：噸)及對應(yīng)銷售價(jià)格y(單位：千元/噸)． x 1 2 3 4 5 y 70 65 55 38 22 (1)若y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為13.1千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，年利潤Z最大？參考公式： 【答案】見解析 【解析】：　(1)∵＝＝3， ＝＝50， 21．某校在高一年級學(xué)生中，對自然科學(xué)類、社會(huì)科學(xué)類校本選修課程的選課意向進(jìn)行調(diào)查．現(xiàn)從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取180名學(xué)生，其中男生105名；在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類的男生、女生均為45名. (1)試問：從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到男生的概率約為多少？ (2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下面的22列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？ 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 女生 合計(jì) 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】見解析 【解析】：(1)從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到男生的概率約為＝. (2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得22列聯(lián)表如下： 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合計(jì) 90 90 180 則K2＝＝≈5.142 9＞5.024， 所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)． 22．經(jīng)國務(wù)院批復(fù)同意，鄭州成功入圍國家中心城市．某校學(xué)生社團(tuán)針對“鄭州的發(fā)展環(huán)境”對20名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查打分(滿分100分)，得到莖葉圖，如圖 ①　　　　　　　　　?、? (1)分別計(jì)算男生、女生打分的平均分，并用數(shù)字特征評價(jià)男、女生打分的數(shù)據(jù)分布情況； (2)如圖9319②是按照打分區(qū)間[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]繪制的頻率分布直方圖，求最高矩形的高； (3)從打分在70分以下(不含70分)的學(xué)生中抽取3人，求有女生被抽中的概率． 【答案】見解析 (2)h＝10＝0.045. (3)設(shè)“有女生被抽中”為事件A，打分在70分以下(不含70分)的學(xué)生中女生有2人，設(shè)為a，b，男生4人，設(shè)為c，d，e，f. 基本事件有abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def，共20種，其中有女生的有16種，所以P(A)＝＝.