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【導與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學一輪復習 第5篇 第3節(jié) 等比數(shù)列課時訓練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
等比數(shù)列的判定及證明
3、15
等比數(shù)列的基本運算
4、6、8、11
等比數(shù)列的性質
1、2、7、10
等比、等差數(shù)列的綜合
5、9、12
等比數(shù)列與其他知識綜合
5、13、14、16
基礎過關
一、選擇題
1.公比為2
3、的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且a3a11=16,則a5等于( A )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
解析:a3a11=a72=16,數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),
所以a7=4,
又a7=a5×22,所以a5=1.
2.(20xx高考重慶卷)對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是( D )
(A)a1,a3,a9成等比數(shù)列 (B)a2,a3,a6成等比數(shù)列
(C)a2,a4,a8成等比數(shù)列 (D)a3,a6,a9成等比數(shù)列
解析:由等比數(shù)列的定義知選D.
3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+k(k為常數(shù)),那么下述結論正確的是( B )
(A)k為
4、任意實數(shù)時,{an}是等比數(shù)列
(B)k=-1時,{an}是等比數(shù)列
(C)k=0時,{an}是等比數(shù)列
(D){an}不可能是等比數(shù)列
解析:∵Sn=3n+k(k為常數(shù)),
∴a1=S1=3+k,
n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,
當k=-1時,a1=2滿足an=2×3n-1,{an}是等比數(shù)列,
當k=0時,a1=3不滿足an=2×3n-1,{an}不是等比數(shù)列.
4.已知等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項和為Sn.若S3=72,則S6等于( B )
(A)312 (B)632 (C)63 (D)1272
解析:由S6-S3
5、S3=q3,
即S6-7272=8,
得S6=632.
5.已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,其公比q≠1且bi>0(i=1,2,…),若a1=b1,a11=b11,則( A )
(A)a6>b6 (B)a6=b6
(C)a6b6
解析:∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,a1=b1,a11=b11,
∴a1+a11=b1+b11,又bi>0(i=1,2,…)
∴2a6=b1+b11≥2b1b11=2b6,
又q≠1,且bi>0(i=1,2,…),
∴b1≠b11,
∴a6>b6.
二、填空題
6.已知等比數(shù)列{
6、an}的公比為正數(shù),且a2·a6=9a4,a2=1,則a1= .?
解析:由a2·a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2,
解得q2=9,
所以q=3或q=-3(舍去),
所以由a2=a1q,
得a1=a2q=13.
答案:13
7.(20xx高考廣東卷)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20= .?
解析:ln a1+ln a2+…+ln a20=ln a1a2…a20,
而a1a20=a2a19=…=a9a12=a10a11=e5,
所以ln a1a2…a20=ln(e5)10=5
7、0.
答案:50
8.(20xx高考遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6= .?
解析:依題意a1+a3=5,a1a3=4,
又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,
解得a1=1,a3=4,
∴q2=a3a1=4,q=2,
∴S6=a1(1-q6)1-q=1-261-2=63.
答案:63
9.(20xx高考安徽卷)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數(shù)列,則q= .?
解析:設等差數(shù)列{an}的公差為d,
由題意,(a3+3)2=(a1+1)(a5+5)
8、,
即(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),
化簡可解得,d=-1,
所以公比q=a3+3a1+1=a1+2d+3a1+1=1.
答案:1
10.等比數(shù)列{an}的首項a1=-1,前n項和為Sn,若S10S5=3132,則{an}的通項公式an= .?
解析:∵S10S5=3132,
∴S10-S5S5=-132,
∵S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列,且公比為q5,
∴q5=-132,q=-12,
則an=-1×(-12)n-1=-(-12)n-1.
答案:-(-12)n-1
三、解答題
11.(20xx高考四川卷)在等比數(shù)列{an}
9、中,a2-a1=2,且2a2為3a1和a3的等差中項,求數(shù)列{an}的首項、公比及前n項和.
解:設該數(shù)列的公比為q.
由已知,可得
a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,
所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,
解得q=3或q=1.
由于a1(q-1)=2,
因此q=1不合題意,應舍去.
故公比q=3,首項a1=1.
所以數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-12.
12.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,且S4=4027.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求證Sn<32.
(1)解:設等比數(shù)列{an}的公比為
10、q.
∵S1,2S2,3S3成等差數(shù)列
∴4S2=S1+3S3,
即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),
∴a2=3a3,
∴q=a3a2=13.
又S4=4027,
即a1(1-q4)1-q=4027,
解得a1=1,
∴an=(13)n-1.
(2)證明:由(1)得Sn=a1(1-qn)1-q
=1-(13)?n1-13
=32[1-(13)n]<32.
能力提升
13.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ax(0
11、6 (D)7
解析:由f(1)+f(-1)=52,得a+a-1=52,即a+1a=52,解得a=2(舍去)或a=12,f(n)=(12)n,則數(shù)列{f(n)}是首項為f(1)=12,公比q=12的等比數(shù)列,所以Sn=f(1)(1-qn)1-q=12×1-(12)?n1-12=1-(12)n,由1-(12)n=3132得(12)n=132,解得n=5,故選B.
14.(20xx山東棗莊一模)已知等比數(shù)列{an}中,a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是( D )
(A)(-∞,-1] (B)(-∞,0)∪(1,+∞)
(C)[3,+∞) (D)(-∞,-1]∪[3,+∞)
解析:設等
12、比數(shù)列{an}的公比為q,
則S3=a1+a2+a3=a2(1+q+1q)=1+q+1q,
當q>0時,S3=1+q+1q≥1+2q·1q=3,
當q<0時,S3=1-(-q-1q)
≤1-2(-q)·(-1q)=-1.
∴S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).故選D.
15.(20xx高考陜西卷)設Sn表示數(shù)列{an}的前n項和.
(1)若{an}是等差數(shù)列,推導Sn的計算公式;
(2)若a1=1,q≠0,且對所有正整數(shù)n,有Sn=1-qn1-q.判斷{an}是否為等比數(shù)列,并證明你的結論.
解:(1)設{an}的公差為d,
則Sn=a1+a2+…+an
=a1+(a1+
13、d)+…+[a1+(n-1)d],
又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d],
∴2Sn=n(a1+an),
∴Sn=n(a1+an)2.
(2)當n=1時,S1=1.
當n=2時,S2=1-q21-q=1+q,a1+a2=1+q,a2=q.
當n=3時,S3=1-q31-q=1+q+q2,a1+a2+a3=1+q+q2,a3=q2;
初步斷定數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
證明如下:
∵Sn=1-qn1-q,
∴an+1=Sn+1-Sn=1-qn+11-q-1-qn1-q
=qn(1-q)1-q=qn.
∵a1=1,q≠0,
∴當n≥1時,有an+1an=q
14、nqn-1=q,
因此,{an}是首項為1且公比為q的等比數(shù)列.
探究創(chuàng)新
16.(20xx廣東十校聯(lián)考)如圖給出一個“三角形數(shù)陣”.已知每一列數(shù)成等差數(shù)列,從第三行起,每一行數(shù)成等比數(shù)列,而且每一行的公比都相等,記第i行第j列的數(shù)為aij(i≥j,i,j∈N*),則a53= ,amn= (m≥3).?
14
12,14
34,38,316
…
解析:由題意可知第一列首項為14,公差d=12-14=14,從第三行起每一行的公比q=12,
所以a51=14+4×14=54,
a53=a51q2=54×(12)2=516.
m≥3時,am1=14+(m-1)×14=m4,
amn=m4×(12)n-1=m2n+1.
答案:516 m2n+1
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